《《計量經濟學導論》伍德里奇-第四版-筆記和習題答案(2-8章)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《《計量經濟學導論》伍德里奇-第四版-筆記和習題答案(2-8章)（63頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、使用普通最小二乘法，此時最小化的殘差平方和為 利用一元微枳分可以證明.A必須滿足一階條件 n _ Zxi（yi"Axi）=0 從而解出A為： 冬％ 空 1-1 當且僅當x=o時，這兩個估計值才是相同的。 2.2課后習題詳解 一、習題 1. 在簡單線性回歸模型y二人+陽+u中，假定E（u）hO。令％=EW）,證明：這個模型總可以改寫為另一 種形式：斜率與原來相同，但截距和誤差有所不同，并且新的誤差期里值為零。 證明：在方程右邊加上％二E（u）,則 y=%+A+Ax+u-% 令新的誤差項為e = u-^,因此E（e）=0o 新的截距項為％+幾，斜率不變?yōu)锳。

2、 2. 卜表包含了 8個學生的ACT分數和GPA （平均成績）。平均成纟貫以四分制計算，且保留一位小數。 student GPA ACT 1 2.8 21 34 24 3 3 0 26 4 3 5 27 5 3 6 29 6 3 0 25 7 27 25 8 37 30 （I）利用OLS估計GPA和ACT的關系：也就是說，求出如卜方程中的截距和斜率估計值 gpa=4+Aact 評價這個關系的方向。這里的截距有沒有一個有用的解釋？請說明。如果ACT分數提高5分，預期GPA會 提高多少？ （II） 計算每次觀測的擬合值和殘差，并驗

3、證殘差和（近似）為零。 （III） 當ACT = 20時，GPA的預測值為多少？ （IV） 對這8個學生來說，GPA的變異中，有多少能由ACT解釋？試說明。 答：（I ）變量的均值為：GPA= 3.2125, ACT = 25 875 o 2（GPA-?A）（ACI；-ACT）=5 8125 1-1 根據公式 2.19 町得：^ = 5.8125/56 875= 0 1022 <> 根據公式217可知: 4 - 3.2125-0.1022x25.875 - 0 5681。 因此GPA= 0 5681 + 0 1022ACT。此處截距沒有一個很好的解釋，因為對樣本而言，AC

4、T并不接近0。如果ACT 分數提高5分，預期GPA會提高0 1022x5=0 511o （II）每次觀測的擬介值和殘差表如表2-3所示： 表53 1 GPA GPA A U 1 2 8 2.7143 0 0857 — 34 3 0209 0 3791 3 3 0 3.2253 -0.2253 4 3 5 3.3275 0 1725 5 3 6 3.5319 0 0681 6 3 0 3 1231 -0 1231 7 27 3 1231 -0 4231 8 37 3 6341 0 0659 根據衣町知，殘差和為-0 0

5、02,忽略固右?的舍入誤差，殘差和近似為冬。 （III） 當 ACT = 20,則 GFA= 0.5681+0 1022x20=261。 （IV） 殘差平方和為：亡毎=04347,而2（yx-y）2 = 1 0288 ,則判定系數為: 1-1 1-1 R2 = 1 - SSR / S^r = 1 - 0 4377 /1 0288 ? 0 577 GPA的變異中，有57 7%能由act解釋。 3. 令kids表示一名婦女生過的孩子數目，educ表示該婦女接受過教育的年數。生育率對受教育年數的簡單 回歸模型為 lads =幾 + Aeduc+u 其中，u是無法觀測到的誤差。 （

6、I） U中包含什么樣的因素？它們可能與受教育程度相關嗎？ （II） 簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋。 答：（I）收入、年齡和家庭背景（如兄弟姐妹的數量）都町能包含在誤差項中。它們町能是與受教育程度 相關的：收入和受教育程度是呈正相關的；年齡與受教育榨度是乜負相關的：兄弟姐妹的數臺與受教臺“度是負 相關的。 （1【）假定（I）中所列舉的因素固定不變，即以誤差項的形式呈現在回歸方程中，但是誤差項與解釋變量 是相關的，因此E（u|educ）工0,經典假定被推翻，因此簡單回歸分析不能解釋教育對生育率在其他條件不變卜?的 影響。 4. 假設你對估計花在SAT備考

7、課程匕的小時數（hours ）對SAT總分（sat ）的影響感興趣。 總體是某一年內所有計劃上大學的中學高年級學生。 （I） 假設你有權進行一項控制實驗。請說明為了估計hours對sat的引致效應，你將如何構建實驗。 （II） 考慮一個更加實際的情形，即由學生選擇在備考課程上花多少時間，而你只能隨機地從總體中抽出sat 和hours的樣本。將總體模型寫作如卜?形式： sat = 0）+ /^hours +u 其中，與通常帶截距的模型一樣，我們可以假設E（u）=0。列舉出至少兩個u中包含的因素。這些因素與hours 町能呈止相關還是負相關? (III) 在(ll)的方程中，如果備

8、考課程有效，那么A的符號應該是什么？ (IV) 在(II)的方程中，0。該如何解釋？ 答：(【)構建實臉時，首先隨機分配準冬課程的小時數，以保證準備課程的時間9其他影響SAT的因素是 獨立的。然后收集實驗中每個學生SAT的數據，建立樣本{(sa^.hourj： 1 = 1，…，n} , n表示試驗中所包括的學 生的數量。根據方程27,應該嘗試采用盡町能多的有差異的“小時數“。 (II) 誤差項還可能包含以下三個因素：天賦能力、家庭收入以及考試當天的健康狀況。如果學生擁有天賦 能力，那么他們不需要為考試花費太多時間，能力與時間是負相關的。家庭收入與學習時間呈正相關關系，因為 家庭收入越高，

9、就能負擔去越多的課時費用。排除慢性的健康問題，考試當天的健康狀況與為準備考試花費的時 間是無關的。 (III) 如果備考課程有效，A的符號?應該為正，在其他因素相同的情況下，備考時間越多，sat越高。 (IV) 截距有一個有用的解釋：因為E(U) = 0,幾表示備考時間為0時學生獲得的平均sat總分。 5. 考世儲蓄函數 sav =介 + 內皿 +u ? u = Jnc ? e 其中，e是一個隨機變量，且冇E(e) = 0和V ar(e) = ^,假設e獨立于inc。 (I) 證明：若E(u|inc) = 0,則滿足零條件均值的關鍵假設(假定SLR4)o ［提示：若e獨立于inc.

10、則 E(u |inc) = E(e)］ (II) 證明：若Var(u|inc) = bnc,則不滿足同方差假定SLR 5。特別地,sav的方差隨著inc而增加。［提 4<:若 e 和 inc 獨立，則 Var(e|inc) = Var(e) o ] (HI)討論支持儲蒂方差隨著家庭收入遞壇的證據。 證明:(I )計算me的條件期望值時,變?yōu)橐粋€常數,因此E(u |inc) = E(>/inc ? e|inc) = -^ncE(e|inc) = 0 o (II ) inc的方差為：Vai (u |inc) = Vcu (>/ihg c|inc) = () Vai (c|inc) = m

11、c of o (III) 低收入家庭支出的靈活性較低，因為低收入家庭必須首先支付衣食住行等必需品。而高收入家庭具有 較高的靈活性，部分選擇更多的消費，而另?部分家庭選擇更多的儲蓄。這種較高的靈活性暗示高收入家庭中儲 蒂的變動幅度更大。 6. 令4和A分別為OLS截距和斜率估計量，并令F為誤差(不是殘差)的樣本均值。 (I )證明：4 町寫成 A = A +S^ui * 其中 w = 和djhx^-x。 i-1 (II) 利用(I)及另W = 證明：A和u無關。［提示：要求你證明A_A)U = ^］ (III) 證明 4 可寫成 A = A+u-( A-A)x。 (IV) 利用(

12、II)和(III)證明：Var(入)+ /5汎。 (V) (N)中的表達式能簡化成方程(2.58)嗎？［提示：SSTx/n = n-12^-(x)2。］ U1 證明：(I )該理論推導與公式252的推導本質上是一樣的，區(qū)別只是將w = 帶到求和的里面。 （H） 因為cov（A ,u）=e［（^-^）u］,公式右邊等于0。從（I ）可知, e［（ A ）丁卜￡［江_1即］］=江zE（uM）。因為誤差項兩兩互不相關’則〔（嚀切二?！痠Hh‘ E（Ui》） = E（u：/n） = cr2/n<> W此工二呵己血丁）=工占呵（/ n） = （j /n）S2a = 0 o （III） 最小

13、二乘估計的截距公式為：Aj = y-^,代入y = ^+Ax+u.則 a=（a+ax+u）-Ax=a+u-（A-a>o （IV） 因為人和F是不相關的，則有： Var（4 ） = Var（d）+Var（A）史=°2 /n+（"/SCTX）X2 = a2 /n+oV /SSTX （V） 能。 根據SSTx/n = n-1^^-（x）2 ,則 Var（A 卜，［（SSI；/n） + F］/S 花 "汁（n?吃 H 工）+門/ S汎二，（廿吃二彳）/ S兀 7. 利用Kiel and McClain （1995）有關1988年馬薩諸塞州安德沃M的龍屋出售數據，如下方程給出了房屋 價格（

14、price ）和距離一個新修垃圾焚化爐的距離（dist）之間的關系： log（price） = 9 40 + 0 3121og（dist） n = 135 ,R2=0 162 （I） 解釋log（dist）的系數。它的符號是你所預期的嗎？ （II） 你認為簡單回歸給出了 pcce對dist在其他條件不變卜彈性的無偏估計量嗎？（考慮一個城市決定放 置焚化爐的地點的決策。） （III） 還有哪些英他因素影響房屋的佔:價？這些因素會與距離焚化爐的遠近相關嗎？ 答：（I）符號為正，與預期相符。log（dist）的系數表示距離焚化爐的距離越遠，價格就越高，價格的距離 彈性是0.312,即距離

15、遠1%,價格上升0.312%。 （II） 如果城市決定將焚化爐放置在遠離較貴的居民區(qū)的地方，則logjdist）與房價是正柑關的。這將違背假 定4,而OLS估計是有偏的。 （III） 房屋的面積、洗于?間的數量、占地而積人小、房齡社區(qū)質量（包括學校質量）都會影響房屋的礬價。 這些與距離焚化爐的遠近是有關的。 8. （ I ）令久和介為片對電進行回歸的截距和斜率（右d次觀測）：q和勺為常數且c嚴0： 0。和以為（:必 對c佰進行回歸的截距和斜率。證明R=（cjc」瓦H. A = q A，從而驗證了 24節(jié)中關「度戰(zhàn)單位的命題。［提示： 為得到久，把改變了度量單位的"和y代入方程（219）。

16、然后用方程（2 17）求為，確定代入的是進行度量單 位變換后的x和y以及匸確的斜率。 （II）現在令為和介得自（q + yj對（勺+%）的回歸（對C】和勺不加任何限制）。 證明：A = A且4 =入+5-乃點。 （HI）令幾和A為log（yj對?；貧w的OLS估計值，其中我們必須假定對所有1，都有71>0o對C］>0,令 Bq和A為1昭（勺％）対耳回歸的截距和斜率?證明：A = A且4 = iog（q）+ A）° （IV）現在假定對所有1,都有x>0。令為和A為為對logG%）回歸的截距和斜率。A和B1與力對log（兀） 回歸的截距和斜率相比如何？ 答：（I）因為^=C1y ,荻=歹

17、，當為冊對莎進行回歸時，可以通過方程2.19得到方程的斜率： n n Dm -于）（q% - Cjy） 2 C1C3（8 一可（人-y） A - “ - z 藝（5兀-c2x）3 ￡ c扌（呂-訝 1-1 1-1 「￡（召-可（x-刃「 j =C1 A 5 乩切 °3 1-1 根據公式2 17町得截距項為： A=（^y）-A（^）=（c1y）-［（cl/c2）A］（c2x）=c1（y-Ax）=c1（4,） （II）使用與（I ）相同的方法，可得（Cj + y）= q + y，（Ca+x）=C2+x ?因此 （q+yJ_（q+y）=（q+%Hq+y）=y,_y，（

18、勺+切-何+十均-寰。在（q+%）對 工+珂）的回歸中, 勺和勺被完全排除在斜率公式以外，以及A = 4^ 截ai為：A=（^+y）-A（?+x）=（ci+y）-A（c2+x）=（y-Ax）+ci-c2A = （III） 因為 log（c】yi） = log（C］） 1 log（yj ,令 c】代替 log（cj , yx 代替 log（yj，且 - 0 ?然后采用與（II）和 同的方法。 （IV） 采用與（1【）相同的方法，設c1 = 0, c?替代10g（c3）,兀替代1弟（兀），如果A和A是原截距和斜率， 那么此時的截距和斜率為：= 和A = A。 9. 在線性消費函數con

19、s=A+Rinc中，收入的（估計）邊際消費傾向（MPC ）無非就是斜率人，而平均消 費傾向（APC ）為cons/inc=A/inc+A=利用對100個家庭的年收入和消費觀測（均以美元訃），便得到如下方 程： cons = -124 84 + 0 853inc n = 100 =0.692 （I）解釋這個方程中的截距，并評價它的符號和大小。 （11 ）當家庭收入為30000美元時，預計消費為多少？ （III）以inc為橫軸，畫出估計的MPC和APC圖。 答：（I ）截距表示當inc=0, cons預計將為-124 84美元。但這與爭實不符，反映出消費函數在預測方面（尤 其是收入處于

20、較低的水平上時）是薄弱的。從年同比角度而言,12484美元與0美元的差距并沒有那么人。 （II ）將30000美元代入方程：預計消費=-124 84+ 0.853x30000= 25465 （美元）。 （III） MPC和APC如圖2 1所示"即使截距足負的，樣本中最小的APC是正的?圖中從年均收入水平1000 美元開始。 圖2-1 10. 在高斯?吁爾町夫假定SLR 1?SLR5之下，考慮標準的簡單回歸模型y二幾+坷x+u。通常的OLS估計 最久和A都是各自總體參數的無偏估計最。令01表示通過假定截距為零而得到01的估計最（見26節(jié)）。 （【）用珂、0o和01表示E（A）o

21、證明：當總體截距（幾）為零時，&是A的無偏估計量。 有沒有其他的惜況使得&也是無偏的？ （II）求久的方差。（提示方差不依賴于A。） （11【）證明Var（A）＜Var（A）o ［提示：對任何數據樣本，勿叫-期，除非（x = 0）,否則該式嚴格 1-1 U1 不等。］ （IV）當我們要從A和A中做出選擇時，評論偏誤和方差的替代關系。 答：（I ）從方程2.66可知: 碁（討）/（孕） 將為=A+ZVi+Ui代入可得： 分子化簡后可寫為： i-1 1-1 因此 恥從詞/（詞皿（討J/（詞 對于所行的I而言，E（ux）=0,則: 上式中右邊的第一項表示介的偏差。當幾=0

22、、7 = 0或2^ = 0時.A是無偏的。 1-1 （ii）根據（i）中所表示的可得方差為: （III）根據公式 157, Var（A卜，/ ,對任何數據樣本，（?！龃?，除非二0。因此 1>1 1?1 （IV）對于給定的樣本而言，當匚增加，A的有偏程度增加。但是當匚增加時，A的變化與Var（A）是相關 的。當幾較小時，介的偏差也很小。因此幾、7以及樣本人小n （￡彳的規(guī)模）決定了在均方誤差上A和A的 1-1 優(yōu)劣。 11. 數據集BWGHTRAW包含了美國婦女生育方面的數據c我們關心的兩個變量是因變量［嬰兒出生體重的 盎司數（bwght）］和解釋變量［母親在懷孕期間平均每天抽

23、煙的根數（cigs）］.下面這個簡單回1丿I是用n=1388個 出生數據進行估計的： bwght = 119 77-0514cigs （I） 當cigs = O時，預計嬰兒的出生體重為多少？當cigs =20 （每天一包）時呢？評價其差別。 （II） 這個簡單回歸能夠得到嬰兒出生體重和母親抽煙習慣之間的因來關系嗎？請解釋。 （III） 要預測出生體覓125盎司，cigs應該為多少？ （IV ）樣本中在懷孕期間不抽煙的婦女比例約為0 85。這有助于解釋第（11【）部分中的結論嗎？ 答：（I ）當ags=0時，預計嬰兒的出生體重為119.77盎司；當cigs = 20時，預計嬰兒的出生

24、體重為1094$ 盎司，比前者下降8.6%。 （II） 不能。因為還有其他因素影響嬰兒的出生體重，如母親的整體健康狀況和產前護理的質量。這些因素 可能與懷孕期間吸煙量是相關的。另外，咖啡因的攝入也會影響到嬰兒的出生體貳，這也與吸煙最相關。 （III） 要預測出生體重為125盎司，那么cigs = （125-119.77）/（-0.524）? -10 18 o這是無童義的，它表明在一 個解釋變量的情況下預測出生體覓會發(fā)生的后果。盡管有約700名嬰兒的出生體覓大于11977盎司，但最大的 預測出生體重不能超過11977盎司。 （IV） 因為模型僅僅使用吸煙量來解釋出生體重，因此僅有一個結來：

25、即cigs=0時的岀生體重。cigs = 0時 的預測結呆必然大致位于樣本數據的中間位置，因此可以預測高出生率。 二、計算機習題 1. 401KRAW中的數據是帕普克（Papke, 1995）所分析數據的?個子集，帕普克是為了研究401 （k）養(yǎng) 老金計劃的參與率和該計劃的慷慨程度之間的關系。變量prate S資格參與該計劃的員工中擁冇活動賬戶的百 分比，也是我們要解釋的變量?？犊潭戎笜耸怯媱澋钠ヅ渎蕀rate0這個變最給出了員工每向這個賬戶存1美 元，公司為該員工匹配的平均數最。例如，若nrate=0 50.則員工每投入1美元，公司就匹配50美分。 （I）求出該計劃的樣本中平均參與率

26、和平均匹配率。 （II） 現在估計卜?面這個簡單回歸方程prate =^ + Anrate報告你的結果以及樣本容量和 （III） 解釋你的方程中的截距.解釋mrate的系數. （IV ）當nrate = 3 5時，求出prate的預測值。這是一個合理的預測嗎？解釋這里出現的情況。 （V） prate的變異中，有務少是由mrate解釋的？你認為，這是一個足夠人的量嗎？ 答：（I ）平均參與率是87 63%,平均匹配率是0 732。 （II） 回歸方程為： prate = 83 05 + 5 86mrate n = 1534 ,R3 = 0.075 （III） 截距表示即使nra

27、te=O,預測的參與率是83 05%。mrate的系數表明匹配率每增加1美元，則有資格 參與該計劃的員工中擁有活動賬戶的百分比（prate）増加5 86%。該結果假定prate的變動是町能的。如果prate 已經達到98%,那么截距就是無意義的。 （IV） nrate=3.5?則prate =8305書85 miate宙05 5務35x10^9 。這不是一個合理的預測，因為參與 率不超過100%。這表明因變最是有界限的，簡單回歸所預測的自變最的極值是不符合常理的。 （V） prate的變異中，有7 5%是由mrate解釋的，說明還有其他因素影響?zhàn)B老金計劃參與率。 2. 數據集CEOSA

28、L2 RAW包倉了美國公司首席執(zhí)行官的信息。變量salary是以T?美元計的年薪，ceoten是 已擔任公司CEO的年數。 （I）求出樣本中的平均年耕和平均任期。 （II ）右鄉(xiāng)少位CEO尚處于擔任CEO的第一年（就是說，ceoten=0 ） ?最長的CEO任期是￡少？ （III）估計簡單回歸模型log（Salary）=A+Aceoten4-u,用通常的形式報告你的結果。多擔任一年CEO,預 計年薪增長（近似）的百分數是多少？ 答：（I ）平均年薪為865 864千美元，平均任期為7 95年。 （II ）冇5位CEO處于擔任CEO的第一年。最長的CEO任期是37年。 （III）回歸

29、方程是： log （salary） = 6 51 + 0 9097ceoten n = 177 ,RJ = 0 013 多擔任一年CEO,預計年薪增長的近似百分數是0 97% （或1%）。 3. 利用Biddle and Hamennesh （1990）中的SLEEP75RAW數據，研究在每周用丁?睡眠的時間和用于冇酬 工作的時間之間是否存在替代關系。我們可以用它們中的任何一個作為因變量。為只體起見，估計模型 sleep = A + 月 totwrk+u 其中，sleep是每周用于晚上睡眠的分鐘數，totwrk是這一周中用丁?工作的分鐘數。 （I） 用方程的形式，連同觀測的次數和

30、R，報告你的結果。該方程中的截距表示什么？ （II） 若totwrk增加2小時，則sleep估計要減少多少？你覺得這是一個很人的效應嗎？ 答：（I ＞估計方程為： sleep = 3586 4- 0 151totwrk n = 706 , R3 = 0.103 截距表示不工作的人每周用于晚匕睡眠的時間為35864分鐘。這意味著每晚睡眠的時間達到8 5小時。 （II）當zMotwi*k=120?則Asleep = -0 151x120 = -18.12 （分鐘）。這并不是一個很大的效應。如果某人工作 口的工作時間均增加一小時，睡眠總減少時間約為45分鐘，平攤在每晚只有約6分鐘。 4.

31、 利用W^GEZRAW中的數據估計一個簡單回歸，以便用智商（IQ）來解釋月耕（wage）。 （I ）求出樣本中的平均工資和平均IQoIQ的樣本標準差是多少？（總體中的IQ己標準化為平均值足100, 標準差是15。） （1【）估計一個簡單回歸模型，其中IQ提高一個單位導致wage變化相同的數最。利用這個模型計算IQ提 高15個單位時，工資的預期變化。IQ能夠解釋人多數工資變異嗎？ （III）現在再估計一個模型?梵中IQ提高一個單位對工資眞有相同的百分比影響。如果IQ提高15個單位. 預期工資提高的百分比大約是多少？ 答：（【）平均工資為957 95美元，平均IQ為101二& IQ的樣本標

32、準差為15 05,與總體標準差非常接近。 （II） 簡單回歸模型為： wage = 116.99+8.3IQ n = 935, R—0 096 IQ提高15個單位導致工資變化8 3x15=124 5 （美元）。IQ不能夠解釋興多數工資變異，薪水的變異中，僅 有9 6%是由IQ解釋的。 （III） 回歸模型為： log （wage） = 5 89 + 0 0088IQ n = 935, R3 = 0 09S 如果IQ提高15個單位，則A log （wage） = 0.0088 x 15 = 0 132 ,因此預期工資提高的百分比大約是13 2%。 5. 在化工產業(yè)的企業(yè)總體中，

33、令rd表示年研發(fā)支出，sales表示年銷售額（都以百萬美元計）。 （I） 寫一個模型（不是估計方程），其中rd和sales之間的彈性為常數。哪一個參數代表彈性？ （II） 再用RDCHEM. RAW中的數據估計模型。用通常的形式寫出估計方程。rd關于sales的彈性估計值 是多少？用文字解釋這個彈性的含義。 答：（I）不變彈性的對數?對數模型為： log（rd）=幾 + A】og（sales）+u 參數A代表彈性。 （II）估計方程為： log （rd） =-4 105+1 0761og （sales） n = 32 ,R2 =0.910 rd關于sales的彈性估計值是1

34、076,說明sales每增長1%, rd將會增長108%。 6. 例2 12?|?曾使用了 N1EAP93 RAW中的數據。現在，我們想用這個文件中的數據來說明數學通過率（mathlO） 與每個學生的平均支出（沖end ）之間的關系。 （I）就多花一美元對通過率的影響而言，你認為具有恒定不變的影響介適呢，還是這種影響越來越小更合 適？請加以解釋。 （II ）在總體模型mathlO = +^log（expend）+u中,證明fi/10衣示expend捉為TO%導致mathlO改變的百分 數。 （HI）利用MEAP93RAW中的數據，估計（1【）中的模型.按照通常的方式報告估計方程，包括樣

35、本容量 和及P?。 （IV） 支出的估計影響有多人？也就是說，如果支出提高10%,估計niatlilO會提高多少個百分點？ （V） 有人擔心這個回歸分析可能得到niathlO的擬合值會超過100。為什么在這個數據集中不必擔心這個問 題？ 答：（1）多花一美元對通過率的影響而言，這種影響越來越小更合適。在支出較小的學校，多花錢叮以用 于購買更多的教材、電腦以及麻用高質量的教師，但在一個高支出水平上，即己經具備了大量教材、足夠好的設 備和高質量的教師時，再增加支出對通過率的影響幾乎沒有，即使有也會很小。 （II ） AinathlO = /^Alog（expend）? /100）（%Aex

36、pend）,如果%Aexpend = 10 ? 則 AmathlO = ^ /10 o （HI）估計方程為： mathlO = 一69 34 + 11 161og（expend） n = 408 , R2 = 0.0297 （IV）支出提高10%,估計mathlO會提高1 1%。支出的估計影響并不大，但這對低支出水平的學校而言是 無影響的，因為10%的支出增加從絕對數鼠上看是很小的。 （V ）在這個數據集中，瑕人的mathlO為66 7,遠小于100。實際上，瑕人的擬合值僅為30 2。 7. 利用CHARITY RAW中的數據［得自于Franses and Paap （2001 ）

37、］回答如卜問題： （I） 在這個4268人的樣本中，平均捐款數最是多少（以荷蘭盾為單位）？沒有捐款的人數百分比是多少？ （II） 每年平均寄出的郵件數量是多少？其最小值和故人值是多少？ （III） 用普通最小二乘法估計如下模型： gift = A +/^mailsyear +u 按照通常的方式報告估計方程，包括樣本容量和疋。 （IV） 解釋斜率系數。如果每封郵件的成本是1盾，那么慈善機構預期能夠從寄出的每一封郵件屮獲得凈利 潤嗎？這意味著慈善機構從每対郵件中都獲得了凈利潤嗎？請加以解釋。 （V） 樣本中最小慈善捐款的預測值是多少？利用這個簡單的冋歸分析，你有町能預測曲等于0嗎？

38、 答：（I ）平均捐款數量為744荷蘭盾。在4*8個被調査者中，2561人沒有捐款，占60%。 （II） 每年平均寄出的郵件量為2.05o最小值為0 25,這恿味著有人每四年寄出?封郵件，最人值為3 5。 （III） 估計方程為： gift = 2 01 + 0 65mailsyear n = 4268 ,R2 = 0.0138 （IV） 斜率系數為2 65,總味著年均郵件量導致了額外2.65荷蘭盾的捐贈。如果每一封郵件的成本是1盾， 那么每封郵件的預期凈收益則是1 65盾，然而這只是從平均角度而言的，并不意味著慈善機構從每対郵件中都 獲得了凈利潤。部分郵件對捐贈量沒有任何貢獻，或者

39、其貢獻額小于郵寄成本，部分郵件町能產生遠高于郵寄成 本的捐贈量。 （V） 樣本中最小慈善捐款的預測值是：201 + 265 x 0 25 = 2 67o即使從總體來看，某些人沒有收到郵件， 最小慈善捐款為2。因此不可能預測申仕等于0。 為了構造置信區(qū)間并進行檢驗，估計屁的標準差也就是方差的平方根： sd（A卜小卜育（1-用）『 由于①未知，所以用其估計最&來取代，則： se（引*/[S3Tj（l-W）r 如果誤差表現出異方差件，標準誤公式就不是sd（g）的一個町靠估計量，從而使標準誤無效。 五、OLS的有效性：高斯?馬爾可夫定理 1. 最優(yōu)線性無偏估計量 （1） 估計量：

40、它是一個可應用于任何一個數據樣本，并產生一個估計值的規(guī)則。 （2） 無偏估計量：如果久的一個估計量，對任總A，A，???，/!都有卜0）'那么它就是幾的一個無 偏估計量。 （3） “線性”：血的一個佔計量0j是線性的充分必要條件足，它能表示成因變量數拯的一個線性函數： n 0產工W/ 1?1 其中每個％都可以是所何自變量樣本值的一個函數。 （4） “最優(yōu)”：最優(yōu)被定義為最小方差。 2. 定理34：高斯■馬爾可夫定理 （1） 主要內容 在假定MLR 1?MLR 5下，厶，厲，…，A分別是幾，州，…，A的最優(yōu)線性無偏估計量。 假定MLR1?MLR 5被稱為（橫截面數據分析的）

41、高斯■馬爾可夫假定。 （2） 高斯■馬爾可夫定理的重要性 當這個標準假定集成立時，不需要再去尋找其他無偏估計屋：沒有一個會比OLS更好。 如果高斯?馬爾可夫假定中的任何一個不成立，那么這個定理也就不再成立。零條件均值的假定（假定MLR 4） 不成立會導致OLS產生偏誤，異方差性（假定MLR 5不成立）雖不致使OLS有偏，但它在線性無偏估計最中 不再具有垠小方差。 3.2課后習題詳解 一、習題 1. 用WAGE2-RAW中冇關男工人的數據估計了如下方程: educ = 10 36-0 094sibs + 0 131meduc + 0.210 feduc n = 722 ,R2 =0

42、 214 其中，educ是受教冇年數，sibs是兄弟姐妹的個數，educ是母親受教冇的年數，Feduc則是父親受教育的 年數。 （I） sibs是否具有預期的影響？請給出解釋。保持meduc. feduc不變，為了使預測的受教育程度減少一年， 需要sibsJ?加多少？（這里不要求答案為整數。） （II） 討論對meduc的系數的解釋。 （in）假設一個男工人A沒有兄弟姐妹，其父母都接受了 12年的教育。另一個男工人B也沒有兄弟姐妹, 但其父母都接受了 16年的教育。預計B和A所接受教育的年數差別為多少？ 答：（1）s】bs典有預期的影響。家庭中兄弟姐妹的數屋越多，每一個小孩受教育的年

43、數都會減少。為了使預 測的受教育程度減少一年，需要增加Asibs = l/0.94? 10 6 o (11)變呈sibs和feduc保持不變，則母親受教育的年數每堆加一年，預計受教育年數將會增加0 131年。因 此母親受教育年數增加4年，她的兒子受教育年數增加約半年(0.524)。 (in)因為兄弟姐妹的個數是相同的，但是meduc和feduc均不相同.因此B和A所接受教育的年數為： (0 131 + 0 210)x4 = 1 364 (年)。 2. 利用GPA2RAW中有關4137名人學生的數據，用0LS估計了如下方程： colgpa = 1 392-0 0135hsperc +

44、0 00148sat n = 4137, R3 = 0.273 其中，colgpa以四分制度量，hsperc是在高中班上名次的百分位數(比方說，hsperc = 5 ,就意味著位于班 上前5%之列)，而sat是在學生能力測驗中數學和語言的綜合成績。 (I) 為什么hsperc的系數為負也講得通？ (II) 當hsperc = 20和sat = 1050時，大學GPA的預測值足多少？ (皿)假設兩個在高中班上具有同樣百分位數的高中畢業(yè)生A和B,但A學生的SAT分數要高出140分(在 樣本中相當于一倍的標準差)，那么，預計這兩個學生的大學GPA相差多少？這個差距大嗎？ (IV) 保持hs

45、perc不變，SAT的分數相差多少，才能導致預測的colgpa相差0 50或四分制的半分？評論你的 結論。 答：(I)在高中班上名次的百分位數(hsperc)越小，學生在高中排名就越好，越大則排名越差?其它條件 不變的情況下，學生在高中的排名越差，他/她預計的BA將越小。 (11)將hsperc = 20, sat = 1050代入估計方程可得： colgpa = 1 392-0.0135x20+0 0148x1050 = 2.676 (ill)預計中A的成績比B的成績高出0 0148x140^0 207。這個差距較人。 (iv ) hsperc 不變，Acolgpa = 0 001

46、48Asat o 當Acolgpa = 0.5時，(Asat) =0 5/(0.00148) ? 338 o在其他條件不變的情況下，SAT分數的差異為約25個標 準差,才能預測colgpa相差0 50。 3. 剛從法學院畢業(yè)的學生的起耕中位數由卜?式決定： log (salary) = R + 屁LSAT +昂 GPA+屁log(libvol)+屁 log(cost)+屁 rank+u 其中，LSAT?是整個待畢業(yè)年級LSAT成績的中位數，GPA是該年級人學GPA的中位數，hbvol是法學院圖 書館的藏書量，cost是進入法學院每年的費用，而rank是法學院的排名(rank=l的法學院

47、是最好的)。 (I) 解釋為什么我們預期屁S0 ° (II) 你預計其他斜率參數的符號如何？給出你的理由。 (ill)使用LAWSCH85 RAW中的數據，估計出來的方程是 log(salary) = 8 34 + 0 0047LSAr + 0 248GPA+0 0951og(hbvol)+0 0381og(cost)-0.0033rank n = 136 ,R3 = 0 842 在其他條件不變的情況卜，預計GPA中位數相差一分會導致嶄水有多人差別？(以百分比回答。) (iv) 解釋變量log(libvol)的系數。 (v) 你是否認為，應該進入一個排名更高的法學院？從預計的起薪

48、來看，排名相差20位的價值有多大？ 答：G)法學院的排名越大，說明該學院的聲望越差，這將使得起薪卜降。例如，排名100意味著還有9$ 所學校更好。因此預期/?5<0o (11)預計A>0, 02>0,因為 ar和GPA都衡量了待畢業(yè)班級的質量，好學生進入學院使得預計的平均工 資更高。A，口>o,法學院圖書館的藏書量以及進入法學院每年的費用都衡量了學校的質量。成本的作用小于 藏書量，但反映了教員和硬件設施的質量。 (ill)預計GPA中位數相差一分會導致薪水增加24 8%o (iv)應該進入一個排名更高的法學院。 排名相差20位的價值為：100x00033x20= 6^oo 4?

49、下面這個模型是Biddle and Hamennesh (1990)所用多元回歸模型的-個簡化版本，原模型研究睡眠時 間和工作時間之間的取舍，并考察影響睡眠的其他因素： sleep = Pq + Atotwrk + /^educ + /^age+u 其中，sleep和totwrk都以分鐘/周為單位，而educ和age則以年為單位。(也町參見計算機習題C2.3。) (I) 如果成年人為工作而放棄睡眠，介的符號是什么？ (II) 你認為易和爲的符號應該是什么？ (in)利用SLEEP75RAW中的數據，估計出來的方程是 sleep = 3638.25—0 148totwrk-l 1 1

50、3educ + 2 20age n = 706 ,R3=0 113 如果有人一周多工作5個小時，預計sleep會減少多少分鐘？這是一個很人的舍棄嗎？ (IV) 討論educ的估計系數的符號和大小。 (v)你能說totwrk，educ和age解釋了 sleep的大部分變異嗎？還有什么英他因素可能影響花在睡眠上的時 間？它們與totwrk nf能相關嗎？ 答：(1)A的符號應該為負。 (11)屁的符號?不明確。一些人認為更高教育水平的人想獲得更多，其他條件相同的情況下，他們休息的較 少，此時爲<0。睡眠與年齡之間的關系比模型描述的更為復雜，經濟學家不能很好的判斷這件事情。 (in)因

51、為totwrk都以分鐘/周為單位，因此將時轉化為分可得，Atotwrk=5x60 = 300o預計睡眠將會下降 0148x300=444 (分)。對一周而言，這并不是一個很大的舍棄。 (iv) 受教育年限educ越多暗示著預計睡眠時間越少，但是這種影響是很小的。假設在其他條件不變的情況 下，大學和高中的區(qū)別是四年間大學學生每周睡眠時間少休息45分鐘。 (v) 不能，totwrk、educ和age只解釋了 11 3%的sleep的變異。一個包含在誤差項中的重要因素是總體ft! 康狀況。另一個重要因索是婚姻狀況，以及是否有孩子。健康、婚姻狀況、孩子的數量和年齡與totv/rk是相關的。 5.

52、 考慮含有三個自變量的多元回歸模型，并滿足假定MLR1?MLR4, y=+u 你對估計珂和％的參數Z利感興趣；把這個和記為q = (I) 證明a = 的一個無偏估計量。 (II) 求出用 V ar(A)> Var(A)和 Corr 仏，矗)表示的 V ar(&)。 答：(1) e(4)=e(A+A)=e(A)+e(A)=a+a = ^- (11) Var(4) = Var(4 + A) 6. 在一項調査大學GPA與在各種活動中折耗費時間之關系的研究中，你對幾個學生分發(fā)了調査問卷。學生 被問到，他們每周在學習、睡覺、工作和閑暇這四種活動中各花多少小時。任何活動都被列為這四種活動之一

53、, 所以對每個學生來說，這四個活動的小時數之和都是16& (I) 在模型 GPA= A+Astudy+Asleep+Awork+Aleisure+u 中，保持sleep , work和leisure不變而改變study是否有意義？ (II) 解釋為什么這個模型違背了假定MLR 3。 (in)你如何才能將這個模型重新表述，使得它的參數具冇一個有用的解釋，而又不違背假定MLR 3。 答：(I)沒有意義。因為四種活動的總時間固定為168小時，其他三種不變，貝'J study時間也不會改變。 (11)從(1)町矢II，study是其他三種活動的線性函數：study = 168-sleep

54、-work-leisure。這種關系對F每 一個觀測值都成立，因此違背了 MLR 3。 (皿)應該去掉一個解釋變量leisure,模型變?yōu)椋? GPA= A + Astudy +爲 sleep +屁 work+u 0i是study的參數，當其他條件不變的情況卜，study每增加一小時，GPA增加煜。但是如果學習時間增加 一小時，leisure吋間必須減少一小時。It他參數解釋與此類似。 7. 假設制造業(yè)中毎個工人的平均生產力（avgprod ）取決于培訓的平均小時數（avglram ）和工人的平均能 力（avgabil ）兩個因素： avgprod =幾 +X^avgtrain +

55、 /3j avgabil +u 假設這個方程滿足高斯■馬爾町夫假定。如果將培訓津貼給了那些工人能力校差的企業(yè)，以致avgtrain和avgebil呈 負相關，那么，將avgprod對avgtrain進行簡單回歸所得到的厶町能出現什么樣的偏誤？ 答：利用表3-2o因為0>0,且Corr（x^ , x2） <0 <>因此A存在一個向卜的偏誤，即A： E（y^） < A °簡單回 歸估計低估了培訓時間的影響。即使A>0, E（3）也可能是負的。 8. 下面哪些因素會導致0LS估計量出現偏誤？ （I） 異方差性。 （II） 遺漏一個重要變量。 （in）模型中同時包含的兩個自變屋之間的樣本相

56、關系數達到0.95. 答：只有（11）才會導致OLS出現偏誤，且所遺漏的變量必須與模型中包含的變量是相關的。同方差性假設 并不影響OLS估計最的無偏性，僅影響估計帚:的方差。樣本解釋變最之間共線性的程度并不影響高斯■馬爾科夫 假定。只有當自變量之間完全共線時，才會違背MLR 3。 9. 假設你對估計其他條件不變情況卞y和西之間的關系感興趣。為此，你可以搜集兩個控制變最冷和西的 數據。（為貞?實起見，你町以想象y為期末考試分數，珂為到課率.?為匕學期之前的GPA，虧為跑或ACT分 數。）令A農示y列嗎進行簡單回歸的系數估計值，而入為y對坷，虧，虧進行多元回歸的斜率估計值。 （I） 若樣本中

57、為與乃和X3高度相關，且乃和X3對y具有很大的偏效應，預計介和A是十分類似還是十分不 同？請解釋。 （II） 若西與％和屯幾乎無關但冷和為高度相關，預計厶和人是十分類似還是十分不同？請解釋。 （in）若樣本中珂與可和xj高度相關，且冷和冷對y具有很小的偏效應，預計se（即和se（引哪個更小？ 請解釋。 （IV）若可與X?和可幾乎無關,虧和虧對y具有很大的偏效應，并且虧與號高度相關,預計se（A）和se（A） 哪個更??？請解釋。 答：（I）因為珂與％和X3高度相關，后而的變量對y具有很人的偏效應，簡單和多元回歸中丙的系數十分 不同。由方程3 46以及對遺漏一個變量的討論可知，系數不相同是

58、直覺的結論。 （11）若可與虧和有幾乎無關但X?和％高度相關，預計爲和人十分類似。因為可與知和x,幾乎無關，則虧 和屯的相關程度對多元回歸中對X】的回歸估計沒冇近接的影響。 （in） se（A）更小。在本案例中，加入花和xj人幅度增加了習的系數的標準誤，因此se（A）vse（A）。 （iv） se（A）更小。在模型中加入工2和屯將會減少殘羞，而不導致多重共線性.因此町得se（A）>se（A）o x2 和x3的柑關關系并不影響se（A）o 假設決定y的總體模型是y = A+A^+Ax2+^x3+u ,而這個模型滿足假定MLR 1?MLR 4。但我們估 計了漏掉旳的模型。令亦 3和

59、屈為y對X?利冷回歸的ols估計量。(給定樣本中自變最的值)證明&的期望 值是 E(旳二0|+03 M A / =] 其屮匚是壬對X?回歸所得到的OLS殘差。［提示：A的公式來口方程(3.22)o將y嚴A+A噸+ A牝+ZU3+S 代入這個方程。經過-些計算之后，將氐和珀視為非隨機量而取期望。］ Z^iYi 答：由公式3.22 nf得：直=— 氣一。代入真實的模型町得: 1*1 唇討訃+皆軌+UJ n 口: U1 因為論0, &1電", U1 1-1 子簡化為 = * 41是抵對氐回歸的殘差，右有零均值，且與心無關。因

60、此分 1-4 U1 i-l 1-1 i-l 將分子代入原式得: 左弧 3M+爲 一+弓一 1^1 1-1 山丁?隨機誤差項的均值為6因此 e(A)胡+爲一 i-i 10. 卜面這個方程把一個社區(qū)住房的中間價格表示成污染水平(用nox表示氧化亞氮)和社區(qū)中每套住房平 均房間數量(woms)之間的關系： log (price)=幾 + /^log(nox) +/grooms+u (i)屁和爲的符號可能是什么?對A有何解釋？請加以說明。 (11)為什么nox ［或更準確地說，J^log(nox)］ *j rooms nf能負相關？如果是這樣，將log(price)對log(

61、nox)進 行簡單回歸得到A的偏誤估計最是偏高還是偏低？ (ill)利用HPRICE2.RAW中的數據，估計出如卜?方程： log (price) =11 71-1 0431ogl nox) n = 506 ,R3 = 0 264 log(price) = 9 23-0 7181og(aox) + 0 306rooms n = 506 ,R3= 0.514 根據你在第(ii)部分的回答，就p門ce對nox的彈性估計值而言，上述簡單回歸結果和多元回歸結果之間的關系與你的預期一致嗎？這個結果是否意味著-0718比-1 043更加接近真實彈性？ 答：（I）A <0,更高的污染水平導致預計

62、房屋價格更低。介表示房屋價格的污染彈性，即污染水平上升1%， 則房屋價格下降 對>0,每套住房平均房間數最越多，說明房屋面枳越大，則房用價格越高。 （11）假設平均房間數屋隨著房屋質量的提高而增長，log（nox）與rooms町能負相關，因為實際上貧窮的社 區(qū)污染水平更高。利用表3 2 nf判斷偏課的方向，如果對>0且Corr（x】f ）<0,簡單回歸估計得到的0】有一個 向卜的偏誤。當A<0,意味著在同樣的回歸中，平均污染水平的作用0】被高估了。 （in）上述簡單回歸結果和多元回歸結果之間的關系與預期-?致。簡單回歸估計的結果-1 043小于多元回歸 的結果-0718。如果這些估計只是

63、對于一個樣本而言，那么就不能判斷哪一個更接近A，但如果這是一個典型的 樣本，則-0 718更接近真實的A。 11. （1）在前4個高斯■馬爾町夫假定之卜?，考慮簡單回歸模型廠并+爐+“對某個函數g（z）,比如g（x） = F 或g（x） = log（l + x2） o定義勺=g（xj定義-個斜率佔計量為 證明0】是線性無偏的。記住，在你的推導過程中，因為E（u|x）=0,所以你可以把兀和4都看成非隨機的。 （11）增加同方差假定MLR 5,證明 Var(A) = n -12 IZ, 一 Z I 兀 （山）在高斯■馬爾町夫假定卜，直接證明Var（A）SVa

64、r（0j,其中A是OLS估計量。［提示：附錄8中的柯 西■施瓦茲不等式意味著 n吃（—）（兀-刃S n吃（勺一才卜■吭（兀一郢 i-4 」L>?1 」L*-1 」 注總，我們町以將：從樣本協方差中去掉。 證明：（I）記$次=乞（2-可A，這不完全是Z和X樣本協方差，因為并沒有除以n-1.但為了簡化計算而使 用它。由此可知： 另（耐可％ 碁 s? 這是一個％的線性函數，設權重為幽=彷-可/S"為了表示無偏性，將y產A+dq+g加入該方程可得: 另億-乏）（人+朋+3）人另億-可+乩+另厲一可円 另億-可％ 因為Z（Zx-z）=O, 是z,、兀和預計期望值的函數.對于

65、所有的I,都有E（uJ = 0。因此可得: Z(zi-Z)E(U1) E(A)=A+- = A Var(ux) （11）據（i）可得:Var（0j= ［族-呵心1/ ［族呵 兩邊乘以幾可得Var（A）

66、銷售稅稅收收益的比例。所令這些變量都以1980年的貨幣度量。遺漏的比例 sharep包括收費和雜項稅收。根據定義，這四個比例之和為1。其他因素將邊括燉教冇、基礎設施等支出（均以 1980年貨幣度量）。 （I） 我們?yōu)槭裁幢仨殢姆匠讨惺÷砸粋€稅收比例變最？ （II） 對A給出一個仔細的解釋。 答：（1）四種稅收的比例Z和為1，如果不省略?種稅收的比例，方程就會遭遇完全共線性。參數不存在“其 他條件不變”的情況，也就是說，只改變一種稅收的比例不可能維持所有其他的變量保持不變。 （11）因為每一種稅收分擔一個比例（最大為1，此時其他稅收所占份額為0）,因此增加1單位的財產稅收 益比例sharep是無意義的。如果sharep Jf?加1%,保持其他因素不變的情況下，growth卜?降0"。 二、計算機習題 1. 衛(wèi)生官員（和其他人）所關心的一個問題是，孕婦在懷孕期間抽煙對嬰兒健康的影響。對嬰兒健康的度 屋方法之-是嬰兒出生時的體重：過低的出生體重會使嬰兒有感染各種疾病的危險。由于除了抽煙之外，其他影 響嬰兒出生體重的因素町能與抽煙相關，所以我們應該考慮這些因素。比如，高收入通常會使