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1、 【導與練】（新課標）20xx屆高三數(shù)學一輪復習 第2篇 第9節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用課時訓練 理 【選題明細表】 知識點、方法 題號 用函數(shù)(圖象)刻畫實際問題中兩變量的變化過程 1、2、3、6 一次函數(shù)、二次函數(shù)模型 9、10 函數(shù)y=x+ax(a>0)模型 4、12 指數(shù)函數(shù)模型 5、7、8 分段函數(shù)模型 11、13、14、15、16 基礎(chǔ)過關(guān) 一、選擇題 1.(20xx蘭州模擬)如圖,下面的四個容器高度都相同,將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系,其中不正確的有(　A　)

2、 (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析:將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和時間t之間的關(guān)系可以從高度隨時間的變化率上反映出來,圖①應(yīng)該是勻速的,故下面的圖象不正確,②中的變化率是越來越慢的,正確;③中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;④中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有①是錯誤的. 2.若一根蠟燭長20 cm,點燃后每小時燃燒5 cm,則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(小時)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為(　B　) 解析:根據(jù)題意得解析式為h=20-5t(0≤t≤4),其圖象為B. 3.(20xx福州模擬)在一次數(shù)學實驗中,

3、運用計算器采集到如下一組數(shù)據(jù): x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系與下列函數(shù)最接近的(其中a,b為待定系數(shù))是(　B　) (A)y=a+bx (B)y=a+bx (C)y=ax2+b (D)y=a+bx 解析:由x=0時,y=1,排除D;由f(-1.0)≠f(1.0),排除C;由函數(shù)值增長速度不同,排除A. 4.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為(　A　) (A)800米 (B)900米 (C)1000米 (D)1200米 解析:設(shè)這個廣場的

4、長為x米, 則寬為40000x米, 所以其周長為l=2(x+40000x)≥800,當且僅當x=200時取等號. 5.將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中,t分鐘后甲桶中剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=aent.假設(shè)過5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等,若再過m分鐘甲桶中的水只有a8,則m的值為(　D　) (A)7 (B)8 (C)9 (D)10 解析:根據(jù)題意12=e5n, 令18a=aent,即18=ent, 因為12=e5n,故18=e15n, 比較知t=15,m=15-5=10. 6.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0

5、,不考慮樹的粗細,現(xiàn)在用16 m長的籬笆,借助墻角圍成一個矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為S m2,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是(　C　) 解析:設(shè)CD=x,則S=x(16-x)(4

6、8月份的產(chǎn)值是b(1+a)12.又由增長率的概念知,這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為b(1+a)12-bb=(1+a)12-1. 答案:(1+a)12-1 8.(20xx沈陽模擬)一個容器裝有細沙a cm3,細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細沙量為y=ae-bt(cm3),經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過　　　　min,容器中的沙子只有開始時的八分之一.? 解析:依題意有a·e-b×8=12a, ∴b=ln28, ∴y=a·e-ln28·t 若容器中的沙子只有開始時的八分之一, 則有a·e-ln28·t=18a

7、. 解得t=24, 所以再經(jīng)過的時間為24-8=16 min. 答案:16 9.國家規(guī)定個人稿費納稅辦法為:不超過800元的不納稅;超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅;超過4000元的按全稿酬的11%納稅.某人出版了一書共納稅420元,這個人的稿費為 　　　　元.? 解析:420<4000×11%, 所以稿費范圍是(800,4000], 所以(x-800)×14%=420, 解得x=3800. 答案:3800 10.某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元,預測六月份銷售額為500萬元,七月份銷售額比六月份遞增x%,八月份銷售額比七月份遞增

8、x%,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元,則x的最小值是　　　　.? 解析:七月份的銷售額為500(1+x%),八月份的銷售額為500(1+x%)2, 則一月份到十月份的銷售總額是 3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根據(jù)題意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66, 令t=1+x%,則25t2+25t-66≥0, 解得t≥65或t≤-115(舍去), 故1+x%≥65, 解得x≥20.故x的最小值為20. 答案

9、:20 三、解答題 11.(20xx珠海模擬)某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當t∈[14,40]時,曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳. (1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式. (2)老師在什么時段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳?請說明理由. 解:(1)t∈(0,14]時, 設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將(14,81)代

10、入得c=-14, t∈(0,14]時,p=f(t)=-14(t-12)2+82;t∈[14,40]時,將(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=13, 所以p=f(t)=-14(t-12)2+82,t∈(0,14],log13(t-5)+83,t∈(14,40]. (2)t∈(0,14]時,由-14(t-12)2+82≥80, 解得12-22≤t≤12+22, 所以t∈[12-22,14], t∈(14,40]時,由log13(t-5)+83≥80,解得5

11、排核心內(nèi)容能使得學生聽課效果最佳. 12.某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y=x25-48x+8000,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸. (1)求年產(chǎn)量為多少噸時,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元,那么當年產(chǎn)量為多少噸時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少? 解:(1)每噸平均成本為yx(萬元). 則yx=x5+8000x-48≥2x5·8000x-48=32, 當且僅當x5=8000x,即x=200時取等號. ∴年產(chǎn)量為200噸時,每噸平均成本最低

12、為32萬元. (2)設(shè)年獲得總利潤為R(x)萬元, 則R(x)=40x-y=40x-x25+48x-8000 =-x25+88x-8000 =-15(x-220)2+1680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù), ∴x=210時, R(x)有最大值為-15(210-220)2+1680=1660. ∴年產(chǎn)量為210噸時,可獲得最大利潤1660萬元. 能力提升 13.某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克,如圖所示為函數(shù)y=f(x)的圖象,當血液中藥物殘留量不小于240毫克時,治療有效.設(shè)某人上午8:00第一次服藥,為保證療效,則第二次服藥最遲的時間

13、應(yīng)為(　C　) (A)上午10:00 (B)中午12:00 (C)下午4:00 (D)下午6:00 解析:當x∈[0,4]時,設(shè)y=k1x, 把(4,320)代入,得k1=80, ∴y=80x. 當x∈[4,20]時,設(shè)y=k2x+b. 把(4,320),(20,0)代入得4k2+b=320,20k2+b=0. 解得k2=-20,b=400. ∴y=400-20x. ∴y=f(x)=80x,　　　　0≤x≤4,400-20x,4

14、≤8. 故第二次服藥最遲應(yīng)在當日下午4:00.故選C. 14.某商品在最近100天內(nèi)的單價f(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是f(t)=t4+22,0≤t<40,t∈N,-t2+52,40≤t≤100,t∈N,日銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-t3+1093(0≤t≤100,t∈N).則這種商品的日銷售額的最大值為　　　　.? 解析:由已知銷售價 f(t)=t4+22,0≤t<40,t∈N,-t2+52,40≤t≤100,t∈N, 銷售量g(t)=-t3+1093(0≤t≤100,t∈N). ∴日銷售額為s(t)=f(t)g(t), 當0≤t<40時, s(t)=(t4+

15、22)(-13t+1093) =-112t2+7t4+23983 此函數(shù)的對稱軸為x=212, 又t∈N,最大值為s(10)=s(11)=16172=808.5; 當40≤t≤100時, s(t)=(-t2+52)(-13t+1093) =16t2-213t6+56683, 此時函數(shù)的對稱軸為x=2132>100,最大值為s(40)=736. 綜上,這種商品日銷售額s(t)的最大值為808.5. 答案:808.5 15.設(shè)某旅游景點每天的固定成本為500元,門票每張為30元,變動成本與購票進入旅游景點的人數(shù)的算術(shù)平方根成正比.一天購票人數(shù)為25時,該旅游景點收支平衡;一天購

16、票人數(shù)超過100時,該旅游景點需另交保險費200元.設(shè)每天的購票人數(shù)為x,盈利額為y元. (1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系; (2)該旅游景點希望在人數(shù)達到20人時就不出現(xiàn)虧損,若用提高門票價格的措施,則每張門票至少要多少元(取整數(shù))?(參考數(shù)據(jù): 2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24) 解:(1)根據(jù)題意,當購票人數(shù)不多于100時,可設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為 y=30x-500-kx(k為常數(shù),k∈R且k≠0). ∵人數(shù)為25時,該旅游景點收支平衡, ∴30×25-500-k25=0,解得k=50. ∴y=30x-50x-500(x∈N*,x≤100),30x-50x-700(

17、x∈N*,x>100). (2)設(shè)每張門票價格提高為m元,根據(jù)題意,得m×20-5020-500≥0, ∴m≥25+55≈36.2,故每張門票最少要37元. 探究創(chuàng)新 16.某地近年來持續(xù)干旱,為倡導節(jié)約用水,該地采用了“階梯水價”計費方法,具體方法:每戶每月用水量不超過4噸的每噸2元;超過4噸而不超過6噸的,超出4噸的部分每噸4元;超過6噸的,超出6噸的部分每噸6元. (1)寫出每戶每月用水量x(噸)與支付費用y(元)的函數(shù)關(guān)系; (2)該地一家庭記錄了去年12個月的月用水量(x∈N*)如表: 月用水量x(噸) 3 4 5 6 7 頻數(shù) 1 3 3 3 2

18、 請你計算該家庭去年支付水費的月平均費用(精確到1元); (3)今年干旱形勢仍然嚴峻,該地政府號召市民節(jié)約用水,如果每個月水費不超過12元的家庭稱為“節(jié)約用水家庭”,隨機抽取了該地100戶的月用水量作出如下統(tǒng)計表: 月用水量x(噸) 1 2 3 4 5 6 7 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 據(jù)此估計該地“節(jié)約用水家庭”的比例. 解:(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 y=2x,0≤x≤4,4x-8,46. (2)由(1)知:當x=3時,y=6; 當x=4時,y=8;當x=5時,y=12; 當x=6時,y=16;當x=7時,y=22. 所以該家庭去年支付水費的月平均費用為 112(6×1+8×3+12×3+16×3+22×2)≈13(元). (3)由(1)和題意知:當y≤12時,x≤5, 所以“節(jié)約用水家庭”的頻率為77100=77%,據(jù)此估計該地“節(jié)約用水家庭”的比例為77%.