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新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 46

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第6講 正弦定理和余弦定理 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、填空題 1.(2013·鹽城模擬)在△ABC中,若a2-c2+b2=ab,則C=________. 解析 由a2-c2+b2=ab,得cos C===,所以C=30°. 答案 30° 2.(2014·合肥模擬)在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面積為,則BC的長(zhǎng)為________. 解析 S=×AB·ACsin 60°=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,所以BC=. 答案  3.(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷改編)△A

2、BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,B=,C=,則△ABC的面積為________. 解析 由正弦定理=及已知條件得c=2, 又sin A=sin(B+C)=×+×=. 從而S△ABC=bcsin A=×2×2×=+1. 答案?。? 4.(2013·山東卷改編)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B=2A,a=1,b=,則c=________. 解析 由=,得=,所以=,故cos A=,又A∈(0,π),所以A=,B=,C=,c===2. 答案 2 5.(2013·陜西卷改編)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C

3、+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為________三角形(填“直角”、“銳角”或“鈍角”). 解析 由正弦定理及已知條件可知sin Bcos C+cos Bsin C=sin2 A,即sin(B+C)=sin2 A,而B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin A,所以sin2 A=sin A,又0<A<π,sin A>0,∴sin A=1,即A=. 答案 直角 6.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=,b=2,sin B+cos B=,則角A的大小為________. 解析 由題意知,sin B+cos B=,所以sin=,所以B=,根據(jù)正弦定理

4、可知=,可得=,所以sin A=,又a<b,故A=. 答案  7.(2014·惠州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,則角B的值為________. 解析 由余弦定理,得=cos B,結(jié)合已知等式得cos B·tan B=,∴sin B=,∴B=或. 答案 或 8.(2013·煙臺(tái)一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=1,b=2,cos C=,則sin B等于________. 解析 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.由cos C=得sin C=.由正弦定理=,得sin

5、 B==×=(或者因?yàn)閏=2,所以b=c=2,即三角形為等腰三角形,所以sin B=sin C=). 答案  二、解答題 9.(2014·揚(yáng)州質(zhì)檢)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊,且a=c+bcos C. (1)求角B的大??; (2)若S△ABC=,b=,求a+c的值. 解 (1)由正弦定理,得sin A=sin C+sin Bcos C, 又因?yàn)锳=π-(B+C),所以sin A=sin(B+C), 可得sin Bcos C+cos Bsin C=sin C+sin Bcos C, 即cos B=,又B∈(0,π),所以B=. (2)因?yàn)镾△ABC=,

6、所以acsin=,所以ac=4, 由余弦定理可知b2=a2+c2-ac, 所以(a+c)2=b2+3ac=13+12=25,即a+c=5. 10.(2013·深圳二模)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,b=5,c=7. (1)求角C的大??; (2)求sin的值. 解 (1)由余弦定理,得cos C===-.∵0<C<π,∴C=. (2)由正弦定理=,得 sin B===, ∵C=,∴B為銳角, ∴cos B===. ∴sin=sin Bcos +cos Bsin =×+×=. 能力提升題組 (建議用時(shí):25分鐘) 一、填空題 1.(

7、2014·溫嶺中學(xué)模擬)在銳角△ABC中,若BC=2,sin A=,則·的最大值為________. 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc×=4,由基本不等式可得4≥bc,即bc≤3,又∵sin A=,∴cos A=,所以·=bccos A=bc≤1. 答案 1 2.(2013·青島一中調(diào)研)在△ABC中,三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a3+b3=c3,那么△ABC的形狀為________三角形.(填“銳角”、“鈍角”或“直角”). 解析 由題意可知c>a,c>b,即角C最大, 所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb2,即 c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2.根據(jù)余

8、弦定理,得cos C=>0,所以0<C<,即三角形為銳角三角形. 答案 銳角 3.在△ABC中,B=60°,AC=,則AB+2BC的最大值為________ . 解析 由正弦定理知==, ∴AB=2sin C,BC=2sin A. 又A+C=120°,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C) =2(sin C+2sin 120°cos C-2cos 120°sin C) =2(sin C+cos C+sin C) =2(2sin C+cos C)=2sin(C+α), 其中tan α=,α是第一象限角,由于0°<C<120°,且α是第一象限角,因此AB+2BC有

9、最大值2. 答案 2 二、解答題 4.(2013·長(zhǎng)沙模擬)在△ABC中,邊a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且滿足bcos C=(3a-c)cos B. (1)求cos B; (2)若·=4,b=4,求邊a,c的值. 解 (1)由正弦定理和bcos C=(3a-c)cos B, 得sin Bcos C=(3sin A-sin C)cos B, 化簡(jiǎn),得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即sin(B+C)=3sin Acos B, 故sin A=3sin Acos B,所以cos B=. (2)因?yàn)椤ぃ?,所以·=||·||· cos B=4,所以||·||=12,即ac=12.① 又因?yàn)閏os B==,整理得,a2+c2=40.② 聯(lián)立①②解得或

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