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新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 理 北師大版

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1、 第三節(jié) 圓的方程 [考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)1.掌握確定圓的幾何要素,掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第134頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心(a,b),半徑r 一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0, (D2+E2-4F>0) 圓心, 半徑 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系: (1)若M(x0,y

2、0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2<r2. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”). (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(  ) (2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圓心為(a,b),半徑為t的一個(gè)圓.(  ) (3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0.(  ) (4)若點(diǎn)M(x0

3、,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則x+y+Dx0+Ey0+F>0.(  ) [解析] 由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,知(1)(3)(4)正確. (2)中,當(dāng)t≠0時(shí),表示圓心為(-a,-b),半徑為|t|的圓,不正確. [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2.圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是(  ) A.(x-1)2+(y-1)2=1  B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 D [由題意得圓的半徑為,故該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故選D.] 3.(20xx·全國(guó)

4、卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=(  ) A.-  B.- C.   D.2 A [圓x2+y2-2x-8y+13=0,得圓心坐標(biāo)為(1,4),所以圓心到直線ax+y-1=0的距離d==1,解得a=-.] 4.點(diǎn)(2a,a-1)在圓x2+(y-1)2=5的內(nèi)部,則a的取值范圍是(  ) A.-1<a<1 B.0<a<1 C.-1<a< D.-<a<1 D [由(2a)2+(a-2)2<5得-<a<1.] 5.(教材改編)圓C的圓心在x軸上,并且過(guò)點(diǎn)A(-1,1)和B(1,3),則圓C的方程為_(kāi)_______. (x

5、-2)2+y2=10 [設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0), ∵點(diǎn)A(-1,1)和B(1,3)在圓C上, ∴|CA|=|CB|,即=, 解得a=2,所以圓心為C(2,0), 半徑|CA|==, ∴圓C的方程為(x-2)2+y2=10.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第135頁(yè)) 圓的方程  (1)(20xx·豫北名校4月聯(lián)考)圓(x-2)2+y2=4關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的圓的方程是(  ) A.(x-)2+(y-1)2=4 B.(x-)2+(y-)2=4 C.x2+(y-2)2=4 D.(x-1)2+(y-)2=4 (2)(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),

6、C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=(  ) A.2       B.8 C.4 D.10 (1)D (2)C [(1)設(shè)圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),則有解得a=1,b=,從而所求圓的方程為(x-1)2+(y-)2=4.故選D. (2)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則解得 ∴圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴|MN|=4,故選C.] [規(guī)律方法] 求圓的方程的兩種方

7、法 (1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫(xiě)出方程. (2)待定系數(shù)法: ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值. ②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值. 易錯(cuò)警示:解答圓的有關(guān)問(wèn)題,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì). [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·??谡{(diào)研)已知圓M與直線3x-4y=0及3x-4y+10=0都相切,圓心在直線y=-x-4上,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):7914

8、0274】 A.(x+3)2+(y-1)2=1 B.(x-3)2+(y+1)2=1 C.(x+3)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 (2)(20xx·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為_(kāi)_______. (1)C (2)(x-2)2+y2=9 [(1)到兩直線3x-4y=0和3x-4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x-4y+5=0,聯(lián)立方程組解得所以圓M的圓心坐標(biāo)為(-3,-1),又兩平行線之間的距離為=2,所以圓M的半徑為1,所以圓M的方程為(x+3)2+(y+1)2=1,

9、故選C. (2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上,設(shè)C(a,0),且a>0, 所以圓心到直線2x-y=0的距離d==, 解得a=2, 所以圓C的半徑r=|CM|==3, 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9.] 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題  已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)求的最大值和最小值. [解] (1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0, 可得(x-2)2+(y-7)2=8, ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=2. 又|QC|==4, ∴|M

10、Q|max=4+2=6, |MQ|min=4-2=2. (2)可知表示直線MQ的斜率k. 設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0. 由直線MQ與圓C有交點(diǎn),所以≤2, 可得2-≤k≤2+, ∴的最大值為2+,最小值為2-. 1.(變化結(jié)論)在本例的條件下,求y-x的最大值和最小值. [解] 設(shè)y-x=b,則x-y+b=0. 當(dāng)直線y=x+b與圓C相切時(shí),截距b取到最值, ∴=2,∴b=9或b=1. 因此y-x的最大值為9,最小值為1. 2.(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(-2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x+4y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)”,其它條件不變

11、,試求|MQ|的最小值. [解] ∵圓心C(2,7)到直線3x+4y+1=0上動(dòng)點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x+4y+1=0的距離, ∴|QC|min=d==7. 又圓C的半徑r=2, ∴|MQ|的最小值為7-2. [規(guī)律方法] 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法 (1)形如μ=形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題. (2)形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·陜西質(zhì)檢(一))圓:x2+y2-2x-2y+1=0上的點(diǎn)到

12、直線x-y=2的距離的最大值是(  ) A.1+ B.2 C.1+ D.2+2 (2)(20xx·廣東七校聯(lián)考)圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對(duì)稱(chēng),則+的最小值是(  ) A.2 B. C.4 D. (1)A (2)D [(1)由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1,則圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,所以圓心到直線的距離為=,所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是1+,故選A. (2)由圓x2+y2+2x-6y+1=0知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-3)2=9,∵圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+

13、3=0(a>0,b>0)對(duì)稱(chēng),∴該直線經(jīng)過(guò)圓心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0),∴+=(a+3b)=≥=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b時(shí)取等號(hào),故選D.] 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題  已知A(2,0) 為圓x2+y2=4上一定點(diǎn),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上的動(dòng)點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140275】 (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程; (2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程. [解] (1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y), 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知, P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y). 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上, 所以(2x-2)2+

14、(2y)2=4. 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y), 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|, 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0. [規(guī)律方法] 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法 (1)直接法:直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解. (2)定義法:根據(jù)圓的定義列方程求解. (3)幾何法:利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解. (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式求解. [跟蹤訓(xùn)練] 已知點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)B(2,0),動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足|AC|=|AB|,求點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程. [解] 由題意可知:動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以(-1,0)為圓心,3為半徑長(zhǎng)的圓,方程為(x+1)2+y2=9. 設(shè)M(x0,y0),則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得 C(2x0-1,2y0-4), 代入點(diǎn)C的軌跡方程得4x+4(y0-2)2=9, 化簡(jiǎn)得x+(y0-2)2=, 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2+(y-2)2=.

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