《新版與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練:第六章 數(shù)列 課時跟蹤訓練33 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版與名師對話高三數(shù)學文一輪復習課時跟蹤訓練:第六章 數(shù)列 課時跟蹤訓練33 Word版含解析(10頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
1
2、 1
課時跟蹤訓練(三十三)
[基礎鞏固]
一、選擇題
1.(20xx·湖南師大附中月考)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足a1,a3,a4成等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則的值為( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
[解析] 設等差數(shù)列的公差為d,首項為a1,所以a3=a1+2d,a4=a1+3d.
因為a1、a3、a4成等比數(shù)列,
所以
3、(a1+2d)2=a1(a1+3d),解得:a1=-4d.
所以==2,故選A.
[答案] A
2.(20xx·河南百校聯(lián)盟質量監(jiān)測)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S5=-20,則-6a4+3a5=( )
A.-20 B.4 C.12 D.20
[解析] 設{an}的公差為d,∵S5==-20,∴a1+a5=-8,∴a3=-4.又-6a4+3a5=-6(a3+d)+3(a3+2d)=-3a3=12.選C.
[答案] C
3.已知等比數(shù)列{an}的首項為1,若4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,則數(shù)列的前5項和為( )
A. B.2 C. D.
[解析] 設
4、數(shù)列{an}的公比為q,則有4+q2=2×2q,解得q=2,所以an=2n-1.
=,所以S5==.故選A.
[答案] A
4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=tan225°,a5=13a1,設Sn為數(shù)列{(-1)nan}的前n項和,則S20xx=( )
A.20xx B.-20xx C.3027 D.-3027
[解析] 由題意得a1=1,a5=13,∵{an}是等差數(shù)列,∴公差d=3,∴an=3n-2,∴S20xx=-1+4-7+10-13+17+…-6049+6052=3×=3027,選C.
[答案] C
5.(20xx·安徽安慶模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+2
5、=-an(n∈N+),且a1=1,a2=2,則數(shù)列{an}的前20xx項的和為( )
A.2 B.-3 C.3 D.1
[解析] ∵an+2=-an=-(-an-2)=an-2,n>2,∴數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列.S20xx=504(a1+a2+a3+a4)+a20xx=504(a1+a2-a1-a2)+a504×4+1=a1=1.故選D.
[答案] D
6.+++…+的值為( )
A. B.-
C.- D.--
[解析] 因為===
所以原式=
=
=-,故選C.
[答案] C
二、填空題
7.若數(shù)列{an}的通項公式為an=,前n項和
6、為Sn,則S16=________.
[解析] 由an==,
得S16=(-1+-+-+…+-+-)=(+--1)=.
[答案]
8.數(shù)列{an}滿足an+an+1=(n∈N*),且a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S21=________.
[解析] 依題意得an+an+1=an+1+an+2=,則an+2=an,即數(shù)列{an}中的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別相等,則a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)+a21=10(a1+a2)+a21=10×+1=6.
[答案] 6
9.(20xx·陜西西安期中)如果數(shù)列{an}的前n項之和為Sn
7、=3+2n,那么a+a+a+…+a=________.
[解析] ∵Sn=3+2n,∴Sn-1=3+2n-1(n≥2),∴an=2n-2n-1=2n-1,∴a=4n-1,n=1時a1=S1=5,
∴當n≥2時,a+a+a+…+a=25+=;
當n=1時a=25也適合上式,故a+…+a=.
[答案]
三、解答題
10.(20xx·全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
[解] (1)因為a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故當n≥2時,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(
8、n-1).
兩式相減得(2n-1)an=2,所以an=(n≥2).
又由題設可得a1=2也適合,從而{an}的通項公式為an=.
(2)記的前n項和為Sn.
由(1)知==-.
則Sn=-+-+…+-=.
[能力提升]
11.若an>0,Sn=a1+a2+…+an,且2Sn=an+(n∈N*),則S20xx=( )
A.20xx+ B.20xx-
C.20xx D.
[解析] 令n=1,則2S1=a1+,所以a1=1,S1=1;令n=2,則2(a1+a2)=a2+,所以a2=-1,S2=;令n=3,則2(+a3)=a3+,解得a3=-,S3=;依此類推,a20xx
9、=-,S20xx=.故選D.
[答案] D
12.(20xx·全國卷Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20,接下來的兩項是20,21,再接下來的三項是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
[解析] 設第一項為第1組,接下來的兩項為第
10、2組,再接下來的三項為第3組,依此類推,則第n組的項數(shù)為n,前n組的項數(shù)和為.由題意可知,N>100,令>100,所以n≥14,n∈N*,即N出現(xiàn)在第13組之后.易得第n組的所有項的和為=2n-1,前n組的所有項的和為-n=2n+1-n-2.設滿足條件的N在第k+1(k∈N*,k≥13)組,且第N項為第k+1組的第t(t∈N*)個數(shù),第k+1組的前t項的和2t-1應與-2-k互為相反數(shù),即2t-1=k+2,所以2t=k+3,所以t=log2(k+3),所以當t=4,k=13時,N=+4=95<100,不滿足題意,當t=5,k=29時,N=+5=440,當t>5時,N>440,故選A.
[答案
11、] A
13.(20xx·安徽馬鞍山期中)設數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n(2n-1)·cos+1(n∈N*),其前n項和為Sn,則S120=( )
A.-60 B.-120 C.180 D.240
[解析] 由an=(-1)n(2n-1)cos+1,得
a1=-cos+1=1,a2=3cosπ+1=-2,
a3=-5cos+1=1,a4=7cos2π+1=8,
a5=-9cos+1=1,a6=11cos3π+1=-10,
a7=-13cos+1=1,a8=15cos4π+1=16,
…
由上可知,數(shù)列{an}的奇數(shù)項為1,每兩個偶數(shù)項的和為6,∴S120=
12、(a1+a3+…+a119)+(a2+a4+…+a58+a120)=60+30×6=240.故選D.
[答案] D
14.(20xx·河北邯鄲質量檢測)在公差大于1的等差數(shù)列{an}中,已知a=64,a2+a5+a8=36,則數(shù)列{|an|}的前20項和為________.
[解析] ∵a2+a5+a8=3a5=36,∴a5=12,∵a=64,∴a1=±8.
當a1=8,d=1,不合題意.
當a1=-8,d=5>1,∴an=5n-13.
故數(shù)列{|an|}的前20項和為8+3+2+=812.
[答案] 812
15.(20xx·廣東珠海模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差
13、為d,n∈N*,且不等式ax2-3x+2<0的解集為(1,d).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)若bn=3an+an-1,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析] (1)易知a≠0,由題設可知
解得
故數(shù)列{an}的通項公式為an=1+(n-1)·2=2n-1.
(2)由(1)知bn=32n-1+2n-1-1,
則Tn=(3+1)+(33+3)+…+(32n-1+2n-1)-n
=(31+33+…+32n-1)+(1+3+…+2n-1)-n
=+-n
=(9n-1)+n2-n.
16.(20xx·山東棗莊期末質量檢測)已知Sn為各項均為正數(shù)的數(shù)列{
14、an}的前n項和,a1∈(0,2),a+3an+2=6Sn.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,若對?n∈N*,t≤4Tn恒成立,求實數(shù)t的最大值.
[解] (1)當n=1時,由a+3an+2=6Sn,得a+3a1+2=6a1,即a-3a1+2=0.
又a1∈(0,2),解得a1=1.
由a+3an+2=6Sn,可知a+3an+1+2=6Sn+1.
兩式相減,得a-a+3(an+1-an)=6an+1,
即(an+1+an)(an+1-an-3)=0.由于an>0,可得an+1-an-3=0.即an+1-an=3,所以{an}是首項為1,
15、公差為3的等差數(shù)列.
所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由an=3n-2,可得
bn===,Tn=b1+b2+…+bn
=
=.
因為Tn+1-Tn=-=>0,
所以Tn+1>Tn,所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列.
所以t≤4Tn?≤Tn?≤T1=?t≤1,
所以實數(shù)t的最大值是1.
[延伸拓展]
下面的圖形無限向內延續(xù),最外面的正方形的邊長是2,從外到內,第n個正方形與其內切圓之間的深色圖形面積記為Sn(n∈N*).
(1)證明:Sn=2Sn+1(n∈N*);
(2)證明:S1+S2+…+Sn<8-2π.
[證明] (1)設第n(n∈N*)個正方形的邊長為an,則其內切圓半徑為,第n+1個正方形的邊長為an,其內切圓半徑為an,所以Sn=a-π2=a(n∈N*),Sn+1=2-π2=a=Sn(n∈N*).所以Sn=2Sn+1(n∈N*).
(2)由(1)可知,S1=22×=4-π,S2=2-,…,Sn=
(4-π)n-1,所以Tn=S1+S2+…+Sn=(4-
π)×=(4-π)×=(8-2π)<8-2π.