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1、 不定積分·教案示例 目的要求 1．理解原函數(shù)的定義，知道原函數(shù)的性質，會求簡單函數(shù)的原函數(shù)． 2．理解不定積分的概念，掌握不定積分的線性性質，會用定義求簡單函數(shù)的不定積分． 內容分析 1．不定積分是一元函數(shù)微積分學的基本內容，本章教材是在學生已掌握求導數(shù)方法的基礎上，研究求原函數(shù)或不定積分的．故學好“導數(shù)與微分”是學好不定積分的前提，教學時，要與“導數(shù)與微分”一章的有關內容進行對照． 2．本節(jié)教學重點是原函數(shù)和不定積分的概念教學，難點是原函數(shù)的求法．突破難點的關鍵是緊緊扣住原函數(shù)的定義，逆用求導公式，實現(xiàn)認知結構的理順．由于逆運算概念學生并不陌生，因此教學中要充分利用思

2、維定勢的積極因素并引入教學．另外，本節(jié)切勿提高教學難度，因為隨著后續(xù)學習的深入，積分方法多，無需直接用定義求不定積分． 3．本節(jié)教學要始終抓住一條主線：“求導數(shù)與求原函數(shù)或不定積分(在不計所加任意常數(shù)時)互為逆運算”．強調求不定積分時，不要漏寫任意常數(shù)C；另外，要向學生說明：求一個函數(shù)的不定積分，允許結果在形式上不同，但結果的導數(shù)應相等．指出這點是有益的，一方面使學生會檢查得到的不定積分是否正確，另一方面消除學生由于所得不定積分形式的不同而產生的疑問． 4．根據(jù)本節(jié)知識的抽象性，教學中應充分安排學生進行觀察、聯(lián)想、類比、討論等課堂活動，使之參與到概念的發(fā)現(xiàn)過程，體會知識的形成過程．本著這一

3、原則，本節(jié)課宜采用引導發(fā)現(xiàn)法進行教學． 教學過程 1．創(chuàng)設情境，引入新課 (1)引例(見解本章頭)． 用多媒體顯示引例圖象，提出問題，激起學生求知欲望，揭示并板書課題． (2)介紹微積分產生的時代背景，弘揚科學的學習態(tài)度和鉆研精神． 2．嘗試探索，建立新知 (1)提出問題：已知某個函數(shù)的導數(shù)，如何求這個函數(shù)？ (2)嘗試練習：求滿足下列條件的函數(shù)F(x)． ①F′(x)＝3x2 ②F′(x)＝x3 (3)解決問題：上述練習是完成與求導數(shù)相反的逆運算．因此，解決問題的方法仍為求導數(shù)． (4)形成定義：詳見課本“原函數(shù)”的定義． 對于原函數(shù)的定義，教師應強調下列三點：

4、第一，F(xiàn)(x)與f(x)是定義在同一區(qū)間I上，這里的區(qū)間I可以是閉區(qū)間或半閉區(qū)間或開區(qū)間． 第二，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，不是所有的原函數(shù)． 第三，求原函數(shù)(在不計所加常數(shù)C的情況下)與求導數(shù)互為逆運算． (5)簡單應用： 例1 求下列函數(shù)的一個原函數(shù)． ①f(x)＝3x2 ②f(x)＝x3 小結解法：根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個函數(shù)F(x)，使它的導數(shù)F′(x)等于f(x)． (6)討論問題：已知函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)，那么函數(shù)f(x)是否還有其他原函數(shù)？舉例說明．(略) (7)歸納性質： 一般地，原函數(shù)有下面的性質： 設F(x)是

5、函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，對于任意常數(shù)C，F(xiàn)(x)＋C也是f(x)的原函數(shù)，并且f(x)在區(qū)間I上任何一個原函數(shù)都可以表示成F(x)＋C的形式． 教師強調：一個函數(shù)雖然有無窮多個原函數(shù)，但是我們只要求出其中的一個就行，其他的原函數(shù)都可以由這個原函數(shù)再加上一個常數(shù)得到．這樣就給出了求已知函數(shù)的所有原函數(shù)的方法． 3．類比分析，拓廣知識 根據(jù)原函數(shù)的性質，類比引入不定積分的概念． (1)講解不定積分的有關概念：不定積分、積分號、被積函數(shù)、積分變量、被積式、積分常數(shù)等(詳見課本)． 對于不定積分的定義，教師說明如下： ＋C．常數(shù)C不要漏寫，F(xiàn)(x)只能表示一個原函數(shù)，這也正

6、是原函數(shù)和 “f(x)dx”構成，書寫時不要漏掉dx． 積分變量是u，被積函數(shù)ux是關于u的冪函數(shù)． (2)推導不定積分的性質． 證明：設函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，即F′(x)＝f(x)． 證明(略) 上述兩個性質表明：求導數(shù)與求不定積分(在不計所加的任意常數(shù)時)互為逆運算．因此，求不定積分時，常常利用導數(shù)與不定積分的這種互逆關系，驗證所求的不定積分是否正確． 4．例題評價，反饋訓練 例2 如果在區(qū)間(a，b)內，恒有f′(x)＝g′(x)，則一定有 [B] A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＋C D．f(x)＝Cg(x)

7、 例3 求下列不定積分． 小結解法： (1)求不定積分時，都要在結果上寫上任意常數(shù)C．本章凡是沒有特別說明時，所加的C均表示任意常數(shù)． (2)求一個函數(shù)的不定積分，由于方法不同，它的結果在形式上往往也不同．這種形式上不同的結果，可以用求它們的導數(shù)的方法，看其導數(shù)是否相同，如果導數(shù)相同，就說明結果是正確的． 課堂練習：教科書練習第1、3、4題． 的解析式． 解：由不定積分的性質得 f(x)＝(2x3－x2＋9x＋C)′＝6x2－2x＋9 5．歸納總結，鞏固提高 (1)一條主線：求導數(shù)與求不定積分(在不計所加任意常數(shù)時)互為逆運算． (2)二組概念：原函數(shù)的定義和性

8、質，不定積分的定義和性質． (3)三個注意：一是注意一個函數(shù)的原函數(shù)有無窮多個，它們之間僅相差一個常數(shù)；二是注意求不定積分時，不要漏寫任意常數(shù)C；三是注意求一個函數(shù)的不定積分，允許結果在形式上不同，但其結果的導數(shù)應相等． 布置作業(yè) 1．課本習題4．1第3、4題． 2．設函數(shù)y＝f(x)的圖象為a，且在曲線a上任一點M(x，y)處的切線的斜率k(x)＝x3＋1，并且曲線過點P(1，2)，求函數(shù)y＝f(x)的解析式． 有兩個相等實根． (1)求f(x)的解析式． (2)是否存在實數(shù)m、n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]． 3