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1、新編高考數學復習資料 第3講　函數的奇偶性與周期性 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．(2013·溫州二模)若函數f(x)＝是奇函數，則a的值為________． 解析　由f(－1)＝－f(1)，得＝， ∴(－1＋a)2＝(1＋a)2解得a＝0. 答案　0 2．(2014·溫嶺中學模擬)f(x)為奇函數，當x＜0時，f(x)＝log2(1－x)，則f(3)＝________. 解析　f(3)＝－f(－3)＝－log24＝－2. 答案?。? 3．(2013·重慶卷改編)已知函數f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))

2、＝5，則f(lg(lg 2))＝________. 解析　∵f(x)＝ax3＋bsin x＋4，① ∴f(－x)＝a(－x)3＋bsin(－x)＋4， 即f(－x)＝－ax3－bsin x＋4，② ①＋②得f(x)＋f(－x)＝8，③ 又∵lg(log210)＝lg＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝5， 又由③式知f(－lg(lg 2))＋f(lg(lg 2))＝8， ∴5＋f(lg(lg 2))＝8，∴f(lg(lg 2))＝3. 答案　3 4．函數f(x)是周期為4的偶函數，當x∈[0,2]時，f(x)

3、＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為______． 解析　f(x)的圖象如圖． 當x∈(－1,0)時，由xf(x)>0，得x∈(－1,0)； 當x∈(0,1)時，由xf(x)>0，得x∈?； 當x∈(1,3)時，由xf(x)>0，得x∈(1,3)． ∴x∈(－1,0)∪(1,3)． 答案　(－1,0)∪(1,3) 5．(2014·武漢一模)已知定義在R上的奇函數f(x)和偶函數g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，則f(2)＝________. 解析　依題意知f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)＝a

4、－x－ax＋2，聯立f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，解得g(x)＝2，f(x)＝ax－a－x，故a＝2，f(2)＝22－2－2＝4－＝. 答案　 6．(2013·青島二模)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x＋2)＝f(x)對任意x∈R成立，當x∈(－1,0)時f(x)＝2x，則f ＝________. 解析　因為f(x＋2)＝f(x)，故f ＝f ＝－f ＝1. 答案　1 7．設定義在[－2,2]上的偶函數f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞減，若f(1－m)＜f(m)，則實數m的取值范圍是________． 解析　∵f(x)是偶函數，∴f(－x)＝f(x)＝f(

5、|x|)． ∴不等式f(1－m)＜f(m)?f(|1－m|)＜f(|m|)． 又當x∈[0,2]時，f(x)是減函數． ∴解得－1≤m＜. 答案　 8．(2013·臨沂模擬)下列函數①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2x中既是偶函數，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞增的函數是________． 解析　因為①是奇函數，所以不成立．③在(0，＋∞)上單調遞減，不成立，④為非奇非偶函數，不成立，所以填②. 答案　② 二、解答題 9．f(x)為R上的奇函數，當x＞0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式． 解　當x＜0時， －x＞0，則 f(－x)＝

6、－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. 由于f(x)是奇函數，故f(x)＝－f(－x)， 所以當x＜0時，f(x)＝2x2＋3x－1. 因為f(x)為R上的奇函數，故f(0)＝0. 綜上可得f(x)的解析式為f(x)＝ 10．設f(x)是定義域為R的周期函數，且最小正周期為2，且f(1＋x)＝f(1－x)，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x. (1)判定f(x)的奇偶性； (2)試求出函數f(x)在區(qū)間[－1,2]上的表達式． 解　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(－x)＝f(2＋x)． 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)

7、是偶函數． (2)當x∈[0,1]時，－x∈[－1,0]， 則f(x)＝f(－x)＝x； 進而當1≤x≤2時，－1≤x－2≤0， f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. 故f(x)＝ 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．(2013·昆明模擬)已知偶函數f(x)對?x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且當x∈[－1,0]時f(x)＝2x，則f(2 013)＝________. 解析　由f(x－2)＝－f(x)得f(x－4)＝f(x)，所以函數的周期是4，故f(2 013)＝f(4×503＋1)＝f(1)＝f(－1)＝2－1＝. 答案　 2．(2

8、014·鄭州模擬)已知函數f(x＋1)是偶函數，當1＜x1＜x2時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，設a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系為________． 解析　∵f(x＋1)是偶函數，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， ∴y＝f(x)關于x＝1對稱．又1＜x1＜x2， [f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0， 知y＝f(x)在[1，＋∞)是增函數，又f＝f，且2＜＜3，∴f(2)＜f＜f(3)，即b＜a＜c. 答案　b＜a＜c 3．設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,

9、1]時，f(x)＝1－x，則： ①2是函數f(x)的周期； ②函數f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增； ③函數f(x)的最大值是1，最小值是0； ④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3. 其中所有正確命題的序號是________． 解析　由已知條件：f(x＋2)＝f(x)，則y＝f(x)是以2為周期的周期函數，①正確；當－1≤x≤0時0≤－x≤1， f(x)＝f(－x)＝1＋x， 函數y＝f(x)的圖象如圖所示： 當3＜x＜4時，－1＜x－4＜0， f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確，③不正確． 答案?、佗冖? 二、解答題 4．已知函數f(x)

10、在R上滿足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0. (1)試判斷函數y＝f(x)的奇偶性； (2)試求方程f(x)＝0在閉區(qū)間[－2 014,2 014]上根的個數，并證明你的結論． 解　(1)若y＝f(x)為偶函數，則f(－x)＝f[2－(x＋2)]＝f[2＋(x＋2)]＝f(4＋x)＝f(x)， ∴f(7)＝f(3)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函數． 若y＝f(x)為奇函數，則f(0)＝－f(0)， ∴f(0)＝0，這與f(x)在閉區(qū)間[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是奇函數． 綜上可知：函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數． (2)由?? f(4－x)＝f(14－x)?f(x)＝f(x＋10)， 從而知函數y＝f(x)的周期T＝10. 由f(3)＝f(1)＝0，得f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0. 故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有兩個解，從而可知函數y＝f(x)在[0,2 014]上有404個解，在[－2 014,0]上有402個解，所以函數y＝f(x)在[－2 014,2 014]上共有806個解.