《新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 專題探究課1 函數(shù)與導數(shù)中的高考熱點問題 理 北師大版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 專題探究課1 函數(shù)與導數(shù)中的高考熱點問題 理 北師大版(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
一) 函數(shù)與導數(shù)中的高考熱點問題
(對應學生用書第44頁)
[命題解讀] 函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,因此,函數(shù)與導數(shù)是歷年高考的重點與熱點,常涉及的問題有:討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等,涉及的數(shù)學思想有:函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結合、轉化與化歸思想等,中、高檔難度均有.
利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念,函數(shù)的最值是整體概念,研究函數(shù)的性質(zhì)必須在定義域內(nèi)進行,因此,務必遵循定義域優(yōu)先的原則,本熱點主要有三種考查方式:(1)
2、討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)的極值或最值;(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,求參數(shù)的范圍.
(20xx·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.
[解] (1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
若a>0,則當x∈時,f′(x)>0;
當x∈時,f′(x)<0.
所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最大值;
3、
當a>0時,f(x)在x=取得最大值,最大值為
f=ln+a=-ln a+a-1.
因此f>2a-2等價于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0.
于是,當01時,g(a)>0.
因此,a的取值范圍是(0,1).
[規(guī)律方法] 1.研究函數(shù)的性質(zhì),必須在定義域內(nèi)進行,因此利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),應遵循定義域優(yōu)先的原則.
2.討論函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題,最終歸結到判斷f′(x)的符號問題上,而f′(x)>0或f′(x)<0,最終可轉化為一個一元一次不等式或一元二次不
4、等式問題.
3.若已知f(x)的單調(diào)性,則轉化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.
[跟蹤訓練] (20xx·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=aln x+x2-ax(a∈R).
【導學號:79140096】
(1)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求g(x)=f(x)-2x在區(qū)間[1,e]的最小值h(a).
[解] (1)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=+2x-a=,
因為x=3是f(x)的極值點,
所以f′(3)==0,解得a=9.
所以f′(x)==,
所以當0<x<或x>3時,f′(x)>0;
當<
5、x<3時,f′(x)<0.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由題知,g(x)=f(x)-2x=aln x+x2-ax-2x.
g′(x)=-2=.
①當≤1,即a≤2時,g(x)在[1,e]上為增函數(shù),
h(a)=g(1)=-a-1;
②當1<<e,即2<a<2e時,g(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
h(a)=g=aln-a2-a;
③當≥e,即a≥2e時,g(x)在[1,e]上為減函數(shù),
h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.
綜上,h(a)=
利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題
研究函數(shù)零點的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值
6、的正負,為此,我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來解決,求解時應注重等價轉化與數(shù)形結合思想的應用,其主要考查方式有:(1)確定函數(shù)的零點、圖像交點的個數(shù);(2)由函數(shù)的零點、圖像交點的情況求參數(shù)的取值范圍.
(20xx·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.
[解] (1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),
f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).
(ⅰ)若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.
(ⅱ)若a>0,則由f′(
7、x)=0得x=-ln a.
當x∈(-∞,-ln a)時,f′(x)<0;
當x∈(-ln a,+∞)時,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,-ln a)單調(diào)遞減,在(-ln a,+∞)單調(diào)遞增.
(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一個零點.
(ⅱ)若a>0,由(1)知,當x=-ln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(-ln a)=1-+ln a.
①當a=1時,由于f(-ln a)=0,故f(x)只有一個零點;
②當a∈(1,+∞)時,由于1-+ln a>0,
即f(-ln a)>0,故f(x)沒有零點;
③當a∈(0,1)時,1-+ln a<0,即f
8、(-ln a)<0.
又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,
故f(x)在(-∞,-ln a)有一個零點.
設正整數(shù)n0滿足n0>ln,
則f(n0)=e(ae+a-2)-n0>e-n0>2-n0>0.
由于ln>-ln a,
因此f(x)在(-ln a,+∞)有一個零點.
綜上,a的取值范圍為(0,1).
[規(guī)律方法] 利用導數(shù)研究函數(shù)零點的兩種常用方法
(1)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,借助零點存在性定理判斷;或用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,再用單調(diào)性和極值定位函數(shù)圖像求解零點問題.
(2)將零點問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題,利用數(shù)形結合來解決.
9、
[跟蹤訓練] (20xx·武漢調(diào)研)已知f(x)=ln x-x3+2ex2-ax,a∈R,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若f(x)在x=e處的切線的斜率為e2,求a;
(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.
[解] (1)f′(x)=-3x2+4ex-a,
f′(e)=+e2-a=e2,∴a=.
(2)由ln x-x3+2ex2-ax=0,得-x2+2ex=a.
記F(x)=-x2+2ex,
則F′(x)=-2(x-e).
x∈(e,+∞),F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減.
x∈(0,e),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增,
∴F(x)max=F(e)=+e2
10、,
而x→0時,F(xiàn)(x)→-∞,
x→+∞時,F(xiàn)(x)→-∞.故a<+e2.
利用導數(shù)研究不等式問題(答題模板)
導數(shù)在不等式中的應用是每年高考的必考內(nèi)容,且以解答題的形式考查,難度較大,屬中高檔題,突出轉化思想、函數(shù)思想的考查.常見的命題角度有:(1)證明不等式;(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題;(3)不等式恒成立、能成立問題.
(本小題滿分12分)(20xx·全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
[規(guī)范解答] (1)f′(x)=(1-2x-x2)ex.
令f′(x)=
11、0得x=-1-或x=-1+. 2分
當x∈(-∞,-1-)時,f′(x)<0;
當x∈(-1-,-1+)時,f′(x)>0;
當x∈(-1+,+∞)時,f′(x)<0. 4分
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)單調(diào)遞減,在(-1-,-1+)單調(diào)遞增. 5分
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
當a≥1時,設函數(shù)h(x)=(1-x)ex,h′(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減.而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1. 8分
當0
12、-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,而g(0)=0,故ex≥x+1.
當0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,則x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.
10分
當a≤0時,取x0=,則x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1. 11分
綜上,a的取值范圍是[1,+∞). 12分
[閱卷者說]
易錯點
防范措施
函數(shù)h(x)與函數(shù)g(x)的構造
認真分析不等式的結構特征,通過構造h(x),利用不等式
13、的性質(zhì),證明命題成立,通過構造g(x),為舉反例說明命題不成立創(chuàng)造了條件
[規(guī)律方法] 1.求單調(diào)區(qū)間的一般步驟
(1)求定義域.
(2)求f′(x),令f′(x)>0,求出f(x)的增區(qū)間;令f′(x)<0,求出f(x)的減區(qū)間.
(3)寫出結論.
2.恒成立問題的三種解法
(1)分離參數(shù),化為最值問題求解.
(2)構造函數(shù),分類討論,如f(x)≥g(x),即F(x)=f(x)-g(x),求F(x)min≥0.
(3)轉變主元,選取適當?shù)闹髟?,可使問題簡化.
[跟蹤訓練] 設函數(shù)f(x)=e2x-aln x.
(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù);
(2)
14、證明:當a>0時,f(x)≥2a+aln.
【導學號:79140097】
[解] (1)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=2e2x-(x>0).
當a≤0時,f′(x)>0,f′(x)沒有零點;
當a>0時,設u(x)=e2x,v(x)=-,
因為u(x)=e2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,v(x)=-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又f′(a)>0,假設存在b滿足00時,f′(x)存在唯一零點.
(2)證明:由(1),可設f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點為x0,當x∈(0,x0)時,f′(x)<0;
當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0.
故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).
由于2e-=0,所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln .
故當a>0時,f(x)≥2a+aln .