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1、 第50練 表面積與體積 訓練目標 (1)會利用幾何體的表面積、體積公式求幾何體的表面積、體積；(2)能通過幾何體的三視圖還原幾何體，求面積、體積． 訓練題型 (1)求簡單幾何體的表面積、體積；(2)求簡單的組合體的表面積、體積；(3)通過三視圖還原幾何體求幾何體的面積、體積． 解題策略 由三視圖求面積、體積關鍵在于還原幾何體，球的問題關鍵在確定球半徑，不規(guī)則幾何體可通過分割、補形轉化為規(guī)則幾何體求面積、體積. 一、選擇題 1．在體積為的三棱錐S－ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，SA＝SC，且平面SAC⊥平面ABC，若該三棱錐的四個頂點都在同一球面上

2、，則該球的體積是(　　) A. B. C. D．12π 2．如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該空間幾何體的表面積是(　　) A．(8＋2)π B．(9＋2)π C．(10＋2)π D．(8＋2)π 3．(20xx·山西四校聯考)如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是(　　) A．5＋ B．5＋2 C．4＋2 D．4＋2 4．(20xx·唐山模擬)若正三棱錐的高和底面邊長都等于6，則其外接球的表面積為(　　) A．64π B．32π C．16π D．8π 5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．16＋8π B

3、．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 6.如圖，已知正三角形ABC三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面面積的最小值是(　　) A.π B．2π C.π D．3π 7．某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A．72 cm3 B．98 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3 8．如圖，在棱長為1的正四面體S－ABC中，O是四面體的中心，平面PQR∥平面ABC，設SP＝x(0≤x≤1)，三棱錐O－PQR的體積為V＝f(x)，其導函數y＝f′(x)的

4、圖象大致為(　　) 二、填空題 9．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點，設三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝________. 10．(20xx·九江模擬)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，過點D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐E－ABCD的體積為________． 11．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則三棱錐A－B1D1D的體積為________ cm3. 12．已知球O的

5、直徑PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三點，△ABC是等邊三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，則三棱錐P－ABC的體積為________． 答案精析 1．B　[如圖，設球心為O，半徑為R，取AC中點為M，連接SM，依據圖形的對稱性，點O必在SM上，由題設可知××2×2×SM＝，解得SM＝2，連接OC，則在Rt△OMC中，R2＝(2－R)2＋2，解得R＝，則V＝×()3＝，故應選B.] 2．A　[從三視圖所提供的圖形信息和數據信息可知該幾何體是一個圓錐和一個圓柱的組合體．圓柱的底面面積為π，側面積為2π×1×2＝4π，圓錐的底面積為4π，由于其母線長為，因此其側面面積為

6、×2π×2×＝2π，故該幾何體的表面積S＝2π＋4π＋4π－π＋π＝(2＋8)π，故選A.] 3.A　[該幾何體的直觀圖如圖．表面積S＝1×1＋×1×1×2＋2××(1＋2)×1＋××＝5＋，所以選A.] 4．A　[如圖，作PM⊥平面ABC于點M，則球心O在PM上，PM＝6，連接AM，AO，則OP＝OA＝R(R為外接球半徑)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC為等邊三角形，故AM＝＝2，則R2－(6－R)2＝(2)2，解得R＝4，則球的表面積S＝4πR2＝64π.] 5．A　[由三視圖可知，該組合體下半部分是一個半圓柱，上半部分是一個長方體，故體積V

7、＝2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π.] 6．C　[所作的截面與OE垂直時，截面圓的面積最小，設正三角形ABC的高為3a， 則4a2＋1＝4，即a＝， 此時OE2＝12＋＝.截面圓半徑r2＝22－＝，故截面面積為.] 7．B　[該幾何體的體積V＝V長方體－V三棱柱＝6×6×3－××3×4×5＝98 (cm3)．] 8．A　[設O點到底面PQR的距離為h，即三棱錐O－PQR的高為h，設底面PQR的面積為S，∴三棱錐O－PQR的體積為V＝f(x)＝Sh，點P從S到A的過程中，底面積S一直在增大，高h先減小再增大，當底面經過點O時，高為0，∴體積先增大，后減小，再增大，故選A.] 9

8、．1∶24 解析　設三棱錐F－ADE的高為h，則＝＝. 10．2 解析　如圖所示，BE過球心O，∴DE＝＝2， ∴VE－ABCD＝×3××2＝2. 11．3 解析　×B1A1＝××AD×D1D×B1A1 ＝××3×2×3＝3. 12. 解析　如圖，設球心為M，△ABC截面所截小圓的圓心為O. ∵△ABC是等邊三角形，∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°， ∴P在平面ABC上的投影是△ABC的中心O. 設AB的中點為H， ∵PQ是直徑，∴∠PCQ＝90°， ∴PC＝4cos 30°＝2， ∴PO＝2cos 30°＝3，OC＝2sin 30°＝. ∵O是△ABC的中心，∴OC＝CH， ∴△ABC的高CH＝，AC＝＝3， ∴V三棱錐P－ABC＝PO·S△ABC＝×3×××3＝.