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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第2講　合情推理與演繹推理 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理________． ①結(jié)論正確；②大前提不正確；③小前提不正確；④全不正確． 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù)，所以小前提不正確． 答案　③ 2．(2014·西安五校聯(lián)考)觀察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，則得出第n個式子的結(jié)論：________. 解析　各等式的左邊

2、是第n個自然數(shù)到第3n－2個連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 3．若等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項的和為Sn，則數(shù)列為等差數(shù)列，且通項為＝a1＋(n－1)·，類似地，請完成下列命題：若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項為b1，公比為q，前n項的積為Tn，則________． 答案　數(shù)列{}為等比數(shù)列，且通項為＝b1()n－1 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理得：若定義

3、在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝________. 解析　由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)． 答案　－g(x) 5．(2012·江西卷改編)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于________． 解析　從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123. 答案　123 6．(2014·長春調(diào)研)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對于給

4、定的兩個函數(shù)：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運算公式是________． ①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． 解析　經(jīng)驗證易知①②錯誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－

5、C(x)S(y)． 答案?、邰? 7．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的是________． 解析　①②正確；③④⑤⑥錯誤． 答案?、佗? 8．(201

6、4·南京一模)給出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，請從中歸納出第n個等式：＝________. 答案　2cos 二、解答題 9．給出下面的數(shù)表序列： 其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n個數(shù)是1,3，5，…，2n－1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和． 寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明)． 解　表4為　　　　　　 1　3　5　7 　　　　　　　　 　 4　8　12 　　　　　　　　　　 12　20 　　　　　　　　

7、　　 　 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列． 將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列． 10．f(x)＝，先分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明． 解　f(0)＋f(1)＝＋ ＝＋＝＋＝， 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝. 證明：f(x)＋f(1－x)＝＋ ＝＋＝＋ ＝＝. 能力提升題組

8、 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．(2012·江西卷改編)觀察下列事實：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為12，…，則|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個數(shù)為________． 解析　由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80. 答案　80 2．觀察下列各式9－1＝

9、8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為________． 解析　9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4×(5＋1)，…，一般地，有(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)． 答案　(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*) 3．(2013·湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中，若點P(x，y)的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點．若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊

10、形．格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形，對應(yīng)的S＝1，N＝0，L＝4. (1)圖中格點四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L分別是________； (2)已知格點多邊形的面積可表示為S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c為常數(shù)．若某格點多邊形對應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝________(用數(shù)值作答)． 解析　(1)四邊形DEFG是一個直角梯形，觀察圖形可知：S＝(＋2)××＝3，N＝1，L＝6. (2)由(1)知，S四邊形DEFG＝a＋6b＋c＝3. S△ABC＝4b＋c＝1. 在平面直角坐標(biāo)系中，取一“田”字型四邊形，構(gòu)成邊

11、長為2的正方形，該正方形中S＝4，N＝1，L＝8.則S＝a＋8b＋c＝4.聯(lián)立解得a＝1，b＝.c＝－1. ∴S＝N＋L－1，∴若某格點多邊形對應(yīng)的N＝71，L＝18，則S＝71＋×18－1＝79. 答案　(1)3,1,6　(2)79 二、解答題 4．(2012·福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(

12、－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； (2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解　(1)選擇②式，計算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ＝1－sin 30° ＝1－ ＝. (2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.