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新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法與分析法、反證法學案 文 北師大版

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1、 第五節(jié) 綜合法與分析法、反證法 [考綱傳真] 1.了解直接證明的兩種基本方法:綜合法和分析法;了解綜合法和分析法的思考過程和特點.2.了解反證法的思考過程和特點. (對應學生用書第89頁) [基礎知識填充] 1.直接證明 內容 綜合法 分析法 定義 從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結論,直到完成命題的證明.我們把這樣的思維方法稱為綜合法. 從求證的結論出發(fā),一步一步地探索保證前一個結論成立的充分條件,直到歸結為這個命題的條件,或者歸結為定義、公理、定理等.我們把這樣的思維方法稱為分析法. 思維

2、 過程 由因導果 執(zhí)果索因 框圖 表示 →→…→ →→…→ 書寫 格式 因為…,所以…或由…,得… 要證…,只需證…,即證… 2.間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法. (1)反證法的定義:在假定命題結論反面成立的前提下,經(jīng)過推理,若推出的結果與定義、公理、定理矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結論的反面不可能成立,由此斷定命題結論成立的方法叫反證法. (2)用反證法證明的一般步驟:①反設——假設命題的結論不成立;②歸謬——根據(jù)假設進行推理,直到推出矛盾為止;③結論——斷言假設不

3、成立,從而肯定原命題的結論成立. [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)綜合法的思維過程是由因導果,逐步尋找已知的必要條件.(  ) (2)分析法是從要證明的結論出發(fā),逐步尋找使結論成立的充要條件.(  ) (3)用反證法證明時,推出的矛盾不能與假設矛盾.(  ) (4)在解決問題時,常常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(  ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.要證a2+b2-1-a2b2≤0 ,只要證明(  ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a(chǎn)2+

4、b2-1-≤0 C.-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0 D [a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0.] 3.用反證法證明命題:“已知a,b為實數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是(  ) A.方程x2+ax+b=0沒有實根 B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根 A [“方程x2+ax+b=0至少有一個實根”的反面是“方程x2+ax+b=0沒有實根”,故選A.] 4.已知a,b,x均為正數(shù),且a>b,則與的大小

5、關系是__________. > [∵-=>0,∴>.] 5.(教材改編)在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比數(shù)列,則△ABC的形狀為__________三角形. 【導學號:00090218】 等邊 [由題意2B=A+C, 又A+B+C=π,∴B=,又b2=ac, 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, ∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c, ∴A=C,∴A=B=C=, ∴△ABC為等邊三角形.] (對應學生用書第90頁) 綜合法  對于定義

6、域為[0,1]的函數(shù)f(x),如果同時滿足: ①對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù). (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù),證明:f(0)=0; (2)試判斷函數(shù)f(x)=2x(x∈[0,1]),f(x)=x2(x∈[0,1]),f(x)=(x∈[0,1])是否是理想函數(shù). 【導學號:00090219】 [解] (1)證明:取x1=x2=0,則x1+x2=0≤1,∴f(0+0)≥f(0)+f(0),∴f(0)≤0. 2分 又

7、對任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0,∴f(0)≥0.于是f(0)=0. 5分 (2)對于f(x)=2x,x∈[0,1],f(1)=2不滿足新定義中的條件②,∴f(x)=2x(x∈[0,1])不是理想函數(shù). 7分 對于f(x)=x2,x∈[0,1],顯然f(x)≥0,且f(1)=1.對任意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0,即f(x1)+f(x2)≤f(x1+x2). ∴f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函數(shù). 9分 對于f(x)=,x∈[0,1],顯然滿足條件①②.對任

8、意的x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1, 有[f(x1+x2)]2-[f(x1)+f(x2)]2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-2≤0,即[f(x1+x2)]2≤[f(x1)+f(x2)]2, ∴f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),不滿足條件③. ∴f(x)=(x∈[0,1])不是理想函數(shù). 11分 綜上,f(x)=x2(x∈[0,1])是理想函數(shù),f(x)=2x(x∈[0,1])與f(x)=(x∈[0,1])不是理想函數(shù). 12分 [規(guī)律方法] 綜合法是“由因導果”的證明方法,其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法,常與分析法結合使用,用分析法探路,綜合

9、法書寫,但要注意有關定理、性質、結論題設條件的正確運用. [變式訓練1] 已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-x2+x3,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像在交點(0,0)處有公共切線. (1)求a,b的值; (2)證明:f(x)≤g(x). [解] (1)f′(x)=,g′(x)=b-x+x2, 2分 由題意得 解得a=0,b=1. 5分 (2)證明:令h(x)=f(x)-g(x) =ln(x+1)-x3+x2-x(x>-1). h′(x)=-x2+x-1=. 8分 所以h(x)在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,+∞)上為減函

10、數(shù). h(x)max=h(0)=0,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤g(x). 12分 分析法  已知a>0,求證:-≥a+-2. [證明] 要證-≥a+-2, 只需要證+2≥a++. 2分 因為a>0,故只需要證2≥2, 即a2++4+4≥a2+2++2+2, 8分 從而只需要證2≥, 只需要證4≥2, 即a2+≥2,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立. 12分 [規(guī)律方法] 1.當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,??紤]用分析法. 2

11、.分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”,逐步尋找結論成立的充分條件,即從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質或已經(jīng)證明成立的結論等,通常采用“欲證—只需證—已知”的格式,在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性. [變式訓練2] 已知△ABC的三個內角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,C. 求證:+=. 【導學號:00090220】 [證明] 要證+=, 即證+=3,也就是+=1, 3分 只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需證c2+a2=ac+b2, 5分 又△ABC三內角A,B,C成等差數(shù)列

12、, 故B=60°, 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60°, 10分 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立. 12分 反證法  設{an}是公比為q的等比數(shù)列. (1)推導{an}的前n項和公式; (2)設q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列. [解] (1)設{an}的前n項和為Sn, 當q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 當q≠1時,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1

13、qn, ∴Sn=,∴Sn= 5分 (2)證明:假設{an+1}是等比數(shù)列,則對任意的k∈N*, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1. 8分 ∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,這與已知矛盾. ∴假設不成立,故{an+1}不是等比數(shù)列. 12分 [規(guī)律方法] 用反證法證明問題的步驟: (1)反設:假定所要證的結論不成立,而設結論的反面成立;(否定結論) (2)歸謬:將“反設”作為條件,由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理,導出矛盾,矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾;(推導矛盾) (3)立論:因為推理正確,所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設”的謬誤.既然原命題結論的反面不成立,從而肯定了原命題成立.(命題成立) [變式訓練3] 已知a≥-1,求證三個方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根. [證明] 假設三個方程都沒有實數(shù)根,則 ? 6分 ∴-

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