《新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第8章 平面解析幾何 第9節(jié) 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關系學案 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第8章 平面解析幾何 第9節(jié) 第1課時 直線與圓錐曲線的位置關系學案 理 北師大版(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第九節(jié) 圓錐曲線的綜合問題
[考綱傳真] (教師用書獨具)1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法;2.了解圓錐曲線的簡單應用;3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.
(對應學生用書第148頁)
[基礎知識填充]
1.直線與圓錐曲線的位置關系
設直線l:Ax+By+C=0,圓錐曲線C:F(x,y)=0,
由消去y得到關于x的方程ax2+bx+c=0.
(1)當a≠0時,設一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為Δ,則Δ>0?直線l與圓錐曲線C有兩個公共點;
Δ=0?直線l與圓錐曲線C有一個公共點;
Δ<0?直線l與圓錐曲線C有零個公共點.
(2)當a=0
2、,b≠0時,即得到一個一元一次方程.
當C為雙曲線時,l與雙曲線的漸近線平行或重合,它們的公共點有1個或0個.
當C為拋物線時,l與拋物線的對稱軸平行或重合,它們的公共點有1個.
2.圓錐曲線的弦長公式
設斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A,B兩點,A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|==·|x1-x2|=·=·.
[知識拓展] 過一點的直線與圓錐曲線的位置關系
(1)過橢圓外一點總有兩條直線與橢圓相切;
過橢圓上一點有且只有一條直線與橢圓相切;
過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓相交.
(2)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點:兩條切線和一條與對稱軸平行
3、或重合的直線;過拋物線上一點總有兩條直線與拋物線有且只有一個公共點:一條切線和一條與對稱軸平行或重合的直線;
過拋物線內(nèi)一點只有一條直線與拋物線有且只有一個公共點:一條與對稱軸平行或重合的直線.
[基本能力自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個公共點.( )
(2)直線l與雙曲線C相切的充要條件是直線l與雙曲線C只有一個公共點.( )
(3)過拋物線y2=2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.( )
(4)若拋物線上存在關于直線l對稱的兩點,則l與拋物線有兩個交點.(
4、 )
[解析] (1)對.橢圓是個封閉圖形,直線與橢圓只有一個公共點時,一定相切.
(2)錯.當直線l與漸近線平行時,直線與雙曲線只有一個交點,但不相切.
(3)對.可轉(zhuǎn)化為到準線的距離來證明(3)正確.
(4)錯.當直線l為對稱軸時,l與拋物線有一個交點.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.(教材改編)直線y=k(x-1)+1與橢圓+=1的位置關系是( )
A.相交 B.相切
C.相離 D.不確定
A [直線y=k(x-1)+1恒過定點(1,1),又點(1,1)在橢圓內(nèi)部,故直線與橢圓相交.]
3.過點(0,1)作直線,使它與拋物線y2=
5、4x僅有一個公共點,這樣的直線有( )
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
C [結(jié)合圖形分析可知,滿足題意的直線共有3條:一條過點(0,1)且平行于x軸的直線,兩條過點(0,1)且與拋物線相切的直線.]
4.直線y=x+3與雙曲線-=1(a>0,b>0)的交點個數(shù)是( )
A.1 B.2
C.1或2 D.0
A [因為直線y=x+3與雙曲線的漸近線y=x平行,所以它與雙曲線只有1個交點.]
5.過拋物線y2=8x的焦點F作傾斜角為135°的直線,交拋物線于A,B兩點,則弦AB的長為________.
16 [設A(x1,y1),B(x2,y2),因為拋物線y2=8x
6、的焦點為F(2,0),直線AB的傾斜角為135°,故直線AB的方程為y=-x+2,代入拋物線方程y2=8x,得x2-12x+4=0,則x1+x2=12,x1x2=4,則|AB|=x1+x2+4=12+4=16.]
第1課時 直線與圓錐曲線的位置關系
(對應學生用書第149頁)
直線與圓錐曲線的位置關系
(20xx·全國卷Ⅰ)設A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
[解] (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x
7、2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率k===1.
(2)由 y=,得y′=.
設M(x3,y3),由題設知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
設直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
當Δ=16(m+1)>0,即m>-1時,x1,2=2±2.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由題設知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
[規(guī)律方法] 1.判斷直線與圓錐曲線的位置關系,一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,
8、消去x(或y),判斷該方程組解的個數(shù),方程組有幾組解,直線與圓錐曲線就有幾個交點.但應注意兩點:
(1)消元后需要討論含x2(或y2)項的系數(shù)是否為0.
(2)重視“判別式Δ”起的限制作用.
2.對于選擇題、填空題,要充分利用幾何條件,借助數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀求解,優(yōu)化解題過程.
[跟蹤訓練] 已知直線l:y=2x+m,橢圓C:+=1.試問當m取何值時,直線l與橢圓C:
(1)有兩個不重合的公共點;
(2)有且只有一個公共點.
[解] 將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得方程組將①代入②,
整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③根的判別式Δ=(8m)2-4×9×(
9、2m2-4)
=-8m2+144.
(1)當Δ>0,即-3<m<3時,方程③有兩個不同的實數(shù)根,可知方程組有兩組不同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個不重合的公共點.
(2)當Δ=0,即m=±3時,方程③有兩個相同的實數(shù)根,可知方程組有兩組相同的實數(shù)解.這時直線l與橢圓C有兩個互相重合的公共點,即直線l與橢圓C有且只有一個公共點.
弦長問題
(20xx·廣州綜合測試(二))已知雙曲線-y2=1的焦點是橢圓C:+=1(a>b>0)的頂點,且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù).
【導學號:79140304】
(1)設橢圓C的方程;
(2)設動點M,N在橢圓C上,且|MN|
10、=,記直線MN在y軸上的截距為m,求m的最大值.
[解] (1)雙曲線-y2=1的焦點坐標為(±,0),離心率為.
因為雙曲線-y2=1的焦點是橢圓C:+=1(a>b>0)的頂點,且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù),
所以a=,且=,解得b=1.
故橢圓C的方程為+y2=1.
(2)因為|MN|=>2,所以直線MN的斜率存在.
因為直線MN在y軸上的截距為m,
所以可設直線MN的方程為y=kx+m.
代入橢圓的方程+y2=1中,
得(1+6k2)x2+12kmx+6(m2-1)=0.
因為Δ=(12km)2-24(1+6k2)(m2-1)
=24(1+6k2-m2
11、)>0,
所以m2<1+6k2.
設M(x1,y1),N(x2,y2),
根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2=-,
x1x2=
則|MN|=|x1-x2|
=·
=·
因為|MN|=,
則·=.
整理得m2=.
令k2+1=t≥1,則k2=t-1.
所以m2==
≤=.
等號成立的條件是t=,此時k2=,m2=滿足m2<1+6k2,符合題意.
故m的最大值為.
[規(guī)律方法] 弦長的三種常用計算方法
(1)定義法:過圓錐曲線的焦點的弦長問題,利用圓錐曲線的定義,可優(yōu)化解題.
(2)點距法:將直線的方程和圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點的坐標,再運用兩點間距離公式求
12、弦長.
(3)弦長公式法:它體現(xiàn)了解析幾何中設而不求的思想,其實質(zhì)是利用兩點之間的距離公式以及一元二次方程根與系數(shù)的關系得到的.
易錯警示:直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直的特殊情況.
[跟蹤訓練] (20xx·宜春中學與新余一中聯(lián)考)設橢圓M:+=1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=1的離心率互為倒數(shù),且橢圓的長軸長為4.
(1)求橢圓M的方程;
(2)若直線y=x+1交橢圓M于A,B兩點,P(1,)為橢圓M上一點,求△PAB的面積.
[解] (1)由題可知,雙曲線的離心率為,則橢圓的離心率e==,
由2a=4,=,b2=a2-c2,得a=2,c=,b=,
故橢圓M的
13、方程為+=1.
(2)聯(lián)立方程,得4x2+2x-3=0,
且,所以|AB|=|x1-x2|=·=·=.又P到直線AB的距離為d=,所以S△PAB=|AB|·d=··=.
中點弦問題
(1)在橢圓+=1內(nèi),通過點M(1,1),且被這點平分的弦所在的直線方程為( )
【導學號:79140305】
A.x+4y-5=0 B.x-4y-5=0
C.4x+y-5=0 D.4x-y-5=0
(2)如圖8-9-1,已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A,B關于直線y=mx+對稱.
則實數(shù)m的取值范圍為________.
(1)A (2)∪ [(1)設直線與橢圓的交點為A(
14、x1,y1),B(x2,y2),
則
由①-②,
得+=0,
因為
所以=-=-,
所以所求直線方程為y-1=-(x-1),
即x+4y-5=0.
(2)由題意知m≠0,可設直線AB的方程為
y=-x+B.由
消去y,得x2-x+b2-1=0.
因為直線y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個不同的交點,所以Δ=-2b2+2+>0,①
將AB中點M代入直線方程y=mx+,解得b=-,②
由①②得m<-或m>.]
[規(guī)律方法] 處理中點弦問題的常用方法
(1)點差法:即設出弦的兩端點坐標后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有x1+x2,y1+y2,三個未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率,借用中點公式即可求得斜率.
(2)根與系數(shù)的關系:即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解.
[跟蹤訓練] 拋物線C的頂點為原點,焦點在x軸上,直線x-y=0與拋物線C交于A,B兩點.若P(1,1)為線段AB的中點,則拋物線C的方程為( )
A.y=2x2 B.y2=2x
C.x2=2y D.y2=-2x
B [設A(x1,y1),B(x2,y2),拋物線方程為y2=2px,則兩式相減可得2p=·(y1+y2)=kAB·2=2,即可得p=1,∴拋物線C的方程為y2=2x.]