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新編三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國(guó)通用

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1、第六節(jié)第六節(jié)空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試三年模擬精選一、選擇題1(20 xx長(zhǎng)沙模擬)有以下命題:如果向量a a,b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,那么a a,b b的關(guān)系是不共線;O,A,B,C為空間四點(diǎn),且向量OA,OB,OC不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)O,A,B,C一定共面;已知向量a a,b b,c c是空間的一個(gè)基底,則向量a ab b,a ab b,c c也是空間的一個(gè)基底其中正確的命題是()ABCD解析對(duì)于, “如果向量a a,b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,那么a a,b b的關(guān)系一定是共線”,所以錯(cuò)誤,正確答案C2(20 xx莆田模擬)

2、已知a a(2,1,3),b b(1,4,2),c c(7,5,),若a a,b b,c c三向量共面,則實(shí)數(shù)等于()A.627B.637C.607D.657解析由題意得c cta ab b(2t,t4,3t2),72t,5t4,3t2,解得t337,177,657.答案D3(20 xx長(zhǎng)春模擬)已知點(diǎn)B是點(diǎn)A(3,7,4)在xOz平面上的射影,則OB2等于()A(9,0,16)B25C5D13解析A在xOz平面上的射影為B(3,0,4),則OB(3,0,4),OB225.答案B4(20 xx青島調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1,點(diǎn)M在AC1上,且AM12MC1,N為B1B的中

3、點(diǎn),則|MN|為()A.216B.66C.156D.153解析如圖,設(shè)ABa a,ADb b,AA1c c,則a ab bb bc cc ca a0.由條件知MNMAABBN13(a ab bc c)a a12c c23a a13b b16c c,MN249a a219b b2136c c22136,|MN|216.答案A二、填空題5 (20 xx壽光模擬)已知a a(1t, 1t,t),b b(2,t,t), 則|b ba a|的最小值為_(kāi)解析b ba a(1t,2t1,0),|b ba a| (1t)2(2t1)25(t15)295,當(dāng)t15時(shí),|b ba a|取得最小值為3 55.答案3

4、 55一年創(chuàng)新演練6.如圖所示,已知空間四邊形OABC,OBOC,且AOBAOC3,則 cosOA,BC的值為()A0B.12C.32D.22解析設(shè)OAa a,OBb b,OCc c,由已知條件a a,b ba a,c c3,且|b b|c c|,OABCa a(c cb b)a ac ca ab b12|a a|c c|12|a a|b b|0,cosOA,BC0.答案A7.直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D,E分別為AB,BB的中點(diǎn)(1)求證:CEAD;(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值(1)證明設(shè)CAa a,CBb b,CCc c,根據(jù)題意,|a a|b b|c

5、c|,且a ab bb bc cc ca a0,CEb b12c c,ADc c12b b12a a.CEAD12c c212b b20.CEAD,即CEAD.(2)解ACa ac c,|AC| 2|a a|,|CE|52|a a|.ACCE(a ac c)(b b12c c)12c c212|a a|2,cosAC,CE12|a a|2252|a a|21010.即異面直線CE與AC所成角的余弦值為1010.B 組專項(xiàng)提升測(cè)試三年模擬精選一、選擇題8(20 xx福州模擬)若兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3cos,3sin,1),B(2cos,2sin,1),則|AB|的取值范圍是()A0,5B1,5C(0

6、,5)D1,25解析A(3cos,3sin,1),B(2cos,2sin,1),|AB|(3cos2cos)2(3sin2sin)2(11)2 9412(coscossinsin) 1312cos(), 1312|AB| 255,即 1|AB|5,故選 B.答案B二、填空題9(20 xx??谀M)已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)則以AB,AC為邊的平行四邊形的面積為_(kāi)解析由題意可得:AB(2,1,3),AC(1,3,2),cosAB,ACABAC|AB|AC|23614 1471412.sinAB,AC32.以AB,AC為邊的平行四邊形的面積S212|AB|AC

7、|sinAB,AC14327 3.答案7 3三、解答題10.(20 xx河南商丘模擬)如圖, 在三棱柱ABCA1B1C1中, 已知AB側(cè)面BB1C1C,ABBC1,BB12,BCC160.(1)求證:C1B平面ABC;(2)設(shè)CECC1(01),且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為 30,試求的值(1)證明因?yàn)锳B平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,所以ABBC1,在CBC1中,BC1,CC1BB12,BCC160,由余弦定理得:BC21BC2CC212BCCC1cosBCC11222212cos 603,所以BC1 3,故BC2BC21CC21,所以BCBC1,又BCABB,

8、C1B平面ABC.(2)解由(1)可知,AB,BC,BC1兩兩垂直以B為原點(diǎn),BC,BA,BC1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),C1(0,0, 3),B1(1,0, 3)所以CC1(1,0, 3), 所以CE(,0, 3),E(1,0, 3),則AE(1,1, 3),AB1(1,1, 3)設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n n(x,y,z),則n nAE,n nAB1,得(1)xy 3z0,xy 3z0,令z 3,則x332,y32,n n332,32, 3,AB平面BB1C1C,BA(0,1,0)是平面的一個(gè)法向量,|cosn n

9、,BA|n nBA|n n|BA|3213322322( 3)232.兩邊平方并化簡(jiǎn)得 22530,所以1 或32(舍去)1.11(20 xx山東青島一模)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的的菱形, BAD60, 四邊形BDEF是矩形, 平面BDEF平面ABCD,BF3,G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)(1)求證:平面BDGH平面AEF;(2)求二面角HBDC的大小(1)證明在CEF中,因?yàn)镚,H分別是CE,CF的中點(diǎn)所以GHEF,又因?yàn)镚H 平面AEF,EF平面AEF,所以GH平面AEF.設(shè)ACBDO,連接OH,因?yàn)锳BCD為菱形,所以O(shè)為AC中點(diǎn),在ACF中,因?yàn)镺AO

10、C,CHHF,所以O(shè)HAF,又因?yàn)镺H 平面AEF,AF平面AEF,所以O(shè)H平面AEF.又因?yàn)镺HGHH,OH,GH平面BDGH,所以平面BDGH平面AEF.(2)解取EF的中點(diǎn)N,連接ON,因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形,O,N分別為BD,EF的中點(diǎn),所以O(shè)NED,因?yàn)槠矫鍮DEF平面ABCD,所以ED平面ABCD,所以O(shè)N平面ABCD,因?yàn)锳BCD為菱形,所以ACBD,得OB,OC,ON兩兩垂直所以以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,ON所在直線分別為x軸,y軸,z軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為 2 的菱形,BAD60,BF3,所以B(1,0,0),D(1,0,0),E(1,0,3),F(xiàn)

11、(1,0,3),C(0, 3,0),H12,32,32 ,所以BH12,32,32 ,DB(2,0,0)設(shè)平面BDH的法向量為n n(x,y,z),則n nBH0n nDB0 x 3y3z0,2x0,令z1,得n n(0, 3,1)由ED平面ABCD,得平面BCD的法向量為DE(0,0,3),則 cosn n,DEn nDE|n|n|DE|00( 3)0132312.所以二面角HBDC的大小為 60.一年創(chuàng)新演練12如圖,在直角梯形ABCP中,APBC,APAB,ABBC12AP2,D是AP的中點(diǎn),E,F(xiàn),G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn)將PCD沿CD折起,使得PD平面ABCD.(1)求證:平面

12、PCD平面PAD;(2)求二面角GEFD的大??;(3)求三棱錐DPAB的體積(1)證明PD平面ABCD.CD平面ABCD,PDCD.又ABBC12APAD,APAB,四邊形ABCD為正方形,CDAD.又PDADD,CD平面PAD.CD平面PCD,平面PCD平面PAD.(2)解如圖,以D為原點(diǎn),分別以DC,DA,DP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則G(2,1,0),E(1,0,1),F(xiàn)(0,0,1),EF(1,0,0),EG(1,1,1)設(shè)平面EFG的法向量為n n(x,y,z),n nEF0,n nEG0,即x0,xyz0,x0,yz.取n n(0,1,1)取平面PCD的一個(gè)法

13、向量DA(0,1,0),cosDA,n nDAn n|DA|n n|1222.結(jié)合圖知二面角GEFD的大小為 45.(3)解三棱錐DPAB的體積VDPABVPDAB13SABDPD131222243.13.如圖, 平面PAC平面ABC, ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F(xiàn),O分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),AC16,PAPC10.(1)設(shè)G是OC的中點(diǎn),證明:FG平面BOE;(2)證明:在ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M,使FM平面BOE,并求點(diǎn)M到OA,OB的距離證明(1)如圖,連接OP,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B,OC,OP所在直線為x軸,y軸,x軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則O(0,0,

14、0),A(0,8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,4,3),F(xiàn)(4,0,3)由題意,得G(0,4,0)因?yàn)镺B(8,0,0),OE(0,4,3),所以平面BOE的一個(gè)法向量為n n(0,3,4)由FG(4,4,3),得n nFG0,又直線FG不在平面BOE內(nèi),所以FG平面BOE.(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0,0),則FM(x04,y0,3)因?yàn)镕M平面BOE,所以FMn n.因此x04,y094,即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4,94,0)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組x0,y0,xy8.經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組,所以在AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M,使FM平面BOE.由點(diǎn) M 的坐標(biāo)得點(diǎn) M 到 OA,OB 的距離分別為 4,94.

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