5、BC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：
①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D－ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是( )
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
解析：由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正確；由①知④錯．故選B.
答案：B
6．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱長為2，AC＝BC
6、＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點，F是BB1上的動點，AB1，DF交于點E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為( )
A. B．1
C. D．2
解析：設B1F＝x，
因為AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1＝，
矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝，
tan∠A1AB1＝＝.
又∠FDB1＝∠A1AB1，所以＝.
故B1F＝×＝.故選A.
答案：A
二、填空題
7．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，
7、平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可)．
解析：
連接AC，BD交于O，因為底面各邊相等，所以BD⊥AC；又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，
所以BD⊥PC.
所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，
所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)
8．(20xx·上饒質檢)已知m，n是兩條不相同的直線，α，β是兩個不重合的平面，現有以下說法：
①若α∥β，n?α，m?β，則m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，n⊥α，則n⊥β；
③若m⊥n，m⊥α
8、，n⊥β，則α⊥β；
④若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n；
⑤若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n.
其中正確說法的序號為________．
解析：對于①，注意到分別位于兩個平行平面內的兩條直線未必平行，可能是異面直線，因此①不正確；對于②，由定理“垂直于同一直線的兩個平面平行”得知α，β平行；由定理“若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面”得知，n⊥β，因此②正確；對于③，由定理“由空間一點向一個二面角的兩個半平面分別引垂線，則這兩條垂線所成的角與該二面角相等或互補”得知，③正確；對于④，分別平行兩個垂直平面的兩條直線未必垂直，因此④不正確；對于⑤，m與n有可能
9、平行，因此⑤不正確．綜上所述，其中正確的說法有②③.
答案：②③
9．(20xx·泉州模擬)點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，給出下列命題：
①三棱錐A－D1PC的體積不變；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正確的命題序號是________．
解析：連接BD交AC于點O，連接DC1交D1C于點O1，連接OO1，則OO1∥BC1，所以BC1∥平面AD1C，動點P到平面AD1C的距離不變，所以三棱錐P－AD1C的體積不變．
又因為VP－AD1C＝VA－D1PC，所以①正確．
因為平面A1C1B∥平面AD
10、1C，A1P?平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正確．
由于當點P在B點時，DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1，故③不正確；由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C.DB1?平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正確．
答案：①②④
三、解答題
10．如圖，幾何體EF－ABCD中，CDEF為邊長為2的正方形，ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.
(1)求證：AC⊥FB；
(2)求幾何體EF－ABCD的體積．
解：(1)證明：
由題意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且
11、DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.
∵四邊形CDEF為正方形，∴DC⊥FC，
∵DC∩AD＝D，∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥AC.
又∵四邊形ABCD為直角梯形，
AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，
∴AC＝2，BC＝2，則有AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩FC＝C，∴AC⊥平面FCB，
∴AC⊥FB.
(2)連接EC，過B作CD的垂線，垂足為N，
易知BN⊥平面CDEF，且BN＝2.
∵VEF－ABCD＝VE－ABCD＋VB－EFC＝S梯形ABCD·DE＋S△EFC·BN＝，
∴幾何體EF－ABCD的體積為.
11．如
12、圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.
(1)證明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E－ACD的體積為，求該三棱錐的側面積．
解：(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
又BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)設AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角
13、形，可得BE＝x.
由已知得，三棱錐E－ACD的體積
V三棱錐E－ACD＝×·AC·GD·BE
＝x3＝，故x＝2.
從而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為.
故三棱錐E－ACD的側面積為3＋2.
1．(20xx·蘭州質檢)如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E為CD的中點，M，N分別是AD，BE的中點，將三角形ADE沿AE折起，則下列說法正確的是________．(寫出所有正確說法的序號)
①不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MN∥平面DEC；
②不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有M
14、N⊥AE；
③不論D折至何位置(不在平面ABC內)，都有MN∥AB；
④在折起過程中，一定存在某個位置，使EC⊥AD.
解析：
由已知，在未折疊的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，
所以四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE＝AD，折疊后如圖所示．
①過點M作MP∥DE，交AE于點P，連接NP.
因為M，N分別是AD，BE的中點，
所以點P為AE的中點，故NP∥EC.
又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，
所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正確；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC.
所以AE⊥MP，AE⊥NP，
又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MN
15、P.
又MN?平面MNP，
所以MN⊥AE，②正確；
③假設MN∥AB，則MN與AB確定平面MNBA，從而BE?平面MNBA，AD?平面MNBA，與BE和AD是異面直線矛盾，③錯誤．
④當CE⊥ED時，CE⊥AD，這是因為由于CE⊥EA，EA∩ED＝E，所以CE⊥平面AED，AD?平面AED，得出EC⊥AD，④正確．
答案：①②④
2．如圖，四邊形ABCD為正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.
(1)求證：BC⊥AF；
(2)試判斷直線AF與平面EBC是否垂直. 若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．
解：(1)證明：因為EF∥AB，
16、所以EF與AB確定平面EABF，
因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.
由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，
所以BC⊥平面EABF.
又AF?平面EABF，所以BC⊥AF.
(2)直線AF垂直于平面EBC.
證明如下：由(1)可知，AF⊥BC.
在四邊形EABF中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝，則∠EBA＝∠FAE.
設AF∩BE＝P，因為∠PAE＋∠PAB＝90°，故∠PBA＋∠PAB＝90°.
則∠APB＝90°，即EB⊥AF.
又EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.
3．如圖，在三棱臺ABC－
17、DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)設平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請確定G點的位置；若不存在，請說明理由．
解：(1)證明：在三棱臺ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.
(2)線段BE上存在點G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：
取CE的中點O，連接FO并延長交BE于點G，連接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱臺ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，
∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.
?GF⊥平面CDE.
又GF?平面DFG，
∴平面DFG⊥平面CDE.
此時，如平面圖所示，
∵O為CE的中點，EF＝CF＝2BC，
由平面幾何知識易證△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝EF.
由△HGB∽△FGE可知＝，
即BG＝BE.
新版高考數學文復習檢測：第七章 立體幾何 課時作業(yè)46 Word版含答案
