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1、 1

2、 1 學(xué)案11　函數(shù)與方程 導(dǎo)學(xué)目標： 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值． 自主梳理 1．函數(shù)零點的定義 (1)對于函數(shù)y＝f(x) (x∈D)，把使________成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x) (x∈D)的零點． (2)方程f(x)＝0有實根?函數(shù)

3、y＝f(x)的圖象與____有交點?函數(shù)y＝f(x)有________． 2．函數(shù)零點的判定 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有____________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得________，這個____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點存在性定理． 3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點的關(guān)系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 與x軸的交點 ________， ________ ____

4、____ 無交點 零點個數(shù) ________ ________ ________ 4.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟 第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗證________________，給定精確度ε； 第二步，求區(qū)間(a，b)的中點c； 第三步，計算______： ①若________，則c就是函數(shù)的零點； ②若________，則令b＝c[此時零點x0∈(a，c)]； ③若________，則令a＝c[此時零點x0∈(c，b)]； 第四步，判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步． 自我檢測 1．(20x

5、x·福建)f(x)＝的零點個數(shù)為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點 (　　) A．至少有一個 B．至多有一個 C．有且只有一個 D．可能有無數(shù)個 3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 4．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根

6、所在的區(qū)間是 (　　) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能確定 5．(20xx·福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點與g(x)＝4x＋2x－2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是 (　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－0.5) 探究點一　函數(shù)零點的判斷 例1　判斷函數(shù)y＝ln x＋2x－6的零點個數(shù)． 變式遷移1　(20xx·煙臺模擬)若定義在R上的偶函

7、數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點個數(shù)是 (　　) A．多于4個 B．4個 C．3個 D．2個 探究點二　用二分法求方程的近似解 例2　求方程2x3＋3x－3＝0的一個近似解(精確度0.1)． 變式遷移2　(20xx·淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋ln的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)<0，>0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應(yīng)計算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為 (　　) A.　

8、 B．(0,1)　f C.　 D.　 探究點三　利用函數(shù)的零點確定參數(shù) 例3　已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求a的取值范圍． 變式遷移3　若函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍． 1．全面認識深刻理解函數(shù)零點： (1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實數(shù)x； (2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標； (3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點； (

9、4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點． 2．求函數(shù)y＝f(x)的零點的方法： (1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點； (3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點的近似值，二分法的條件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點． 3．有關(guān)函數(shù)零點的重要結(jié)論： (1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點； (2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個

10、零點之間的所有函數(shù)值保持同號； (3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx·天津)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是 (　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 2．(20xx·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－x，若實數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0

11、D．不小于零 3．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是 (　　) 4．函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個零點x1、x2，且x12，x2>5 C．x1<2，x2>5 D．25 5．(20xx·廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)是 (　　) A．4 B．3 C．2 D．1 題號 1 2 3 4 5 答案

12、 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x>0時，f(x)＝2 006x＋log2 006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為________． 7．(20xx·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________． 8．(2009·山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋＋.

13、 證明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0. 10．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0，求實數(shù)p的取值范圍． 11．(14分)(20xx·杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a>2c>2b，求證： (1)a>0且－3<<－； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點； (3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則≤|x1－x2|<. 答案 自主梳理 1．(1)f(x)＝0　(2)x軸　零點　2.f(a

14、)·f(b)<0　(a，b) f(c)＝0　c　3.(x1,0)　(x2,0)　(x1,0)　兩個　一個 無　4.f(a)·f(b)<0　f(c)?、賔(c)＝0　②f(a)·f(c)<0?、踗(c)·f(b)<0 自我檢測 1．C　[當x≤0時，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3； 當x>0時，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 所以已知函數(shù)有兩個零點．] 2．B　3.B　4.B　5.A 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　判斷函數(shù)零點個數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，解出方程有幾個根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個零點，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一

15、是基本方法，是利用零點的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧． 解　方法一　設(shè)f(x)＝ln x＋2x－6， ∵y＝ln x和y＝2x－6均為增函數(shù)， ∴f(x)也是增函數(shù)． 又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(x)在(1,3)上存在零點．又f(x)為增函數(shù)， ∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點． 方法二　在同一坐標系畫出y＝ln x與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數(shù)y＝ln x＋2x－6只有一個零點． 變式遷移1　B　[由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)－log

16、3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右 邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個交點，因此零點個數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個．] 例2　解題導(dǎo)引　①用二分法求函數(shù)的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得的各個區(qū)間、中點坐標、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程； ②在確定方程近似解所在的區(qū)間時，轉(zhuǎn)化為求方程對應(yīng)函數(shù)的零點所在的區(qū)間，找出的區(qū)間[a，b]長度盡可能小，且滿足f(a)·f(b)<0； ③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精

17、確度ε，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，直到|a－b|<ε時，可停止計算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的任一實數(shù)，結(jié)果不唯一． 解　設(shè)f(x)＝2x3＋3x－3. 經(jīng)計算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0， 所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點， 即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解． 取(0,1)的中點0.5，經(jīng)計算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解， 如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表. (a，b) (a，b) 的中點 f (0,1) 0.5 f(0

18、.5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.687 5,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點0.687 5作為函數(shù)f(x)零點的近似值．因此0.687 5是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個近似解． 變式遷移2　D　[由于f(0)<0，f>0，而f(x)＝x3＋ln中的x3及l(fā)n在上是增函數(shù)，故

19、f(x)在上也是增函數(shù)， 故f(x)在上存在零點，所以x0∈， 第二次計算應(yīng)計算0和在數(shù)軸上對應(yīng)的中點 x1＝＝.] 例3　解　若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1，1]上沒有零點，所以a≠0. 令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0， 解得a＝. ①當a＝時，f(x)＝0的重根x＝∈[－1,1]， 當a＝時，f(x)＝0的重根x＝?[－1,1]， ∴y＝f(x)恰有一個零點在[－1,1]上； ②當f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0， 即1

20、則 ，或， 解得a≥5或a<. 綜上所述實數(shù)a的取值范圍是a>1或a≤. 變式遷移3　解　方法一　(換元) 設(shè)2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1 (t∈(0，＋∞))． 函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點，等價于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實數(shù)根． (1)當方程①有兩個正實根時， a應(yīng)滿足， 解得：－1

21、g(t)＝t2＋at＋a＋1 (t∈(0，＋∞))． (1)當函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在兩個零點時， 實數(shù)a應(yīng)滿足， 解得－10， 所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點．] 2．A 3．C　[能用二分法求零

22、點的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)．] 4．C 5．B　[當x≤1時，函數(shù)f(x)＝4x－4與g(x)＝log2x的圖象有兩個交點，可得h(x)有兩個零點，當x>1時，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個交點，可得函數(shù)h(x)有1個零點，∴函數(shù)h(x)共有3個零點．] 6．3 解析　函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝2 006x＋log2 006x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個零點．根據(jù)對稱性可

23、知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點的個數(shù)為3. 7．x11，所以x11 解析　設(shè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個零點，就是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與函數(shù)y＝x＋a有兩個交點，由

24、圖象可知當01時，因為函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象過點(0,1)，而直線y＝x＋a所過的點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是a>1. 9．證明　令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分) ∵g(0)＝，g()＝f()－＝－， ∴g(0)·g()<0.……………………………………………………………………………(8分) 又函數(shù)g(x)在(0，)上連續(xù)，…………………………………………………………(10分) 所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0. 即f(x0)＝x0.

25、………………………………………………………………………………(12分) 10．解　二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c， 使f(c)>0的否定是：對于區(qū)間[－1,1]內(nèi)的任意一個x都有f(x)≤0.……………………(4分) 此時，即，解得： p≥或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分) ∴二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)>0的實數(shù)p的取值范圍是 －3

26、＋2c＝0. 又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0， ∴a>0，b<0. 又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b， ∴3a>－3a－2b>2b. ∵a>0，∴－3<<－.……………………………………………………………………(4分) (2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c. ①當c>0時，∵a>0， ∴f(0)＝c>0且f(1)＝－<0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(7分) ②當c≤0時， ∵a>0， ∴f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個零點． 綜合①②得f(x)在(0,2)內(nèi)至少有一個零點．……………………………………………(10分) (3)∵x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根． ∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－. ∴|x1－x2|＝ ＝ ＝.(12分) ∵－3<<－， ∴≤|x1－x2|<.……………………………………………………………………(14分)