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1、 曲線運(yùn)動、運(yùn)動的合成與分解 編稿：周軍 審稿：吳楠楠 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、知道曲線運(yùn)動中速度的方向，理解曲線運(yùn)動是一種變速運(yùn)動； 2、知道物體做曲線運(yùn)動的條件，理解牛頓第二定律對物體做曲線運(yùn)動條件的解釋； 3、理解合運(yùn)動與分運(yùn)動的關(guān)系、具體問題能夠正確區(qū)分合運(yùn)動與分運(yùn)動； 4、掌握運(yùn)動的合成與分解的方法，能夠熟練的應(yīng)用平行四邊形法則作圖將合運(yùn)動與分運(yùn)動統(tǒng)一在一個平行四邊形中并進(jìn)行計算； 5、學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法研究物體的運(yùn)動，并從物體的運(yùn)動軌跡方程判斷物體的運(yùn)動性質(zhì)。 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、曲線運(yùn)動速度的方向 要點(diǎn)詮釋： 1、曲線運(yùn)動速度方向的獲取途徑 其一，生

2、活中的現(xiàn)象如：砂輪邊緣飛出的鐵屑、雨天車輪甩出的雨滴、彎曲的水管中噴出的水流等； 其二，由瞬時速度的定義，瞬時速度等于平均速度在時間間隔趨于零時的極限，從理論上得到曲線運(yùn)動瞬時速度的方向。 2、曲線運(yùn)動速度的方向 質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度，沿曲線在這一點(diǎn)的切線方向，指向前進(jìn)的一側(cè) 3、曲線運(yùn)動的性質(zhì) 曲線運(yùn)動的速度方向時刻在變化，速度是矢量，曲線運(yùn)動的速度時刻在變化，曲線運(yùn)動一定是變速運(yùn)動，一定具有加速度，曲線運(yùn)動受到的合外力一定不等于零。 要點(diǎn)二、物體做曲線運(yùn)動的條件 要點(diǎn)詮釋： 1、物體做曲線運(yùn)動的條件的獲得途徑 其一，由實(shí)際的曲線運(yùn)動的受力情況可以知道； 其二，通過理性分析

3、可以得知，如在垂直于運(yùn)動的方向上物體受到了合外力的作用，物體的運(yùn)動方向便失去了對稱性，必然向著受力的方向偏轉(zhuǎn)而成為曲線運(yùn)動。 2、物體做直線運(yùn)動條件 當(dāng)物體受到的合外力與速度的方向在一條直線上或者物體受到的合外力為零時，物體做直線運(yùn)動。 3、物體做曲線運(yùn)動條件 物體做曲線運(yùn)動條件是：當(dāng)物體受到的合外力與它的速度方向不在同一條直線上時，物體做曲線運(yùn)動。也就是說物體做曲線運(yùn)動，必有： ①物體具有初速度，即v0≠0； ②物體受到合外力的作用，即F合≠0，或者說加速度a≠0； ③合外力（加速度）與速度不在同一條直線上。 4、曲線運(yùn)動中合外力的切向分量和法向分量的作用 對于做曲線運(yùn)動的

4、物體，把合外力F沿曲線的切線方向和法線方向（與切線垂直的方向）分解，沿切線方向的分力F1使質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生切線方向的加速度a1，當(dāng)a1和v同向時，速度增大，如圖1所示，此時的合外力方向一定與速度方向成銳角； 當(dāng)a1和v反向時，速度減小，如圖2所示，此時的合外力方向一定與速度方向成鈍角；如果物體做曲線運(yùn)動的速率不變，說明a1＝0，即F1＝0，此時的合外力方向一定與速度方向垂直。 圖1 v F a1 F1 F2 a2 圖2 v F a1 F1 F2 a2 沿法線方向的分力F2產(chǎn)生法線方向上的加速度a2，由于力F2與速度方向垂直，所以力F2不能改變速度的大小，只能改變速

5、度的方向。由于曲線運(yùn)動的速度方向時刻在改變，合外力的這一作用效果對任何曲線運(yùn)動總是存在的。 可見，在曲線運(yùn)動中合外力的作用效果可分成兩個方面： 切向分量——產(chǎn)生切線方向的加速度a1，改變速度的大小——當(dāng)合外力的切向分量與速度的方向相同時，物體做加速曲線運(yùn)動，相反時做減速曲線運(yùn)動。 法向分量——產(chǎn)生法線方向的加速度a2，改變速度的方向——只有使物體偏離原來方向的效果，不能改變速度的大小。這正是物體做曲線運(yùn)動的原因。 若a1＝0，則物體的運(yùn)動為勻速率曲線運(yùn)動；而若a2＝0，則物體的運(yùn)動為直線運(yùn)動。 5、物體做曲線運(yùn)動的軌跡彎曲規(guī)律 根據(jù)鋼球在磁鐵吸引下的曲線運(yùn)動、石子拋出后的曲線運(yùn)動以

6、及人造地球衛(wèi)星的曲線運(yùn)動等實(shí)例，可得到結(jié)論：物體的運(yùn)動軌跡必定在物體速度方向和所受合外力方向之間。 由于曲線運(yùn)動物體的速度方向是時刻改變的，物體在某一點(diǎn)的速度方向就是沿曲線上該點(diǎn)的切線方向，而曲線上任一點(diǎn)的切線總在曲線的外側(cè)，因此，運(yùn)動物體的曲線軌跡必定向合外力方向彎曲，也即合外力方向指向曲線的內(nèi)側(cè)。 若已知物體的運(yùn)動軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向。如物體在從M運(yùn)動到N的過程中，在運(yùn)動到點(diǎn)P時，其受力方向一定是向上的而不可能向下。 要點(diǎn)三、質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動 要點(diǎn)詮釋： 1、平面曲線運(yùn)動的描寫 （1）直線運(yùn)動的描寫：用一維坐標(biāo)系x=x(t)便可以描寫質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加

7、速度 （2）平面曲線運(yùn)動：可以用平面直角坐標(biāo)系xoy描寫質(zhì)點(diǎn)的位置（x，y）、速度(vx，vy)和加速度(ax，ay)，即可以通過兩個方向上的分運(yùn)動去認(rèn)識或解決平面曲線運(yùn)動。 （也可以用極坐標(biāo)來描寫平面曲線運(yùn)動，高中階段不做要求） 2、平面曲線運(yùn)動位置的確定 （1）確定分運(yùn)動的性質(zhì)：首先弄清楚質(zhì)點(diǎn)沿著X方向和Y方向做什么運(yùn)動。 這要通過具體分析質(zhì)點(diǎn)在這兩個方向上的受力情況和初始條件而獲得，即要通過Fx與vx、Fy與vy的特點(diǎn)和方向關(guān)系具體明確。 （2）寫出質(zhì)點(diǎn)在x、y兩個方向的位移時間關(guān)系 例如，一個質(zhì)點(diǎn)在x方向上受到的合外力為零而初速度不為零，則這個質(zhì)點(diǎn)在x方向上就做勻速運(yùn)動；

8、如果這個質(zhì)點(diǎn)在y方向上受到恒定的合外力而初速度不為零且與合外力方向相反，則這個質(zhì)點(diǎn)在y方向上就做勻減速運(yùn)動，這個質(zhì)點(diǎn)任意時刻的位置坐標(biāo)可以表達(dá)為：x=vxt，。 3、 平面曲線運(yùn)動軌跡的確定 （1）已知x y兩個分運(yùn)動，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡： 只要寫出x y兩個方向的位移時間關(guān)系x=x(t)和y=y(t) ，由此消除時間t，得到軌跡方程y=f(x)，便知道軌跡是什么形狀。 例如質(zhì)點(diǎn)在x、y方向上都做勻速直線運(yùn)動，其速度分別是vx、vy，求其運(yùn)動的軌跡方程。 第一：寫位移方程 x=vxt、y=vyt ； 第二：消時間t得到軌跡方程； 可見兩個勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動的軌跡仍然是直線。 （

9、2）定性的判斷兩個分運(yùn)動的合運(yùn)動的軌跡是直線還是曲線： 由曲線運(yùn)動的條件知，只要看質(zhì)點(diǎn)的初速度方向和它受到的合外力的方向是否共線便知。 例如，船在流水中渡河問題，船同時參與了沿垂直于河岸OA的方向和沿著水流動方向OB的兩個勻速運(yùn)動，船實(shí)際進(jìn)行的是沿OC方向的運(yùn)動，所以O(shè)C是合運(yùn)動，由于兩個方向的運(yùn)動都是勻速運(yùn)動，其合外力為零，所以船實(shí)際的運(yùn)動軌跡是一條直線。 如果船頭對準(zhǔn)對岸()做初速為零的勻加速直線運(yùn)動，所以有垂直河岸向上的合外力，而合速度方向則是偏向下游的，所以船的實(shí)際運(yùn)動(合運(yùn)動)是曲線運(yùn)動。 要點(diǎn)四、運(yùn)動的合成和分解 要點(diǎn)詮釋： 1、運(yùn)動的合成與分解 由描寫各分運(yùn)

10、動的量，求合運(yùn)動的相關(guān)量叫運(yùn)動的合成；由描寫合運(yùn)動的量求各個分運(yùn)動相關(guān)量叫運(yùn)動的分解。 2、在平面曲線運(yùn)動中由分運(yùn)動的加速度、速度、位移，求質(zhì)點(diǎn)的合加速度速度和位移 （1）加速度、速度和位移都是矢量，其合成和分解都遵守平行四邊形法則； （2）平面運(yùn)動任意時刻的加速度、速度、位移： 加速度的大小 加速度的方向 合速度的大小 合速度的方向 合位移的大小 合位移的方向 ay a ax y s

11、 x vy v vx vx 3、由合運(yùn)動的加速度、速度及位移求分運(yùn)動的加速度、速度及位移 描寫合運(yùn)動的物理量和描寫分運(yùn)動的相關(guān)物理量，被統(tǒng)一在同一個相關(guān)的平行四邊形中，運(yùn)動的分解是運(yùn)動合成的逆運(yùn)算，因此，由合運(yùn)動的加速度、速度及位移求分運(yùn)動的加速度、速度及位移的方法與運(yùn)動的合成完全一樣。 例如：由上面的平行四邊形可得分運(yùn)動的位移、速度、加速度（運(yùn)用已知條件解三角形） 4. 合運(yùn)動的判斷方法 物體實(shí)際進(jìn)行的運(yùn)動

12、就是合運(yùn)動。 要點(diǎn)五、合運(yùn)動與分運(yùn)動、分運(yùn)動與分運(yùn)動之間的關(guān)系 要點(diǎn)詮釋： 1、等時性 質(zhì)點(diǎn)所做的各個分運(yùn)動在同一時間里完成，各個分運(yùn)動也當(dāng)然的和合運(yùn)動在同一時間里完成，也就是說，在一個具體問題的某一過程中，由一個分運(yùn)動求得的時間和由合運(yùn)動求得的時間是相同的。 2、等效性 各個分運(yùn)動合成后的綜合效果與合運(yùn)動的效果是完全相同的，否則運(yùn)動的合成和分解便失去了意義。 3、獨(dú)立性 同時參與的各個分運(yùn)動是互相獨(dú)立、互不影響的，即每一個方向上的運(yùn)動僅由這一方向質(zhì)點(diǎn)的受力情況和初始條件決定。 【典型例題】 類型一、曲線運(yùn)動的條件和性質(zhì) 例1、（2015 海拉爾二中期末考）質(zhì)點(diǎn)做曲

13、線運(yùn)動，它的軌跡如圖所示，由A向C運(yùn)動，關(guān)于它通過B點(diǎn)時的速度v的方向和加速度a的方向正確的是（ ） 【答案】B 【解析】因質(zhì)點(diǎn)由A向C運(yùn)動，速度方向沿軌跡切線方向，又因加速度方向與物體受合外力方向一致，沿軌跡的凹面，因此B正確。 【點(diǎn)評】做曲線運(yùn)動的物體所受到合外力的切向分量和法向分量分別起著改變速度的大小和方向的作用。做曲線運(yùn)動的物體其所受合外力方向一定指向軌跡的內(nèi)側(cè)。 例2、一個質(zhì)點(diǎn)受兩個互成銳角的力的作用，由靜止開始運(yùn)動，若運(yùn)動中保持二力方向不變，但突然增大到，則此質(zhì)點(diǎn)以后的運(yùn)動（　　　） A. 一定做勻變速曲線運(yùn)動 B. 在相等時間內(nèi)速度的變化一定相等 C.

14、 可能做勻速直線運(yùn)動 D. 可能做變加速曲線運(yùn)動 【思路點(diǎn)撥】分析F1變化后引起合力的變化、特點(diǎn)以及合力與速度方向的關(guān)系。 【答案】AB 【解析】F1變化后引起合力的變大，其方向發(fā)生變化，導(dǎo)致合外力與速度不共線，物體做曲線運(yùn)動，但突然增大到后合力仍為恒力，所以物體做勻變速曲線運(yùn)動，正確的答案是AB。 舉一反三 【高清課程：運(yùn)動的合成與分解 例1】 【變式】某質(zhì)點(diǎn)在恒力F作用下，從A點(diǎn)沿下圖中曲線運(yùn)動到B點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)后，質(zhì)點(diǎn)受到的力大小仍為F，但方向相反，則它從B點(diǎn)開始的運(yùn)動軌跡可能是圖中的（? ） A．曲線a??? B．直線b????? C．曲線

15、c? ???? D．三條曲線均有可能 【答案】A 類型二、分運(yùn)動與合運(yùn)動的特點(diǎn)和應(yīng)用 例3、下列說法正確的是（　　?。? A. 兩勻速直線運(yùn)動合運(yùn)動的軌跡必是直線 B. 兩勻變速直線運(yùn)動合運(yùn)動的軌跡必是直線 C. 一個勻變速直線運(yùn)動和一個勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動軌跡是曲線 D. 幾個初速度為零的勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動的軌跡是直線 【思路點(diǎn)撥】正確地運(yùn)用物體做曲線運(yùn)動和直線運(yùn)動的條件，結(jié)合運(yùn)動的合成法則，考慮到兩個分運(yùn)動夾角的不同情況，逐一做出判斷。 【答案】AD 【解析】物體做曲線運(yùn)動的條件F合和有一個夾角。物體做勻速運(yùn)動，F(xiàn)合＝0，所以A正確。 做勻變速直線運(yùn)動的物體

16、受到恒力的作用，兩個勻變速直線運(yùn)動的合成時，合外力仍是恒力，但此力與的方向是否在一條直線上無法判斷，所以B錯。 當(dāng)兩個分運(yùn)動在一條直線上時，即合力與初速度在一直線上，合運(yùn)動軌跡仍是直線，所以C錯。 幾個初速度為零的勻變速直線運(yùn)動的合成時，合外力是一恒力，，所以合運(yùn)動的方向一定沿合力的方向，所以是直線運(yùn)動，即D正確。 【總結(jié)升華】兩個直線運(yùn)動的合運(yùn)動不一定是直線運(yùn)動要具體情況具體分析。 ①兩個勻速直線運(yùn)動的合運(yùn)動一定是勻速直線運(yùn)動。 ②互成角度的一個勻速直線運(yùn)動和一個勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動一定是曲線運(yùn)動。 ③互成角度的兩個初速度為零的勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動一定是勻變速直線運(yùn)動； ④

17、互成角度的兩個初速度不為零的勻變速直線運(yùn)動的合運(yùn)動可能是勻加速直線運(yùn)動（合速度與合加速度的方向不在同一條直線上），也可能是勻變速曲線運(yùn)動（合速度與合加速度的方向不在同一直線上）。 舉一反三 【變式1】關(guān)于運(yùn)動的合成與分解，下述說法中正確的是（　　　） A、合運(yùn)動的速度大小等于分運(yùn)動的速度大小之和 B、物體的兩個分運(yùn)動是直線運(yùn)動，則它的合運(yùn)動一定是直線運(yùn)動 C、合運(yùn)動和分運(yùn)動具有同時性 D、合運(yùn)動是曲線運(yùn)動，則其分運(yùn)動中至少有一個是曲線運(yùn)動 【答案】C 【解析】運(yùn)動的合成與分解遵循平行四邊形定則，故合速度的大小介于兩分運(yùn)動速度大小之差與兩分運(yùn)動速度大小之和之間，故A選項錯

18、誤； 物體的兩個分運(yùn)動是直線運(yùn)動，說明兩個分力與兩分速度各自在同一直線上，但兩個分力的合力、兩分速度的合速度方向卻不一定在同一直線上，即兩分運(yùn)動是直線運(yùn)動，合運(yùn)動不一定是直線運(yùn)動；反之，合運(yùn)動是曲線運(yùn)動，分運(yùn)動也不一定就是曲線運(yùn)動，故B、D選項錯誤。 當(dāng)一個運(yùn)動分解為兩個分運(yùn)動或幾個分運(yùn)動時，幾個分運(yùn)動各自遵循獨(dú)立的運(yùn)動規(guī)律而不相互干擾，但合運(yùn)動與分運(yùn)動，分運(yùn)動與分運(yùn)動間運(yùn)動時間相同，同時進(jìn)行，具有等時性，故選項C正確。 【變式2】（2015 揚(yáng)州二模）在學(xué)習(xí)運(yùn)動的合成與分解時我們做過如圖所示的實(shí)驗(yàn)，在長約80cm-100cm一段封閉的玻璃管中注滿清水，水中放一個用紅蠟做成的小圓柱體

19、（小圓柱體恰能在管中勻速上?。瑢⒉ＡЧ艿拈_口端用膠塞塞緊，然后將玻璃管豎直倒置，在紅蠟燭勻速上浮的同時使玻璃管緊貼黑板面在水平方向上勻加速移動，你正對黑板面將看到紅蠟塊相對于黑板面的移動軌跡可能是下列選項中的（ ） 【答案】C 【解析】蠟塊參加了兩個分運(yùn)動，豎直方向在管中以速度勻速上浮，水平方向向右勻加速直線運(yùn)動，速度不斷變大，將與合成，如圖 由于曲線運(yùn)動的速度沿著曲線上該點(diǎn)的切線方向，又由于不變，不斷變大，故不斷變小，即切線方向與水平方向的夾角不斷變小，故C正確。 類型三、渡河問題 例4、河寬為d，水流速度為，小汽艇在靜水中航行的速度為，且，如果小汽艇航向與河岸

20、成角，斜向上游航行，求： （1）它過河需要多少時間？ （2）到達(dá)對岸的位置？ （3）若以最短的時間渡河，航向應(yīng)如何？ （4）若要直達(dá)正對岸，航向又應(yīng)怎樣？ 【思路點(diǎn)撥】船同時參與了相對于水流的運(yùn)動和隨水流順?biāo)聝蓚€運(yùn)動，船對地的運(yùn)動是這兩個運(yùn)動的合運(yùn)動。同時參與的各個分運(yùn)動是互相獨(dú)立、互不影響的，可根據(jù)各個分運(yùn)動的規(guī)律來求解問題。 【解析】如圖， （1）根據(jù)分運(yùn)動與合運(yùn)動的獨(dú)立性和等時性，過河時間可按下列三種方法計算： 根據(jù)本題可知。 （2）如上圖，C點(diǎn)是O點(diǎn)正對岸上的一點(diǎn)，以v1 、v2 為鄰邊做平行四邊形，合速度的方向沿著OA ，則

21、 （3）要用最短的時間過河，船過河所用的時間 ， 可以看出，當(dāng)即船頭指向正對岸時，最小。 （4）如果直達(dá)正對岸，即 ， 則有， 即 。 【總結(jié)升華】 （1）由解題過程可以看出，靈活運(yùn)用合運(yùn)動和分運(yùn)動的等時性，可以簡化解題過程； （2）解決綜合性問題必須重視分析物理現(xiàn)象發(fā)生的條件，如用最短時間過河必須使船具有垂直于河岸最大的速度，當(dāng)時，船垂直于河岸的速度分量最大是v2；用最短的位移過河時合速度的方向必須與河岸垂直。 例5、河寬60m，水流速度為，小船在靜水中速度是，則它渡河的最短時間是多少？最短船程是多少？ 【答案】20s 120m

22、【解析】（1）根據(jù)上題的結(jié)論，當(dāng)時，渡河時間最短， （2）本題中水速大于船在靜水中的速度，這種情況不論船頭指向如何，船總要被水沖向下游。要使實(shí)際航程最短，船頭需朝上游轉(zhuǎn)過一角α，可由幾何方法求得。即以的末端為圓心，以的長度為半徑作圓，從的始端作圓的切線的方向，即為最短航程的方向。 船頭應(yīng)偏向上游 另解：速度矢量三角形與相似。 舉一反三 【高清課程：運(yùn)動的合成與分解 例3】 【變式】在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人.假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2．戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d．如戰(zhàn)士想在最短

23、時間內(nèi)將人 送上岸，則摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為( ) 【答案】C 類型四、關(guān)聯(lián)速度問題 例6、如圖所示，汽車以速度v勻速行駛，當(dāng)汽車到達(dá)P點(diǎn)時，繩子與水平方向的夾角是，此時物體M的速度的大??？ 【思路點(diǎn)撥】物體M的速率即右端繩子上移的速率，而右端繩子上移的速率與左端繩子在沿繩子方向的速率是相等的，此速率可以由左端繩子與汽車相連的端點(diǎn)的運(yùn)動速度分解而得到，這個端點(diǎn)實(shí)際上是和汽車一起水平向左以速度v運(yùn)動。實(shí)際速度v即是合速度。 【解析】物體M的速率即右端繩子上移的速率，而右端繩子上移的速率與左端繩子在沿繩子方向的速率是相等的，此速率可以由左端繩子與汽車相連的端點(diǎn)

24、的運(yùn)動速度分解而得到，這個端點(diǎn)實(shí)際上是和汽車一起水平向左以速度v運(yùn)動。實(shí)際速度v即是合速度。 左端繩子有兩個運(yùn)動效果，一是沿繩的方向拉長；二是繞滑輪順時針轉(zhuǎn)動。如圖所示把v分解到沿繩子的方向和與繩子垂直的方向，則沿繩的方向的速率即是物體M的速率。 由平行四邊形法則得：即是M的速率。 【總結(jié)升華】汽車運(yùn)動的過程，與汽車相連接的繩子同時發(fā)生了延長和轉(zhuǎn)動，因此汽車的運(yùn)動分解為沿著繩子和垂直于繩子兩個方向上的運(yùn)動是正確的。弄清哪個是合運(yùn)動是解題的關(guān)鍵。 舉一反三 【變式】 如圖示，以速度沿豎直桿勻速下滑的物體A，用細(xì)繩通過定滑輪拉物體B在水平面上運(yùn)動，當(dāng)繩與水平面夾角為時，物體B運(yùn)動的速率是_______。 【解析】此沿桿豎直向下的速度即是物體A的合速度，B的速度是在沿繩子方向上的一個分速度，也就是說，物體 A的速度分解為沿著繩子方向上的v1和垂直于繩子方向的速度v2 ，做出的平行四邊形是矩形，由此得到B物體的速度是v1=。