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1、 第56練 向量法求解立體幾何問題 訓(xùn)練目標(biāo) 會用空間向量解決立體幾何的證明、求空間角、求距離問題． 訓(xùn)練題型 (1)用空間向量證明平行與垂直；(2)用空間向量求空間角；(3)求長度與距離． 解題策略 (1)選擇適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示直線的方向向量及平面的法向量；(3)理解并記住用向量表示的空間角和距離的求解公式； (4)探索性問題，可利用共線關(guān)系設(shè)變量，引入?yún)?shù)，列方程求解. 1.(20xx·吉林實驗中學(xué)質(zhì)檢)如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB＝BP＝2，AD＝AE＝1，AE⊥AB，且A

2、E∥BP. (1)設(shè)點M為棱PD的中點，求證：EM∥平面ABCD； (2)線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值為？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由． 2．(20xx·上饒月考)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 3.(20xx·南昌月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝9

3、0°，D為AC的中點，AB⊥B1D. (1)求證：平面ABB1A1⊥平面ABC； (2)在線段CC1(不含端點)上，是否存在點E，使得二面角E－B1D－B的余弦值為－？若存在，求出的值；若不存在，說明理由． 4．(20xx·太原質(zhì)檢)如圖所示，該幾何體是由一個直三棱柱ADE－BCF和一個正四棱錐P－ABCD組合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2. (1)證明：平面PAD⊥平面ABFE； (2)求正四棱錐P－ABCD的高h(yuǎn)，使得二面角C－AF－P的余弦值是.  答案精析 1．(1)證明　

4、因為平面ABCD⊥平面ABPE，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABPE，所以BA，BP，BC兩兩垂直．以B為原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正 方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)， 所以＝. 易知平面ABCD的一個法向量為n＝(0,1,0)， 所以·n＝·(0,1,0)＝0，所以⊥n. 又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD. (2)解　當(dāng)點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為. 理由如下：因為＝(2，－2,1)，＝(2,0,0)，設(shè)平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1

5、，z1)， 由得 取y1＝1，得平面PCD的一個法向量為n1＝(0,1,2)． 假設(shè)線段PD上存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值為. 設(shè)＝λ(0≤λ≤1)， 則＝λ(2，－2,1)＝(2λ，－2λ，λ)， ＝＋＝(2λ，2－2λ，λ)． 所以sin α＝|cos〈，n1〉|＝＝＝＝. 所以9λ2－8λ＋4＝5，解得λ＝1或λ＝－(舍去)． 因此，線段PD上存在一點N，當(dāng)N點與D點重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為. 2．證明　(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AC∩BD＝N，連接NE， 則點N，E的坐標(biāo)分別為(，，0)，(0,0,1

6、)． 所以＝(－，－，1)． 又點A，M的坐標(biāo)分別是(，，0)，(，，1)， 所以＝(－，－，1)． 所以＝，且NE與AM不共線． 所以NE∥AM.又因為NE?平面BDE，AM?平面BDE， 所以AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝(－，－，1)， 因為D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)， 所以＝(0，，1)． 所以·＝0，所以⊥， 所以AM⊥DF，同理AM⊥BF， 又DF∩BF＝F，DF?平面BDF， BF?平面BDF， 所以AM⊥平面BDF. 3．(1)證明　取AB的中點O，連接OD，OB1.因為B1B＝B1A，所以O(shè)B1⊥AB. 又AB⊥B1D，OB1∩B1D

7、＝B1，OB1?平面B1OD，B1D?平面B1OD， 所以AB⊥平面B1OD， 因為OD?平面B1OD，所以AB⊥OD. 由已知條件知，BC⊥BB1， 又OD∥BC，所以O(shè)D⊥BB1. 因為AB∩BB1＝B，AB?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1， 所以O(shè)D⊥平面ABB1A1. 因為OD?平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC. (2)解　由(1)知OB，OD，OB1兩兩垂直，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，||為單位長度1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接B1C. 由題設(shè)知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,

8、0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)， ∴＝(0,1，－)，＝(1,0，－)，＝(－1,0，)， ＝(1,2，－)，設(shè)＝λ(0<λ<1)， 由＝＋＝(1－λ，2，(λ－1))，設(shè)平面BB1D的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則得 令z1＝1，則x1＝y(tǒng)1＝， 所以平面BB1D的法向量為m＝(，，1)． 設(shè)平面B1DE的法向量為n＝(x2，y2，z2)，則 得 令z2＝1，則x2＝，y2＝， 所以平面B1DE的一個法向量n＝(，，1)． 設(shè)二面角E－B1D－B的大小為θ， 則cosθ＝＝＝－. 解得λ＝. 所以在線段CC1上存在點E，使得二

9、面角E－B1D－B的余弦值為－，此時＝. 4．(1)證明　在直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，AD?平面ADE，所以AB⊥AD. 又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AD∩AF＝A，AB?平面ABFE，AF?平面ABFE， 所以AD⊥平面ABFE. 因為AD?平面PAD， 所以平面PAD⊥平面ABFE. (2)解　由(1)知AD⊥平面ABFE，以A為原點，AB，AE，AD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)h為點P到平面ABCD的距離． 則A(0,0,0)，F(xiàn)(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h(huán),1)，＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(1，－h(huán),1)． 設(shè)平面AFC的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則 取x1＝1，則y1＝z1＝－1， 所以m＝(1，－1，－1)． 設(shè)平面AFP的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則 取x2＝1，則y2＝－1，z2＝－1－h(huán)， 所以n＝(1，－1，－1－h(huán))． 因為二面角C－AF－P的余弦值為， 所以|cos〈m，n〉|＝＝＝， 解得h＝1.