《宏觀經(jīng)濟活動的度量 第04節(jié) 乘數(shù)與比較靜態(tài)分析方法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《宏觀經(jīng)濟活動的度量 第04節(jié) 乘數(shù)與比較靜態(tài)分析方法（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 《宏觀經(jīng)濟學(xué)：原理與模型》 第二章 宏觀經(jīng)濟活動的度量 第四節(jié) 乘數(shù) 歸結(jié)與引子： 從與的移動，引入乘數(shù)概念。 前面的討論中，已經(jīng)看到：曲線或曲線的移動會引起均衡收入水平的變化；而且上述移動均是由于曲線方程中的某個參數(shù)，也就是所論經(jīng)濟系統(tǒng)的“外生變量”的變動所引致的。 由此，引入專門的經(jīng)濟學(xué)概念——乘數(shù)來描述之。 一、乘數(shù)的一般定義 （一）定義 設(shè)為系統(tǒng)的內(nèi)生變量（又稱：決策變量），為系統(tǒng)的外生變量，若存在使得，則稱為“乘數(shù)”。 （二）全微分與增量 定義中，為的全微分，而只是的另一種記法，即的增量。 由可見，外生變量增加一單位引起內(nèi)生變量

2、（比如，均衡收入水平）增大的倍數(shù)就是。 倍數(shù)，又稱乘數(shù)（Multiplier）。 （三）乘數(shù)的一個重要性質(zhì)：乘數(shù)不少于 以后我們遇到的乘數(shù)均不小于。 外生變量的增大會使均衡收入水平成倍地擴大？ 答：是的。 以一個簡單的例子來觀察乘數(shù)的作用過程與細節(jié)。 （本段供同學(xué)自行閱讀，即可形成直覺。） 二、簡單模型下乘數(shù)的作用過程與細節(jié) （一）條件（因） 展開：數(shù)學(xué)的一個困惑是，常有可能因果倒置。 除了不考慮別國的存在外，我們的簡單模型還暫時假定，從而；再假定為外生變量，而（按現(xiàn)設(shè)），外生變量設(shè)為億元。 現(xiàn)在，如果由于某種原因，政府認為其購買應(yīng)增加到億元，即

3、政府購買增量億元，這對有何影響？ （二）乘數(shù)的作用過程 1、第一時期， 政府購買的增加億元就是對最終產(chǎn)品的需求量增加億元，由此使參與生產(chǎn)這些最終產(chǎn)品的人們的收入增加億元。即政府購買增加億元直接導(dǎo)致整個經(jīng)濟系統(tǒng)收入水平增加億元，記為億元（）。 事情并不到此為止。 2、第二時期， 當(dāng)人們拿到這新增的億元時會進行消費。這樣，新增了一筆消費，其大小可按消費函數(shù)算得億元。這億元代表對最終產(chǎn)品的新需求量，由此使參與生產(chǎn)這些新需最終產(chǎn)品的人們的收入增加億元，從而整個系統(tǒng)的收入水平又增加億元，記為億元（）。 事情還遠未到此為止。 3、第三時期， 得到這8億元的人們又要進行消費

4、。這樣，又新增了一筆消費，其大小仍按消費函數(shù)可得億元。這億元代表對最終產(chǎn)品的又一輪的需求量，由此使參與生產(chǎn)這一輪所需最終產(chǎn)品的人們的收入增加億元，從而使整個系統(tǒng)的收入水平又增加億元，記為億元（）。 …… 4、歸結(jié) 如此繼續(xù)下去，政府新增的這筆購買（億元）本身直接引起的收入增加（億元）以及繼而帶動對最終產(chǎn)品需求和生產(chǎn)所引起的收入增加合計之和為： 5、求得乘數(shù) 我們看到了，增加的政府購買使均衡收入水平的增加量（）不只是限于這筆初始的政府購買增量，而是該初始增量的5倍！ 6、一般化 我們不僅研究了乘數(shù)的作用過程，而且從中求得了乘數(shù)的大小。 不過，我們有更一般的方法求得

5、乘數(shù)。 以下就介紹這一般的方法并去求得幾個常見的乘數(shù)（仍囿于簡單經(jīng)濟模型）。 三、基于簡單經(jīng)濟模型中的幾個重要乘數(shù) （一）所基于的簡單模型 1、簡單模型（這個簡單模型一直用得著，要求直覺出來?。? （1）形式1 由前已知，描述簡單模型的方程是： （2.15）（重點?。? （2）形式2 （2.16）（重點?。? 2、模型說明 其中，為計劃的意愿投資，此時，在前面我們用的符號是，但為書寫的方便今后改寫成，希望不致引起混淆。 現(xiàn)在我們來看看，如何利用描述系統(tǒng)的方程，比如式（2.15）（用式（2.16）也一樣），去求

6、得乘數(shù)。 請注意：在簡單模型中，與視作獨立于的外生變量。 （在下一章較復(fù)雜的更接近實際的模型中我們將改變對的這種假定。） （二）政府購買乘數(shù)（當(dāng)為總額稅，即常數(shù)時） 1、乘數(shù)的一般求法 前面我們已經(jīng)用一個數(shù)字例子從乘數(shù)作用的過程中求得了政府購買乘數(shù)。 一般地，更為方便的方法是利用式（2.15）直接求得乘數(shù)。 對式（2.15）兩邊求全微分： （2.17）（重點！） 2、一些說明 （1）這里，，即； （2）外生變量如果不變，則； 注意，我們在考慮乘數(shù)時，只假定一個外生變量，即考察對象的變化引起多少倍的的變化，而假定其他外生變量維持原值（守衡

7、）。 （3）因為總額稅，且在考察期它也不變，故也為。因而 （4）結(jié)果 所以，，即所求乘數(shù)為。 （5）算例 前面的數(shù)字例子的乘數(shù)可馬上由乘數(shù)公式求出： （6）乘數(shù)的性質(zhì) 注意到，該乘數(shù)必大于。 （三）政府購買乘數(shù)（當(dāng)時） 1、條件 現(xiàn)在討論當(dāng)稅收函數(shù)為一般情況時的政府購買乘數(shù)。此時在式（2.16）中, 仍為。 2、乘數(shù) 由此可得： 即，此時的乘數(shù)為。 3、討論 注意到和，不難驗證，該乘數(shù)。 顯然，當(dāng)（從而）時的政府購買乘數(shù)是現(xiàn)在情況（）下的特例。 （四）稅率乘數(shù) 1、條件 現(xiàn)在假定，，稱為稅率，它是獨立于的外生變量。為求稅率乘數(shù)（

8、即在其他外生變量和不變的情況下，的變化使變化的倍數(shù)）。 同樣，對式（2.15）兩邊求全微分（注意先以代入）， 因和不變，即。 2、得乘數(shù) 即，稅率乘數(shù)（乘數(shù)）為。 3、結(jié)論 不難發(fā)現(xiàn)，乘數(shù)是個負數(shù)。表明：與的變動方向是相反的。 具體地，當(dāng)稅率提高（減少）時，均衡收入水平減少（提高）；反之則反是。 第二章 思考題 1、分別說出什么是：均衡收入，穩(wěn)定性，節(jié)儉悖論，乘數(shù)。 2、試討論與，之間的關(guān)系。 3、為、、或時，分別說出在恒等式（2.10）中兩端各項的具體意義。 ==========================

9、== ============================ 附錄： 宏觀經(jīng)濟學(xué)中的比較靜態(tài)分析 一、微分、全微分、偏微分、全導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)的隱函數(shù)法則和反函數(shù)法則 （一）微分 對于一元函數(shù)來說，的微分度量的是由于的微小變化所引起的的變化。 比如，對于，的微分可通過求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)而得到，該導(dǎo)數(shù)度量由于的微小變化而引起的的變化與的微小變化之比率。 導(dǎo)數(shù)或變化率 接著，用的一個特定變化乘以該比率，以求的變化。 微分或變量 的改變量 = 由于的很小變化而引起的的變化率 × 的微小改變量 例1

10、1 1．如果，則有及微分 2．如果，則有及微分 （二）全微分、偏微分 對于兩個或更多個自變量的多元函數(shù)，全微分度量的是由于每一個自變量的微小變化而引起的因變量的改變量。 如果，全微分的數(shù)學(xué)公式如下： (5．11) 其中，和分別是關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù)，和是和的微小改變量．即，全微分可以通過求函數(shù)關(guān)于每一個自變量的偏導(dǎo)數(shù)并代入上述公式求得。 例12 求全微分 1．已知： 將其代入公式，得到 2．已知： 全微分是 如果其中的一個自變量為常數(shù)，例如，則有全微分

11、： 偏微分度量的是：當(dāng)假設(shè)另一個自變量保持不變時，一個自變量的微小變化所引起的因變量的改變。 （三）全導(dǎo)數(shù) 現(xiàn)在我們研究這樣一種情形：，而，即當(dāng)和不是相互獨立的變量時，的變化會通過函數(shù)對產(chǎn)生直接的影響，通過函數(shù)對產(chǎn)生間接的影響。 正如圖5—3中路徑圖所示，當(dāng)和非相互獨立時，要想度量的變化對的影響，必須給出全導(dǎo)數(shù)的概念。全導(dǎo)數(shù)是對的直接影響與通過對的間接影響之和，即，全導(dǎo)數(shù)為 (5．12) 例13 求全導(dǎo)數(shù)的另一方法：先求的全微分 再將方程兩邊同除以 (在心里可以這樣想)，于是有 由

12、于，有 例14 已知 其中，關(guān)于的全導(dǎo)數(shù)為 其中，和，代入上式有 為了檢驗答案，可以將代入原函數(shù)得到關(guān)于的一元函數(shù)，然后求導(dǎo)數(shù)： 所以， 例15 全導(dǎo)數(shù)同樣可以進行擴展以適用其他的函數(shù)表達式。對于 關(guān)于的全導(dǎo)數(shù)則變成： 其中，代入上式 再將代入上式 （四）求導(dǎo)的隱函數(shù)法則和反函數(shù)法則 1、求導(dǎo)的隱函數(shù)法則 形如的函數(shù)用解析地表達出來，我們稱該種形式的函數(shù)為顯函數(shù)。 形如的函數(shù)不能由解析地表達出，稱其為隱函數(shù)。 如果隱函數(shù)存在且在隱函數(shù)有定義的點附近，則隱函數(shù)的全微分為。 由于導(dǎo)數(shù)即

13、微分的比率，于是我們可以將之變形得到求導(dǎo)隱函數(shù)法則： (5．13) 不難發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)是其相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)之比的負倒數(shù)。 2、求導(dǎo)的反函數(shù)法則 給定一個函數(shù)，如果每一個都對應(yīng)一個而且僅一個值，則其反函數(shù)存在，假設(shè)反函數(shù)存在，則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，這便是求導(dǎo)的反函數(shù)規(guī)則。 所以，如果是原函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是且有 只要 (5. 14) 見例16，例17。 例16 已知隱函數(shù) (a) (b) 導(dǎo)數(shù)如下求得： (a

14、) 由(5．13)有 這里和代入上式， 本例中的函數(shù)有意地安排的很簡單，即可以解出，將以表達，于是直接求導(dǎo)數(shù)。由于，這樣一來就很容易地驗證了答案。 (b) 例17 求下列函數(shù)的反函數(shù)： 1. 設(shè)， 其中，所以 2. 設(shè)， 二、比較靜態(tài)分析 經(jīng)濟學(xué)中的所謂比較靜態(tài)分析（即人們熟悉的比較靜態(tài)），是對經(jīng)濟模型的內(nèi)生變量由于外生變量或參數(shù)的變化所引起的不同均衡值或最優(yōu)值進行比較。 經(jīng)濟學(xué)家可以利用比較靜態(tài)分析方法進行經(jīng)濟變量間的影響程度估計，比如，可以估計消費者需求對于政府制定的消

15、費稅、關(guān)稅或補助金的反映程度，投資、政府支出或利率的變化對國民收入的影響等等。 在數(shù)學(xué)本質(zhì)上講，比較靜態(tài)分析的主要內(nèi)容，其實就是求解某種適當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)，并判斷其代數(shù)符號。 三、含有一個內(nèi)生變量的比較靜態(tài) 特殊函數(shù)和一般函數(shù)均可用于比較靜態(tài)分析。 對于下面例1中的具體函數(shù)（即特殊函數(shù)）情形，所要求的導(dǎo)數(shù)既可以用顯函數(shù)，也可以用隱函數(shù)形式來求。 對于例2中的一般函數(shù)情形，則只能用隱函數(shù)一種形式求導(dǎo)數(shù)。 當(dāng)獨立變量（內(nèi)生變量）不只一個時，用類似的方式求偏導(dǎo)數(shù)即可。 例1 假設(shè)一種商品的需求和供給由確定函數(shù)給出，用參數(shù)表示為 這里，，。均衡條件為

16、 代入上面的式子，求解均衡價格水平，可以得到 (13．2) 現(xiàn)在利用比較靜態(tài)分析，可以決定內(nèi)生變量的均衡水平因單個外生變量()或五個參數(shù)中任何幾個的變化而如何變化，比較靜態(tài)分析只需要求出所要求的導(dǎo)數(shù)并判斷它的符號。 為了衡量均衡價格對收入變化的反應(yīng)程度，我們從顯函數(shù)(13．2)得出 (13．3) 這意味著，在這個經(jīng)濟模型中，消費者收入的增加將導(dǎo)致商品的均衡價格的增加。由于參數(shù)的值是已知的，那么價格變化受收入的具體影響即可以估計出。 比較靜態(tài)同樣可以很

17、好地應(yīng)用于隱函數(shù)。 把13．1的全部項移到左邊，則，或超額需求等于零，我們可以得到均衡條件的隱函數(shù)： (13．4) 接著，利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)。假設(shè)， 從(13．4)可知，和．代入并簡化，有 比較靜態(tài)也可以用來估計任何參數(shù)的變化對的影響。 但是，由于它們僅描述需求和供給曲線的截距和斜率，因此，它們通常沒有什么實際的經(jīng)濟意義。但是在其他某種例子中，如收入決定模型，參數(shù)通常有經(jīng)濟意義，而且存在它們本身的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)。 例2 現(xiàn)假定一個一般模型，商品的供求只由一般函數(shù)給出：

18、 均衡價格水平可由需求等于供給時得到： 或者等價地，超額需求等于零， (13．5) 這時，只能利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，假定， 由(13．5)，和代入， 根據(jù)供給定律，我們總是期望。如果商品是正常商品，那么且。代入上式，在正常商品情況下有 如果商品是劣質(zhì)品，但不是吉芬商品，那么且，因此； 如果商品是吉芬商品，那么和，導(dǎo)數(shù)的符號不定，取決于分母的符號。 例3 假設(shè)一個兩部門經(jīng)濟的收入決定模型，這個經(jīng)濟中，消費依賴于收入，投資是自控的，因此 當(dāng)時，產(chǎn)生均衡。 (a)求出均衡收

19、入水平的顯示表達式。 (b)利用比較靜態(tài)估計自控投資的改變對均衡收入的影響。 (c)從隱函數(shù)找到同樣的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)。 解： (a) 由 代入 (13．13) (13．14) (b)自控投資的變化對的影響是 因為 (c) 把(13. 13)式都移到左邊，我們得到隱函數(shù) (13．15) 在通常假定下根據(jù)隱函數(shù)法則 這里和．因此，

20、 四、含有多個內(nèi)生變量的比較靜態(tài) 在含有多個內(nèi)生變量的經(jīng)濟模型中，比較靜態(tài)要求每一個內(nèi)生變量都有惟一的均衡條件成立，有個內(nèi)生變量的系統(tǒng)一定有個均衡條件。 要想刻畫某個外生變量對任何或所有內(nèi)生變量的影響，首先求出每個均衡條件關(guān)于該外生變量的全導(dǎo)數(shù)，然后再聯(lián)立求出所要求的偏導(dǎo)數(shù)。如果函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且由所有函數(shù)的關(guān)于外生變量的偏導(dǎo)數(shù)組成的雅可比行列式不為零，則由隱函數(shù)定理：內(nèi)生變量的最優(yōu)值可以表示為外生變量的函數(shù)，而且比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)可由克萊姆法則求得。 例3 為了表示的簡化，假定模型只有兩個內(nèi)生變量和兩個外生變量，且為隱式廣義函數(shù)，在隱式廣義函數(shù)中先列寫內(nèi)生變量，再列寫外生變

21、量，用分號把前者和后者分開。（當(dāng)然，模型可以很容易地擴展到任意多個內(nèi)生變量和任何多個外生變量，這里不必等于。） 為求得系統(tǒng)關(guān)于外生變量的比較靜態(tài)偏導(dǎo)數(shù)， 首先，改寫隱函數(shù)， 其次，求出兩個函數(shù)關(guān)于的全導(dǎo)數(shù)， 寫得更為詳細一些， 由于內(nèi)生變量單一地依賴于外生變量，所以全導(dǎo)數(shù)也可寫成， 用短橫表示均衡值，代入、整理并用矩陣記號表示為 假設(shè)所有函數(shù)有連續(xù)一階和二階導(dǎo)數(shù)，而且所有函數(shù)()的關(guān)于所有內(nèi)生變量()的由全部一階偏微分構(gòu)成的雅可比行列式不等于零，即 利用克萊姆法則求解關(guān)于的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)。特別地，假定，則該比較靜態(tài)導(dǎo)

22、數(shù)為 (13.6) 因此，為了求解比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)，我們用向量替換的第一列，構(gòu)造一個新矩陣，然后代入上式(13．6) 同樣地， 用類似方法，可以得到關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。 例4 假設(shè)產(chǎn)品市場(曲線)和貨幣市場(曲線)的均衡分別由下面式子給出 (13．7) (13．8) 這里，=貨幣需求，=貨幣供給，=自控消費，=價格水平，它使成為貨幣實際供給而不是名義供給。為了簡化，讓保持不變。 的變化對和的均衡水平的影響用比較靜態(tài)分析說明如下

23、： (a)求出均衡條件(13．7)、(13．8)關(guān)于所需的外生變量的全導(dǎo)數(shù)，這里的外生變量是 首先，重寫隱函數(shù)， 其次，求出關(guān)于外生變量的全導(dǎo)數(shù)， 整理， (b)用矩陣形式表示 (c)接著，檢驗以確定雅可比行列式，使隱函數(shù)定理成立。 應(yīng)用符號， 因此，，所以隱函數(shù)定理的條件得到滿足。 (d)通過用向量替換矩陣的第1列來構(gòu)造一個新的矩陣，并代入(13．6)來求解一階偏微分，。 因此， 即，自控消費的增加將導(dǎo)致收入的均衡水平的增加。 (e)通過用向量替代的第二列構(gòu)造，并代入(13．6)，求解第二個偏微分。

24、 和 即，的增加也將導(dǎo)致利率的均衡水平的增加。 的改變對和影響請見下題例4（+）． 例4（+） 假定例4中模型 利用比較靜態(tài)分析，貨幣供應(yīng)的變化對和的均衡水平的影響，要求是常量。 解：求出關(guān)于的全導(dǎo)數(shù)， 把它們設(shè)置為矩陣形式 這里 接著，構(gòu)造一個新矩陣行列式，求解一階微分。 和 即，貨幣供應(yīng)的增加會導(dǎo)致收入的均衡水平的增加。 對于， 和 即，的增加將導(dǎo)致均衡利率的下降。 五、優(yōu)化問題的比較靜態(tài) 經(jīng)濟學(xué)家除了關(guān)注模型的外生變量對內(nèi)生變量均衡值的影響外，還經(jīng)常對外生變量對優(yōu)化問題的最

25、優(yōu)值的影響感興趣。 由于最優(yōu)值是由一階條件得到的，所以只要將比較靜態(tài)分析應(yīng)用到一階條件上就能辦到。而一階條件是由一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)成，可見優(yōu)化問題的比較靜態(tài)與二階導(dǎo)數(shù)和海賽行列式有直接關(guān)系。 例5 一個價格接受的公司有嚴格凹的生產(chǎn)函數(shù)。給定=產(chǎn)品價格，=資本的租用率，=工資，它的利潤函數(shù)是 為了得到一階優(yōu)化條件，如果我們求導(dǎo)數(shù)和，并把它們表示為隱函數(shù)，有 這里，把一階導(dǎo)數(shù)和賦值為利潤函數(shù)的最優(yōu)值． 通過這些一階條件，我們可以利用如下的比較靜態(tài)，決定外生變量的變化對內(nèi)生變量的最優(yōu)值的影響： (a)求出一階條件關(guān)于任意一個外生變量的全導(dǎo)數(shù)，并寫成矩陣形

26、式。 這里研究資本的租用率（利率）對內(nèi)生變量的影響。 重寫隱函數(shù)， 求關(guān)于外生變量的全導(dǎo)數(shù)， 寫成矩陣形式 一般地 或特殊地， 設(shè)二階充分條件滿足，即，那么。這里我們注意到，當(dāng)從一階優(yōu)化條件的一階微分求比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)時，有，為了優(yōu)化一個(2×2)系統(tǒng)，我們也要求。 (b) 因為，且假定一階和二階微分連續(xù)，則隱函數(shù)原理的條件成立，于是我們可以利用克萊姆法則來求得所有的導(dǎo)數(shù)。 這里，，因為我們假定生產(chǎn)函數(shù)是嚴格凹的，意味著在整個定義域都有，我們也從微觀經(jīng)濟學(xué)原理知道，追求利潤最大化的公司僅在成本的邊際投入生產(chǎn)率下降處進行生產(chǎn)，因此在生產(chǎn)

27、的最優(yōu)水平點，。 同樣地，我們有 為了確定這個比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)的符號，需要知道交叉偏導(dǎo)數(shù)的符號，它表示資本變化對勞動力的邊際生產(chǎn)率的影響。如果假定它是正的，則分子的符號是負的，所以，利率的增加將導(dǎo)致勞動力使用的下降。至于工資變化對，的影響，見下題。 例6 返回到例5的模型，這里的一階條件是 (a)用矩陣形式表示函數(shù)關(guān)于工資的全導(dǎo)數(shù)，然后求出下列偏導(dǎo)數(shù)并注明其符號。 (b) (c) ． 解： （a） 重寫隱函數(shù)， 求關(guān)于外生變量的全導(dǎo)數(shù)， 寫成矩陣形式， 一

28、般地， 特定地， (b)對于， 的符號取決于的符號。假定資本的邊際生產(chǎn)率因勞動力的增加而增加，，則，意味著資本的最優(yōu)水平可能隨著工資的增長而下降。 (c)對于， 因為，隨著工資的增長勞動力的最優(yōu)水平將下降。 六、比較靜態(tài)在約束最優(yōu)化中的應(yīng)用 比較靜態(tài)分析方法，一樣可以應(yīng)用于約束最優(yōu)化問題。在約束最優(yōu)化問題中，拉格朗日乘子視作是一個內(nèi)生變量，而且在比較靜態(tài)分析中，它被賦值為它的最優(yōu)值()。如果二階充分條件滿足，即加邊海賽行列式可以是正的或負的，它取決于優(yōu)化的類型，但是，它不會等于零，因為，如果，則雅可比矩陣不等于零，見例6。當(dāng)，并假定一階和二

29、階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，我們從隱函數(shù)定理可知，內(nèi)生變量的最優(yōu)值可表示為外生變量的隱函數(shù)，而且所要求的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)可以通過克萊姆法則得到。例6提供一個詳細的求解過程。 例6 假設(shè)一個公司處于完全競爭的要素市場和產(chǎn)品市場，追求產(chǎn)出最大化，產(chǎn)出滿足給定的預(yù)算約束條件 的拉格朗日函數(shù)是 且代表一階條件的三個一階導(dǎo)數(shù)可表示為如下隱函數(shù)形式： 并假定微分連續(xù)且滿足二階充分條件，從這些約束最優(yōu)化的一階條件中，我們可以用比較靜態(tài)分析方法確定任何外生變量的變化對三個內(nèi)生變量最優(yōu)值的影響。 為了找到預(yù)算對內(nèi)生變量最優(yōu)值的影響，我們需求出三個函數(shù)關(guān)于的比較靜態(tài)導(dǎo)數(shù)： 重寫隱函數(shù)

30、， 求關(guān)于外生變量的全導(dǎo)數(shù)， 寫成矩陣形式， 一般地， 特殊地， 因為，如果滿足二階充分條件，那么對約束最優(yōu)化來說，。因為處于完全競爭環(huán)境中，利潤最大化公司僅在投入的邊際生產(chǎn)率下降的范圍進行生產(chǎn)。所以，只要和是互補的，則二階條件滿足，如果和是替代的，則二階條件是否滿足，取決于直接偏導(dǎo)數(shù)和交叉偏導(dǎo)數(shù)的相對強度。 由于，并假設(shè)一階和二階微分連續(xù)，則我們可以使用克萊姆法則來求出所要找的導(dǎo)數(shù)： 1． 當(dāng)和互補時，，當(dāng)和可替代時，它的符號不確定。 2． 當(dāng)和互補時，，當(dāng)和可替代時，它的符號不確定。 3． 的符號不確定。 37