《新編高考數學一輪復習學案訓練課件: 第5章 數列 第2節(jié) 等差數列及其前n項和學案 文 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編高考數學一輪復習學案訓練課件: 第5章 數列 第2節(jié) 等差數列及其前n項和學案 文 北師大版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
第二節(jié) 等差數列及其前n項和
[考綱傳真] 1.理解等差數列的概念.2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系,并能用等差數列的有關知識解決相應的問題.4.了解等差數列與一次函數的關系.
(對應學生用書第69頁)
[基礎知識填充]
1.等差數列的概念
(1)如果一個數列從第2項起,每一項與前一項的差是同一個常數,那么這個數列就為等差數列,這個常數為等差數列的公差,公差通常用字母d表示.
數學語言表達式:an+1-an=d(n∈N+,d為常數),或an-an-1=d(n≥2,d為常數).
(2)如果在a與b中
2、間插入一個數A,使a,A,b成等差數列,那么A叫作a與b的等差中項,即A=.
2.等差數列的通項公式與前n項和公式
(1)若等差數列{an}的首項是a1,公差是d,則其通項公式為an=a1+(n-1)D.
通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(m,n∈N+),
(2)等差數列的前n項和公式
Sn==na1+d(其中n∈N+,a1為首項,d為公差,an為第n項).
3.等差數列的有關性質
已知數列{an}是等差數列,Sn是{an}的前n項和.
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則有am+an=ap+aq.
(2)等差數列{an}的單調性:當d>0
3、時,{an}是遞增數列;當d<0時,{an}是遞減數列;當d=0時,{an}是常數列.
(3)若{an}是等差數列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差為md的等差數列.
(4)數列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數列.
4.等差數列的前n項和公式與函數的關系
Sn=n2+n.
數列{an}是等差數列?Sn=An2+Bn(A,B為常數).
[知識拓展]
1.等差數列前n項和的最值
在等差數列{an}中,若a1>0,d<0,則Sn有最大值,即所有正項之和最大,若a1<0,d>0,則Sn有最小值,即所有負項之和最?。?
2.兩個等
4、差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則有=.
3.等差數列{an}的前n項和為Sn,則數列也是等差數列.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列是等差數列.( )
(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.
( )
(3)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的.( )
(4)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)
5、√ (4)×
2.等差數列{an}的前n項和為Sn,且S3=6,a3=0,則公差d等于( )
A.-1 B.1
C.2 D.-2
D [依題意得S3=3a2=6,即a2=2,故d=a3-a2=-2,故選D.]
3.(20xx·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=( )
A.5 B.7
C.9 D.11
A [a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5==5a3=5.]
4.(20xx·全國卷Ⅰ)已知等差數列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( )
A.100 B.99
6、
C.98 D.97
C [法一:∵{an}是等差數列,設其公差為d,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
又∵a10=8,∴∴
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C.
法二:∵{an}是等差數列,
∴S9=(a1+a9)=9a5=27,∴a5=3.
在等差數列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差數列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.
故a100=a5+(20-1)×5=98.故選C.]
5.(教材改編)在100以內的正整數中有__________個能被6整除的數.
【導學號:00090161】
7、
16 [由題意知,能被6整除的數構成一個等差數列{an},
則a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.
由an=6n≤100,即n≤16=16,
則在100以內有16個能被6整除的數.]
(對應學生用書第70頁)
等差數列的基本運算
(1)(20xx·鄭州模擬)已知{an}是公差為1的等差數列,Sn為{an}的前n項和,若S8=4S4,則a10=( )
A. B.
C.10 D.12
(2)(20xx·昆明模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn,S11=22,a4=-12,若am=30,則m=( )
【導學
8、號:00090162】
A.9 B.10
C.11 D.15
(1)B (2)B [(1)∵公差為1,
∴S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.
∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,
∴a10=a1+9d=+9=.
(2)設等差數列{an}的公差為d,依題意
解得
∴am=a1+(m-1)d=7m-40=30,∴m=10.]
[規(guī)律方法] 1.等差數列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知三求二,體現了方程思想的應用.
2.數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用,而
9、a1和d是等差數列的兩個基本量,用它們表示已知和未知是常用方法,稱為基本量法.
[變式訓練1] (1)(20xx·婁底模擬)已知數列{an}是首項為1,公差為d(d∈N*)的等差數列,若81是該數列中的一項,則公差不可能是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)設Sn為等差數列{an}的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=__________.
(1)B (2)-72 [(1)∵數列{an}是首項為1,公差為d(d∈N*)的等差數列,∴an=1+(n-1)d,
∵81是該數列中的一項,∴81=1+(n-1)d,
∴n=+1,
∵d,n∈N*,
10、∴d是80的因數,故d不可能是3.故選B.
(2)設等差數列{an}的首項為a1,公差為d,
由已知,得
解得
∴S16=16×3+×(-1)=-72.]
等差數列的判定與證明
已知數列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),數列{bn}滿足bn=(n∈N*).
(1)求證:數列{bn}是等差數列.
(2)求數列{an}中的通項公式an.
[解] (1)證明:因為an=2-(n≥2,n∈N*),
bn=.
所以n≥2時,bn-bn-1=-
=-=-=1. 5分
又b1==-,
所以數列{bn}是以-為首項,1為公差的等差數列
11、. 7分
(2)由(1)知,bn=n-, 9分
則an=1+=1+. 12分
[規(guī)律方法] 1.等差數列的四種判斷方法:
(1)定義法:an+1-an=d(d是常數)?{an}是等差數列.(解答題)
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數列.(解答題)
(3)通項公式:an=pn+q(p,q為常數)?{an}是等差數列.(小題)
(4)前n項和公式:Sn=An2+Bn(A,B為常數)?{an}是等差數列.(小題)
2.用定義證明等差數列時,常采用兩個式子an+1-an=d和an-an-1=d,但它們的意義不同,后者必須加上
12、“n≥2”,否則n=1時,a0無定義.
[變式訓練2] (1)若{an}是公差為1的等差數列,則{a2n-1+2a2n}是( )
A.公差為3的等差數列
B.公差為4的等差數列
C.公差為6的等差數列
D.公差為9的等差數列
(2)在數列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),則該數列的通項為( )
A.an= B.an=
C.an= D.an=
(1)B (2)A [(1)an=n+a1-1
∴a2n-1=2n+a1-2,a2n=2n+a1-1
∴a2n-1+2a2n=4n+2a1-3
因此數列{a2n-1+2an}是公差為4的等差
13、數列,故選B.
(2)由已知式=+可得-=-,知是首項為=1,公差為-=2-1=1的等差數列,所以=n,即an=.]
等差數列的性質及應用
(1)(20xx·江西紅色七校聯(lián)考)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若2a7=5+a9,則S9的值為( )
A.27 B.36
C.45 D.54
(2)(20xx·洛陽統(tǒng)考)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45
C.36 D.27
(3)已知Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1=-2 014,-=6,則S2 017=_____
14、___.
(1)C (2)B (3)4 034 [(1)由2a7=5+a9得a5+a9=5+a9,所以a5=5,所以S9==9a5=45.
(2)由{an}是等差數列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數列.
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45,故選B.
(3)由等差數列的性質可得也為等差數列.
設其公差為D.則-=6d=6,∴d=1.
故=+2 016d=-2 014+2 016=2,
∴S2 017=2×2 017=4 034.]
[規(guī)律方法] 應用等差數列的性質應注意兩點
(
15、1)在等差數列{an}中,若m+n=p+q=2k(m、n、p、q、k∈N*),則am+an=ap+aq=2ak是常用的性質.
(2)掌握等差數列的性質,悉心研究每個性質的使用條件及應用方法,認真分析項數、序號、項的值的特征,這是解題的突破口.
[變式訓練3] (1)在等差數列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示數列{an}的前n項和,則S11=( )
A.18 B.99
C.198 D.297
(2)設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S5=10,S10=30,則S15=( )
A.60 B.70
C.90 D.40
(3)(20xx·佛山模
16、擬)在等差數列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________. 【導學號:00090163】
(1)B (2)A (3)10 [(1)由a3+a9=27-a6得2a6=27-a6,所以a6=9
所以S11==11a6=99.
(2)因為數列{an}為等差數列,所以S5,S10-S5,S15-S10也成等差數列,設S15=x,則10,20,x-30成等差數列,所以2×20=10+(x-30),所以x=60,即S15=60.
(3)因為{an}是等差數列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a
17、7=5a5=25,即a5=5,a2+a8=2a5=10.]
等差數列的前n項和及其最值
(1)設數列{an}的通項公式為an=2n-10(n∈N*),則|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
(2)等差數列{an}中,設Sn為其前n項和,且a1>0,S3=S11,則當n為多少時,Sn取得最大值.
(1)130 [由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8為首項,2為公差的等差數列,又由an=2n-10≥0得n≥5,∴n≤5時,an≤0,當n>5時,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=S15-2S5=130.]
(2)法一:由S3=S11,
18、可得3a1+d=11a1+d, 4分
即d=-a1. 7分
從而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,
因為a1>0,所以-<0. 9分
故當n=7時,Sn最大. 12分
法二:由法一可知,d=-a1.
要使Sn最大,則有 5分
即 9分
解得6.5≤n≤7.5,故當n=7時,Sn最大. 12分
法三:由S3=S11,可得2a1+13d=0,
即(a1+6d)+(a1+7d)=0, 5分
故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0, 9分
所以a7>0,a8<0,所以當n=7時,Sn最大. 12分
[規(guī)律方法] 求等差
19、數列前n項和Sn最值的兩種方法
1.函數法:利用等差數列前n項和的函數表達式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖像求二次函數最值的方法求解.
2.鄰項變號法:
(1)當a1>0,d<0時,滿足的項數m使得Sn取得最大值為Sm;
(2)當a1<0,d>0時,滿足的項數m使得Sn取得最小值為Sm.
[變式訓練4] (1)(20xx·孝義模擬)在等差數列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n項和,則使Sn達到最大值的n是( )
A.21 B.20
C.19 D.18
(2)已知等差數列{an}的前三項和為-3,前三項
20、的積為8.
①求等差數列{an}的通項公式;
②若a2,a3,a1成等比數列,求數列{|an|}的前n項和Tn.
【導學號:00090164】
B [(1)因為a1+a3+a5=3a3=105,a2+a4+a6=3a4=99,所以a3=35,a4=33,所以d=-2,a1=39.由an=a1+(n-1)d=39-2(n-1)=41-2n≥0,解得n≤,所以當n=20時Sn達到最大值,故選B.]
(2)①設等差數列{an}的公差為d,
則a2=a1+d,a3=a1+2D.
由題意得
解得或
所以由等差數列通項公式可得
an=2-3(n-1)=-3n+5或a
21、n=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5或an=3n-7.
②當an=-3n+5時,a2,a3,a1分別為-1,-4,2,不成等比數列;
當an=3n-7時,a2,a3,a1分別為-1,2,-4,成等比數列,滿足條件.
故|an|=|3n-7|=
記數列{3n-7}的前n項和為Sn,則Sn==n2-n
當n≤2時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-n2+n
當n≥3時,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-(a1+a2)+(a3+a4+…+an)=Sn-2S2=n2-n+10
綜上知:Tn=