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新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 課時分層訓練39 數(shù)學歸納法 理 北師大版

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1、 1

2、 1 課時分層訓練(三十九) 數(shù)學歸納法 A組 基礎(chǔ)達標 一、選擇題 1.用數(shù)學歸納法證明2n>2n+1,n的第一個取值應是(  ) A.1  B.2 C.3 D.4 C [∵n=1時,21=2,2×1+1=3,2n>2n+1不成立; n=2時,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立; n=3時,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立. ∴n的第一個

3、取值應是3.] 2.一個關(guān)于自然數(shù)n的命題,如果驗證當n=1時命題成立,并在假設(shè)當n=k(k≥1且k∈N+)時命題成立的基礎(chǔ)上,證明了當n=k+2時命題成立,那么綜合上述,對于(  ) A.一切正整數(shù)命題成立 B.一切正奇數(shù)命題成立 C.一切正偶數(shù)命題成立 D.以上都不對 B [本題證的是對n=1,3,5,7,…命題成立,即命題對一切正奇數(shù)成立.] 3.在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過求a2,a3,a4,猜想an的表達式為(  ) 【導學號:79140216】 A.    B. C. D. C [由a1=,Sn=n(2n-1)an求得a2==,

4、a3==,a4==.猜想an=.] 4.對于不等式<n+1(n∈N+),某同學用數(shù)學歸納法證明的過程如下: (1)當n=1時,<1+1,不等式成立. (2)假設(shè)當n=k(k∈N+)時,不等式<k+1成立,當n=k+1時,=<==(k+1)+1. 所以當n=k+1時,不等式成立,則上述證法(  ) A.過程全部正確 B.n=1驗得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 D [當n=k+1時,沒有應用n=k時的假設(shè),不是數(shù)學歸納法.] 5.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個區(qū)域,則f(n)的表達式為(  ) A.n+1 B.2n C. D

5、.n2+n+1 C [1條直線將平面分成1+1個區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個區(qū)域;…;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個區(qū)域.] 二、填空題 6.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=,則當n=k+1時左端應在n=k的基礎(chǔ)上加上的項為________. (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 [當n=k時左端為1+2+3+…+k+(k+1)+(k+2)+…+k2,則當n=k+1時, 左端為1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2, 故增加的項為(k2

6、+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.] 7.數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N+),依次計算出a2,a3,a4,猜想an=________.  [a1=2,a2==,a3==,a4=+1=. 由此猜想an是以分子為2,分母是以首項為1,公差為6的等差數(shù)列,所以an=.] 8.凸n多邊形有f(n)條對角線.則凸(n+1)邊形的對角線的條數(shù)f(n+1)與f(n)的遞推關(guān)系式為________. f(n+1)=f(n)+n-1 [f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1.] 三、解答題 9.用數(shù)學歸納法證明:1+++…+<2-(n∈N+,n≥2).

7、 【導學號:79140217】 [證明] (1)當n=2時,1+=<2-=,命題成立. (2)假設(shè)n=k時命題成立,即 1+++…+<2-. 當n=k+1時,1+++…++<2-+<2-+=2-+- =2-命題成立. 由(1)(2)知原不等式在n∈N+,n≥2時均成立. 10.數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N+). (1)計算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項公式an; (2)證明(1)中的猜想. [解] (1)當n=1時,a1=S1=2-a1,∴a1=1; 當n=2時,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=; 當n=3時,a1+a2+a3=S3=2×3-

8、a3,∴a3=; 當n=4時,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4, ∴a4=. 由此猜想an=(n∈N+). (2)證明:①當n=1時,a1=1,結(jié)論成立. ②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N+)時,結(jié)論成立, 即ak=,那么n=k+1時, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1, ∴2ak+1=2+ak. ∴ak+1===. 所以當n=k+1時,結(jié)論成立. 由①②知猜想an=(n∈N+)成立. B組 能力提升 11.(20xx·昆明診斷)設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,經(jīng)計算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f

9、(16)>3,f(32)>,觀察上述結(jié)果,可推測出一般結(jié)論(  ) A.f(2n)> B.f(n2)≥ C.f(2n)≥ D.以上都不對 C [∵f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,∴當n≥1時,有f(2n)≥.] 12.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數(shù),則f(4)=__________;當n>4時,f(n)=__________(用n表示). 5 (n+1)(n-2)(n≥3) [f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)

10、 =2+3+4+…+(n-1) =(n+1)(n-2)(n≥3).] 13.數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N+). (1)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c<0; (2)若0<c≤,證明數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列. 【導學號:79140218】 [證明] (1)充分性:若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c<xn, ∴數(shù)列{xn}是遞減數(shù)列. 必要性:若{xn}是遞減數(shù)列,則x2<x1,且x1=0. 又x2=-x+x1+c=c,∴c<0. 故{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c<0. (2)若0<c≤,要證{xn}是遞增數(shù)列. 即xn+1-xn=-x+c>0, 即證xn<對任意n≥1成立. 下面用數(shù)學歸納法證明: 當0<c≤時,xn<對任意n≥1成立. ①當n=1時,x1=0<≤,結(jié)論成立. ②假設(shè)當n=k(k≥1,k∈N+)時結(jié)論成立,即xk<. ∵函數(shù)f(x)=-x2+x+c在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以xk+1=f(xk)<f()=, ∴當n=k+1時,xk+1<成立. 由①,②知,xn<對任意n≥1,n∈N+成立. 因此,xn+1=xn-x+c>xn,即{xn}是遞增數(shù)列.

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