《新編【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第10篇 第1講 歸納與類比》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編【創(chuàng)新設計】高考數(shù)學北師大版一輪訓練：第10篇 第1講 歸納與類比（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第十篇　推理證明、算法、復數(shù) 第1講　歸納與類比 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理 (　　)． A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)而是復合函數(shù)，所以小前提不正確． 答案　C 2．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(

2、－x)＝(　　)． A．f(x) B．－f(x)　　 C．g(x) D．－g(x) 解析　由已知得偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 答案　D 3．(20xx·江西卷)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于 (　　)． A．28 B．76　　 C．123 D．199 解析　從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 答案　C 4．(20xx·西安模擬)類比“兩角和與差的正弦公式”的形

3、式，對于給定的兩個函數(shù)：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運算公式是(　　)． ①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． A．①② B．③④　　 C．①④ D．②③ 解析　經(jīng)驗證易知①②錯誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)

4、S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．綜上所述，選B. 答案　B 5．由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結論正確的個數(shù)是 (　　)．

5、 A．1 B．2　　 C．3 D．4 解析?、佗谡_；③④⑤⑥錯誤． 答案　B 二、填空題 6．(20xx·西安五校聯(lián)考)觀察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，則得出結論：________. 解析　各等式的左邊是第n個自然數(shù)到第3n－2個連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結論：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 7．若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為＝a1

6、＋(n－1)·，類似地，請完成下列命題：若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項為b1，公比為q，前n項的積為Tn，則________． 答案　數(shù)列{}為等比數(shù)列，且通項為＝b1()n－1 8．給出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，請從中歸納出第n個等式：＝________. 答案　2cos 三、解答題 9．給出下面的數(shù)表序列： 其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3，5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． 寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成等比數(shù)列，并將結論推廣到表n(n≥3)(不要

7、求證明)． 解　表4為　　　　　　1　 3　 5　7 　　　　　　　　　 4　 8　 12 　　　　　　　　　　 12　20 　　　　　　　　　　　 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構成首項為4，公比為2的等比數(shù)列． 將這一結論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數(shù)列． 10．f(x)＝，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明． 解　f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋＝＋＝， 同理可得：f(

8、－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝. 證明：f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋＝＋ ＝＝. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1．(20xx·江西卷)觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為 (　　)． A．76 B．80　　] C．86 D．92 解析　由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的

9、個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80.故選B. 答案　B 2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)． 比如： 他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 (　　)． A．289 B．1 024　　 C．1 225 D．1 378 解析　觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1＝1， a2

10、＝a1＋2， a3＝a2＋3， … an＝an－1＋n. ∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 答案　C 二、填空題 3．(20xx·湖北卷)在平面直角坐標系中，若點P(x，y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點．若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形．格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點

11、三角形，對應的S＝1，N＝0，L＝4. (1)圖中格點四邊形DEFG對應的S，N，L分別是________； (2)已知格點多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點多邊形對應的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)． 解析　(1)四邊形DEFG是一個直角梯形，觀察圖形可知：S＝(＋2)××＝3，N＝1，L＝6. (2)由(1)知，S四邊形DEFG＝a＋6b＋c＝3. S△ABC＝4b＋c＝1. 在平面直角坐標系中，取一“田”字型四邊形，構成邊長為2的正方形，該正方形中S＝4，N＝1，L＝8.則S＝a＋8b＋c＝4.聯(lián)立解得a＝1，

12、b＝.c＝ －1. ∴S＝N＋L－1，∴若某格點多邊形對應的N＝71，L＝18，則S＝71＋×18－1＝79. 答案　(1)3,1,6　(2)79 三、解答題 4．(20xx·福建卷)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－2

13、5°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． 解　(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.