3、必要條件
2.設函數(shù)f(x)= 則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)
3.已知不等式x2-2x-3<0的解集為A,不等式x2+x-6<0的解集是B,不等式x2+ax+b<0的解集是A∩B,那么a+b等于( )
A.-3 B.1 C.-1 D.3
4.(2011·廈門月考)已知f(x)=ax2-x-c>0的解集為(-3,2),則y=f(-x)的圖象是( )
5.當x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4<0恒成
4、立,則m的取值范圍為________________.
探究點一 一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式:
(1)-x2+2x->0;
(2)9x2-6x+1≥0.
變式遷移1 解下列不等式:
(1)2x2+4x+3<0;
(2)-3x2-2x+8≤0;
(3)8x-1≥16x2.
探究點二 含參數(shù)的一元二次不等式的解法
例2 已知常數(shù)a∈R,解關于x的不等式ax2-2x+a<0.
變式遷移2 解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
5、
探究點三 一元二次不等式恒成立問題
例3 (2011·巢湖月考)已知f(x)=x2-2ax+2 (a∈R),當x∈[-1,+∞)時,f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.
變式遷移3 (1)關于x的不等式<2對任意實數(shù)x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
(2)若不等式x2+px>4x+p-3對一切0≤p≤4均成立,試求實數(shù)x的取值范圍.
轉化與化歸思想的應用
例 (12分)已知不等式ax2+bx+c>0的解集為(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<0
6、的解集.
【答題模板】
解 由已知不等式的解集為(α,β)可得a<0,
∵α,β為方程ax2+bx+c=0的兩根,
∴由根與系數(shù)的關系可得[4分]
∵a<0,∴由②得c<0,[5分]
則cx2+bx+a<0可化為x2+x+>0.[6分]
①÷②,得==-<0,由②得==·>0,
∴、為方程x2+x+=0的兩根.[10分]
∵0<α<β,∴不等式cx2+bx+a<0的解集為{x|x<或x>}.[12分]
【突破思維障礙】
由ax2+bx+c>0的解集是一個開區(qū)間,結合不等式對應的函數(shù)圖象知a<0,要求cx2+bx+a<0的解集首先需要判斷二次項系數(shù)c的正負,由方程根與系數(shù)關
7、系知=α·β>0,因a<0,∴c<0,從而知道cx2+bx+a<0的解集是x大于大根及小于小根對應的兩個集合.要想求出解集,需用已知量α,β代替參數(shù)c、b、a,需對不等式cx2+bx+a<0兩邊同除c或a,用α、β代替后,就不難找到要求不等式對應方程的兩根,從而求出不等式的解集.本題較好地體現(xiàn)了三個“二次”之間的相互轉化.
1.三個“二次”的關系:二次函數(shù)是主體,一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零和不為零的兩種情況,一般討論二次函數(shù)常將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式來研究,而討論一元二次方程和一元二次不等式又常與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系,通過二次函數(shù)的圖象及性質來
8、解決.一元二次不等式解集的端點值就是相應的一元二次方程的根,也是相應的二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標,即二次函數(shù)的零點.
2.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟:解含參數(shù)的一元二次不等式可按如下步驟進行:1°二次項若含有參數(shù)應討論參數(shù)是等于0、小于0、還是大于0.然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式.2°判斷方程的根的個數(shù),討論判別式Δ與0的關系.3°確定無根時可直接寫出解集,確定方程有兩個根時,要討論兩根的大小關系,從而確定解集的形式.
3.不等式恒成立問題:不等式恒成立,即不等式的解集為R,一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a≠0)恒成立的條件是ax2+bx+c<0 (a≠0)恒成
9、立的條件是
(滿分:75分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.函數(shù)y=的定義域是( )
A.[-,-1)∪(1,] B.[-,-1]∪(1,)
C.[-2,-1)∪(1,2] D.(-2,-1)∪(1,2)
2.(2010·撫順模擬)已知集合P={x|>0},集合Q={x|x2+x-2≥0},則x∈Q是x∈P的( )
A.充分條件但不是必要條件
B.必要條件但不是充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
3.(2011·銀川模擬)已知集合M={x|x2-2 008x-2 009>0},N={x|x2+ax+b≤0},若M∪N=R,M
10、∩N=(2 009,2 010],則( )
A.a(chǎn)=2 009,b=-2 010 B.a(chǎn)=-2 009,b=2 010
C.a(chǎn)=2 009,b=2 010 D.a(chǎn)=-2 009,b=-2 010
4.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對任何實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.m>1 B.m<-1
C.m<- D.m>1或m<-
5.(創(chuàng)新題)已知a1>a2>a3>0,則使得(1-aix)2<1 (i=1,2,3)都成立的x的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(
11、每小題4分,共12分)
6.在R上定義運算?:x?y=x(1-y),若不等式(x-a)?(x+a)<1對任意實數(shù)x恒成立,則a的取值范圍為________.
7.已知函數(shù)f(x)=則滿足f(x)>1的x的取值范圍為______________.
8.(2011·泉州月考)
已知函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)為f(x)的導函數(shù),函數(shù)y=f′(x)的圖象如右圖所示,且f(-2)=1,f(3)=1,則不等式f(x2-6)>1的解集為__________________.
三、解答題(共38分)
9.(12分)解關于x的不等式<0 (a∈R).
12、
10.(12分)若不等式ax2+bx+c≥0的解集是,求不等式cx2+bx+a<0的解集.
11.(14分)(2011·煙臺月考)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3.
(1)當x∈R時,f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍;
(2)當x∈[-2,2]時,f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.
學案34 一元二次不等式及其解法
自主梳理
1.2 2.-?。 ? ?
自我檢測
1.C 2.A 3.A 4.D
5.(-∞,-5]
解析 記f(x)=x2+mx+4,根據(jù)題意得
解得
13、m≤-5.
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 解一元二次不等式的一般步驟
(1)對不等式變形,使一端為0且二次項系數(shù)大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0).
(2)計算相應的判別式.
(3)當Δ≥0時,求出相應的一元二次方程的根.
(4)根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象,寫出不等式的解集.
解 (1)兩邊都乘以-3,得3x2-6x+2<0,
因為3>0,且方程3x2-6x+2=0的解是
x1=1-,x2=1+,
所以原不等式的解集是{x|1-
14、=0,
∴上述方程有兩相等實根x=,
結合二次函數(shù)y=9x2-6x+1的圖象知,原不等式的解集為R.
變式遷移1 解 (1)∵不等式2x2+4x+3<0可轉化為
2(x+1)2+1<0,而2(x+1)2+1>0,
∴2x2+4x+3<0的解集為?.
(2)兩邊都乘以-1,得3x2+2x-8≥0,
因為3>0,且方程3x2+2x-8=0的解是
x1=-2,x2=,
所以原不等式的解集是(-∞,-2]∪[,+∞).
(3)原不等式可轉化為16x2-8x+1≤0,
即(4x-1)2≤0,
∴原不等式的解集為{}.
例2 解題導引 (1)含參數(shù)的一元二次不等式,若二次項系數(shù)為
15、常數(shù),可先考慮分解因式,再對參數(shù)進行討論;若不易因式分解,則可對判別式進行分類討論,分類要不重不漏.
(2)若二次項系數(shù)為參數(shù),則應先考慮二次項是否為零,然后再討論二次項系數(shù)不為零時的情形,以便確定解集的形式.
(3)其次對方程的根進行討論,比較大小,以便寫出解集.
解 上述不等式不一定為一元二次不等式,當a=0時為一元一次不等式,當a≠0時為一元二次不等式,故應對a進行討論,然后分情況求解.
(1)a=0時,解為x>0.
(2)a>0時,Δ=4-4a2.
①當Δ>0,即0
16、時,x∈?;
③當Δ<0,即a>1時,x∈?.
(3)當a<0時,
①Δ>0,即-1}.
②Δ=0,即a=-1時,不等式化為(x+1)2>0,
∴解為x∈R且x≠-1.
③Δ<0,即a<-1時,x∈R.
綜上所述,當a≥1時,原不等式的解集為?;
當00};
當-1};
當a=-1時,解集為{x|x∈R且x≠-1};
當a<-1時,解集為{x|x∈R}.
變式遷移2 解 ①當a=0時,解得x>1.
②當a>0時,原不
17、等式變形為(x-)(x-1)<0,
∴a>1時,解得0,
∵<1,∴解不等式可得x<或x>1.
綜上所述,當a<0時,不等式解集為(-∞,)∪(1,+∞);
當a=0時,不等式解集為(1,+∞);
當01時,不等式解集為(,1).
例3 解題導引 注意等價轉化思想的運用,二次不等式在區(qū)間上恒成立的問題可轉化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題.
解 方法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)
18、圖象的對稱軸為x=a.
①當a∈(-∞,-1)時,f(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②當a∈[-1,+∞)時,f(x)min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.
綜上所述,所求a的取值范圍為-3≤a≤1.
方法二 令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,
得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或
解得-3≤a≤1.
變式遷移3 解 (1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0,
19、
∴不等式<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.
要使原不等式對任意實數(shù)x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0對任意實數(shù)x恒成立.
∴Δ<0,即64-8(6-m)<0,
整理并解得m<-2.
∴實數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2).
(2)∵x2+px>4x+p-3,
∴(x-1)p+x2-4x+3>0.
令g(p)=(x-1)p+x2-4x+3,
則要使它對0≤p≤4均有g(p)>0,
只要有.
∴x>3或x<-1.
∴實數(shù)x的取值范圍為(-∞,-1)∪(3,+∞).
課后練習區(qū)
1.A [由已知有(x2-1)≥0,
∴ ∴
∴-≤x<-
20、1或11},Q={x≤-2,或x≥1},集合P,Q之間不存在包含關系,
所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要條件.]
3.D [化簡得M={x|x<-1或x>2 009},
由M∪N=R,M∩N=(2 009,2 010]可知N={x|-1≤x≤2 010},即-1,2 010是方程x2+ax+b=0的兩個根.
所以b=-1×2 010=-2 010,-a=-1+2 010,即a=-2 009.]
4.C [當m=-1時,不等式變?yōu)?x-6<0,即x<3,不符合題意.
當m≠-1時,由題意知
化簡,得
解得m<-.]
5
21、.B [(1-aix)2<1,即ax2-2aix<0,
即aix(aix-2)<0,由于ai>0,這個不等式可以化為
x<0,即00.
因上式對x∈R都成立,
所以Δ=1+4(a2-a-1)<0,
即4a2-4a-3<0.所以-0時,由log2x>1,得x>2;
當x≤0時,由x2>1,得x<-1.
綜上可知,x的取值范圍為
22、(-∞,-1)∪(2,+∞).
8.(2,3)∪(-3,-2)
解析 由導函數(shù)圖象知當x<0時,f′(x)>0,
即f(x)在(-∞,0)上為增函數(shù);
當x>0時,f′(x)<0,即f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
故不等式f(x2-6)>1等價于f(x2-6)>f(-2)或f(x2-6)>f(3),即-21時,aa2,此時
23、a21時,原不等式的解集為{x|a0.
又-,2為方程ax2+bx+c=0的兩個根,(6分)
∴-=,即=-.
又∵=-,∴b=-a,c=-a.(8分)
∴不等式cx2+bx+a<0變?yōu)閤2+x+a<0,
即2ax2+5ax-3a>0.
又∵a<0,∴2x2+5x-3<0,
∴所求不等式的解集為.(12分)
11.解 (1
24、)∵x∈R時,有x2+ax+3-a≥0恒成立,
需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,
∴-6≤a≤2.(4分)
(2)當x∈[-2,2]時,設g(x)=x2+ax+3-a≥0,分如下三種情況討論(如圖所示):
①如圖(1),當g(x)的圖象恒在x軸上方,滿足條件時,
有Δ=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2.(7分)
②如圖(2),g(x)的圖象與x軸有交點,
但在x∈[-2,+∞)時,g(x)≥0,
即
即?
解之,得a∈?.(10分)
③如圖(3),g(x)的圖象與x軸有交點,
但在x∈(-∞,2]時,g(x)≥0,即
即?
?-7≤a≤-6.(13分)
綜合①②③,得a∈[-7,2].(14分)