《【章節(jié)訓(xùn)練】第18章勾股定理-4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【章節(jié)訓(xùn)練】第18章勾股定理-4（25頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 【章節(jié)訓(xùn)練】第18章 勾股定理-4 　 一、選擇題（共16小題） 1．如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是（　　） 　 A B． C． 5 D． 10 　2．如圖：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正確的是（　　） 　 A． ①②③ B． ①②④ C．

2、 ①③④ D． ①②③④ 　 3．如圖，P為等腰Rt△ABC外一點(diǎn)，∠BAC=90°，連PB、PC、PA，PA交BC于E點(diǎn)，且∠APC=45°，下列結(jié)論： ①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA． 其中正確的是（　　） 　 A． ① B． ①② C． ② D． ①②③ 　 4．已知：a、b是正數(shù)，且a+b=2，則的最小值是（　　） 　 A． B． C． D． 　 5．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長(zhǎng)為（　　） 　 A． 4+2+2 B．

3、 2+2+2 C． 4+2+4 D． 4+2+4 　 6．一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC=4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有以下結(jié)論：①M(fèi)F=NF：②四邊形CMFN有可能為正方形；③MN長(zhǎng)度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變；⑤△CMN面積的最大值為2．其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 　 7．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)D作D

4、H⊥EF交AC于G，交BC的延長(zhǎng)線于H，則以下結(jié)論：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正確的是（　?。? 　 A． ②③ B． ③④ C． ①④ D． ①②③④ 　 8．一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)是6，8，10，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)和面積的直線有（　?。l． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 　 9．設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，則=（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 　 10．如圖，小方格的面積是1，則圖中以格點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為5的線段有（　　）

5、 　 A． 4條 B． 3條 C． 2條 D． 1條 　 11．如圖△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＜DC，以AD為邊作正三角形ADE，當(dāng)△ABC的面積是25，△ADE的面積是7時(shí)，BD與DC的比值是（　　） 　 A． 3：4 B． 3：5 C． 1：2 D． 2：3 　 12．現(xiàn)有兩根木棒的長(zhǎng)度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個(gè)直角三角形框架，那么所需木棒的長(zhǎng)一定為（　?。? 　 A． 30厘米 B． 40厘米 C． 50厘米 D． 以上都不對(duì) 　

6、13．如圖，在2×3矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為（　?。? 　 A． 24 B． 38 C． 46 D． 50 　 14．如圖是一個(gè)長(zhǎng)4m，寬3m，高2m的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的A處（長(zhǎng)的四等分）有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（　?。? 　 A． 4.8 B． C． 5 D． 　 15．直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)是11，另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)，那么它的周長(zhǎng)是（　　） 　 A． 132 B． 121 C． 120 D． 以上答案都不對(duì) 　

7、 16．小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個(gè)棱長(zhǎng)為10的正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示．小明所用正方形包裝紙的邊長(zhǎng)至少為（　?。? 　 A． 40 B． 30+2 C． 20 D． 10+10 　 二、填空題（共10小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值） 17．《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開(kāi)門(mén)去閫（kun）一尺，不合二寸，問(wèn)門(mén)廣幾何．”大意是說(shuō)：今推開(kāi)雙門(mén)，門(mén)框距離門(mén)檻1尺，雙門(mén)間的縫隙為2寸，那么門(mén)的寬度（兩扇門(mén)的和）為　_________　尺． 　 18．已知點(diǎn)A（0，2），B（4，0）．點(diǎn)C，D分別在直線x=1與x=2上，且C

8、D∥x軸，則AC+CD+DB的最小值為　_________　． 　 19．在直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，3），若M為x軸上一點(diǎn)，且MA+MB最小，則M的坐標(biāo)是　_________　，MA+MB=　_________?。? 　 20．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把三角形AED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若三角形ABF的面積為30cm2，那么折疊三角形AED的面積為　_________　cm2． 　 21．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要　_________　米的地毯． 22．如圖，∠MON=3

9、0°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一點(diǎn)，B是ON上任意一點(diǎn)，則折線ABCD的最短長(zhǎng)度為　_________?。? 　 23．在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD平行且＞AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是　_________　米．（精確到0.01米） 　 24．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是　______

10、___　寸． 25．已知△ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則△ABC的形狀是　_________　． 26．有一棵9米高的大樹(shù)，樹(shù)下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹(shù)在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開(kāi)大樹(shù)　_________　米之外才是安全的． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動(dòng)判卷） 27．一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由． 　 28．三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP=2， （1）當(dāng)AB=8時(shí)，求三角形ABC的面積；

11、（2）當(dāng)AB變化時(shí)，求證：AP的值為定值，并求出這個(gè)定值． 　 29．如圖△ABC三邊長(zhǎng)分別是BC=17，CA=18，AB=19，過(guò)△ABC內(nèi)的點(diǎn)P向△ABC三邊分別作垂線PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的長(zhǎng)度． 　 30．如圖所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍． 　 31．已知△ABC中三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，相應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)為ma，mb，mc． 求證：． 　  【章節(jié)訓(xùn)練】第18章 勾股定理-4 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共16小題） 1．如圖，已知△ABC中，∠ABC

12、=90°，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是（　?。? 　 A． B． C． 5 D． 10 考點(diǎn)： 勾股定理；平行線之間的距離；等腰三角形的性質(zhì)．1822892 分析： 過(guò)A、C點(diǎn)作l3的垂線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等和勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出． 解答： 解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90° 又∠DAB+∠ABD=90° ∴∠BAD=∠CBE 又AB=BC，∠ADB=

13、∠BEC ∴△ABD≌△BCE ∴BE=AD=3 在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC==， 在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=×=； 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 此題要作出平行線間的距離，構(gòu)造直角三角形．運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算． 　 2．如圖：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，連接BD，DE，BE，則下列結(jié)論：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正確的是（　?。? 　 A． ①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ①②③④ 考點(diǎn)： 等腰

14、直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．1822892 分析： ①根據(jù)：∠CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出∠ECA=165°，從而得證結(jié)論正確； ②根據(jù)CE⊥CD，∠ECA=165°，利用SAS求證△ACD≌△BCE即可得出結(jié)論； ③根據(jù)∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性質(zhì)和△ACD≌△BCE，求出∠CBE=30°，然后即可得出結(jié)論； ④過(guò)D作DM⊥AC于M，過(guò)D作DN⊥BC于N．由∠CAD=30°，可得CM=AC，求證△CMD≌△CND，可得CN=CM=AC=

15、BC，從而得出CN=BN．然后即可得出結(jié)論． 解答： 解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°， ∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°， ∴∠ECA=165°∴①正確； ②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已證）， ∴∠BAE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=BC，∴②正確； ③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC， ∴∠CAB=∠ACB=45° ∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=30°， ∴∠A

16、BF=45+30=75°， ∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°， ∴AD⊥BE． ④證明：如圖， 過(guò)D作DM⊥AC于M，過(guò)D作DN⊥BC于N． ∵∠CAD=30°，且DM=AC， ∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°， ∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°， ∴△CMD≌△CND， ∴CN=CM=AC=BC， ∴CN=BN． ∵DN⊥BC， ∴BD=CD．∴④正確． 所以4個(gè)結(jié)論都正確． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三

17、角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題有一定的拔高難度，屬于難題． 　 3．如圖，P為等腰Rt△ABC外一點(diǎn)，∠BAC=90°，連PB、PC、PA，PA交BC于E點(diǎn)，且∠APC=45°，下列結(jié)論： ①∠BPA=45°．②．③PB+PC=PA． 其中正確的是（　?。? 　 A． ① B． ①② C． ② D． ①②③ 考點(diǎn)： 全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．1822892 分析： 求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求出∠APB的度數(shù)；求出△BAE∽△PAB，推出=，證△CAE∽△PAC，推出

18、=，推出=，根據(jù)三角形的面積公式即可求出②正確；過(guò)A作AD⊥PA，AD交PB的延長(zhǎng)線于D，證△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=AP，即可推出③正確． 解答： 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠APC=45°， ∴∠ABC=∠APC， 即A、B、P、C四點(diǎn)共圓， ∴∠APB=∠ACB=45°， ∴①正確； ∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB， ∴△BAE∽△PAB， ∴=， 同理可證△CAE∽△PAC， ∴=， ∵AB=AC， ∴=， 即=， ∵△A

19、BE的邊BE上的高和△ACE的邊CE上的高相同，設(shè)高為h， ∴===， ∴②正確； 過(guò)A作AD⊥PA，AD交PB的延長(zhǎng)線于D， ∵∠BAC=90°，AD⊥PA， ∴∠DAP=90°=∠BAC， ∴∠1+∠2=∠2+∠3， ∴∠1=∠3， ∵A、B、P、C四點(diǎn)共圓， ∴∠4=∠ACP， 在△ADB和△APC中 ， ∴△ADB≌△APC（ASA）， ∴PC=BD，AD=AP， ∴△DAP是等腰直角三角形， 由勾股定理得：DP==AP， ∵DP=BP+BD=BP+PC， 即PB+PC=PA， ∴③正確； 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓內(nèi)接四邊形，相似

20、三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大． 　 4．已知：a、b是正數(shù)，且a+b=2，則的最小值是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；勾股定理．1822892 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 得出b=2﹣a，代入求出W，得出表示X軸上一點(diǎn)C（a，0）到A（0，2），B（2，﹣1）的距離之和，根據(jù)勾股定理求出最小值A(chǔ)B長(zhǎng)即可． 解答： 解：∵a，b均為正數(shù)，a+b=2，b=2﹣a， 設(shè)W=+=+， 從上式可以看出：W表示x軸上一點(diǎn)C（

21、a，0）到A（0，2），B（2，﹣1）的距離之和， 最小值為AB=（注意取值范圍：0＜a＜2）， ∴W最小值=， 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查對(duì)軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能得出結(jié)論W表示X軸上一點(diǎn)C（a，0）到A（0，2），B（2，﹣1）的距離之和和最小值為AB是解此題的關(guān)鍵． 　 5．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，從各邊往外作等邊三角形ABE、BCF、CDG、DAH，則四邊形AFGD的周長(zhǎng)為（　?。? 　 A． 4+2+2 B． 2+2+2 C． 4+2+4 D． 4+2+4 考點(diǎn)： 勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；

22、等邊三角形的性質(zhì)．1822892 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 連接AG，分別求出∠ABF和∠FCG的度數(shù)，再根據(jù)AB=BC=FC，求證△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，設(shè)AB中點(diǎn)為K，連GK，可得△AKG為直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四邊形AFGD的周長(zhǎng)． 解答： 解：連接AG，那么等腰三角形ABF頂角∠ABF=90°+60°=150°， 等腰三角形FCG頂角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150° 又AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG， ∴AF=FG． 同理AF=AG，設(shè)AB中點(diǎn)為K，連GK，可得△AKG為直角三角形，

23、 ∴AK=1，KG=2+，由勾股定理得AG====+． 四邊形AFGD的周長(zhǎng)為：AF+FG+GD+DA=2（+）+2×2=4+2+2． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，此題有一定難度，屬于難題． 　 6．一副三角板如圖擺放，點(diǎn)F是45°角三角板ABC的斜邊的中點(diǎn)，AC=4．當(dāng)30°角三角板DEF的直角頂點(diǎn)繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，直角邊DF，EF分別與AC，BC相交于點(diǎn)M，N．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中有以下結(jié)論：①M(fèi)F=NF：②四邊形CMFN有可能為正方形；③MN長(zhǎng)度的最小值為2；④四邊形CMFN的面積保持不變；⑤△CMN面積的最大值為2．其

24、中正確的個(gè)數(shù)是（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì)；兩點(diǎn)間的距離；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．1822892 專(zhuān)題： 幾何綜合題． 分析： 利用兩直角三角形的特殊角、性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別判斷每一個(gè)結(jié)論，找到正確的即可． 解答： 解：①∵F為AB中點(diǎn) ∴AF=BF（1分） ∵∠AFM=45°，∠DFE=90° ∴∠BFN=180﹣∠AFM﹣∠DFE =180﹣45°﹣90°=45° ∴∠AFM=∠BFN（2分） 在△AFM和△FBN中 ∴△AFM≌△BFN（AS

25、A） ∴MF=NF（3分） 故①正確； ②當(dāng)MF⊥AC時(shí)，四邊形MFNC是矩形，此時(shí)MA=MF=MC，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可知②正確； ③連接MN，當(dāng)M為AC的中點(diǎn)時(shí)，CM=CN，根據(jù)邊長(zhǎng)為4知CM=CN=2，此時(shí)MN最小，最小值為2，故③錯(cuò)誤； ④當(dāng)M、N分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDFE是正方形． ∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△AMF ∴S四邊形CDFE=S△AFC． 故④正確； ⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此當(dāng)DM最小時(shí)，DN也最?。? 即當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DM最小，此時(shí)DN=BC=2． ∴DN=DN=2 ； 當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△

26、DEF的面積最?。? 此時(shí)S△CEF=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=4﹣2=2， 故⑤正確． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題． 　 7．如圖，D為等腰Rt△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延長(zhǎng)線于H，則以下結(jié)論：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正確的是（　?。? 　 A． ②③ B． ③④ C． ①④ D． ①②③④ 考點(diǎn)： 全等三角形的判

27、定與性質(zhì)；等腰直角三角形．1822892 分析： 連接CD．欲證線段相等，就證它們所在的三角形全等．證明△DBE≌△DCG，△DCH≌△DAF． 解答： 解：根據(jù)已知條件， ∵△ABC是等腰直角三角形，CD是中線． ∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°． 又∵∠BDC=∠EDH=90°，即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH ∴∠BDE=∠CDH ∴△DBE≌△DCG（ASA） ∴DE=DG；BE=CG． 同理可證：△DCH≌△DAF，可得：DF=DH；AF=CH． ∵BC=AC，CH=AF，∴BH=CF． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定

28、理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS． 　 8．一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)是6，8，10，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)和面積的直線有（　?。l． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考點(diǎn)： 直角三角形的性質(zhì)．1822892 分析： 根據(jù)勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．應(yīng)分情況討論： （1）若直線過(guò)△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)； （2）若直線交△ABC的某兩條邊． 解答： 解：（1）若直線過(guò)△ABC的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖， 假設(shè)直線過(guò)點(diǎn)A．如果直線平分△ABC的面積，則有BN=NC，此時(shí)，AC＞AB， 所以周長(zhǎng)相等不可能．同理直線過(guò)

29、B、C也不存在； （2）若直線交AB、BC于點(diǎn)M、N．如圖， 設(shè)BN=x，則BM=12﹣x，作MD⊥BC， 由Rt△MBD∽R(shí)t△ABC，可得MD=； 根據(jù)S△MBN=MD?BN=S△ABC， 得BN=6+，BM=6﹣，即這樣的直線存在，且只有一條， 綜上，同時(shí)平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)和面積的直線有1條． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要分情況考慮．分析的時(shí)候，首先保證符合其中一個(gè)條件，再進(jìn)一步看是否滿足另一個(gè)條件． 　 9．設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，則=（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考

30、點(diǎn)： 勾股定理．1822892 分析： 根據(jù)已知條件判斷c是斜邊，并且得到c+a=2b，然后根據(jù)勾股定理得到c2﹣a2=b2，然后因式分解可以求出c﹣a，代入要求的式子可以求出結(jié)果了． 解答： 解：∵c﹣b=b﹣a＞0 ∴c＞b＞a，c+a=2b 根據(jù)勾股定理得，c2﹣a2=b2，（c+a）（c﹣a）=b2， ∴c﹣a=b ∴=4 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要利用了勾股定理和因式分解解題，題目式子的值不能直接求出，把它的分子分母分別用b表示才能求出． 　 10．如圖，小方格的面積是1，則圖中以格點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為5的線段有（　?。? 　 A． 4條 B． 3

31、條 C． 2條 D． 1條 考點(diǎn)： 勾股定理；勾股數(shù)．1822892 專(zhuān)題： 網(wǎng)格型． 分析： 此題只需根據(jù)常見(jiàn)的勾股數(shù)3、4、5，構(gòu)造以3、4為直角邊的直角三角形即可． 解答： 解：如圖所示，共4條． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 考查了勾股數(shù)的運(yùn)用． 　 11．如圖△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＜DC，以AD為邊作正三角形ADE，當(dāng)△ABC的面積是25，△ADE的面積是7時(shí)，BD與DC的比值是（　?。? 　 A． 3：4 B． 3：5 C． 1：2 D． 2：3 考點(diǎn)： 勾股定理；等腰三

32、角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．1822892 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)△ABC的面積，可以計(jì)算AF，BF，設(shè)DF=x，根據(jù)△ADE的面積計(jì)算x的值，根據(jù)BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可計(jì)算BD，CD長(zhǎng)度，即可計(jì)算BD：CD． 解答： 解：作AF⊥BC， ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF． △ABC的面積為×BC×AF=25，計(jì)算得：AF=5，BF=5． 設(shè)DF=x，則AD=， 根據(jù)正三角形面積計(jì)算公式S=AD×（）=AD2=7， 計(jì)算得：x=， ∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6， 故BD

33、：CD=2；3， 故選 D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理的運(yùn)用，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中根據(jù)正三角形ADE計(jì)算DF是解題的關(guān)鍵． 　 12．現(xiàn)有兩根木棒的長(zhǎng)度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個(gè)直角三角形框架，那么所需木棒的長(zhǎng)一定為（　?。? 　 A． 30厘米 B． 40厘米 C． 50厘米 D． 以上都不對(duì) 考點(diǎn)： 勾股定理的應(yīng)用．1822892 分析： 由于不明確直角三角形的斜邊，故應(yīng)分兩種情況討論． 解答： 解：此題要分兩種情況： （1）當(dāng)50是直角邊時(shí)，所需木棒的長(zhǎng)是=10； （2）當(dāng)50是斜邊時(shí)，所需木棒的長(zhǎng)是30． 故選D．

34、 點(diǎn)評(píng)： 解答此題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理解答，注意此題的兩種情況． 　 13．如圖，在2×3矩形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，則以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為（　?。? 　 A． 24 B． 38 C． 46 D． 50 考點(diǎn)： 等腰直角三角形．1822892 專(zhuān)題： 網(wǎng)格型；規(guī)律型． 分析： 以格點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)度可取8個(gè)數(shù)值：1，2，2，3．以這些線段組成的等腰直角三角形的斜邊有以下四種情況，2，2，；然后按斜邊長(zhǎng)分四類(lèi)來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)即可． 解答： 解：（1）當(dāng)斜邊長(zhǎng)為時(shí)，斜邊一定是小正方形的對(duì)角線，這樣的線段有12條， 每條這樣的

35、線段對(duì)應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有2×12=24（個(gè)）． 同理（2）當(dāng)斜邊長(zhǎng)為2時(shí)，共有6+2×4=14（個(gè)）． （3）當(dāng)斜邊長(zhǎng)為2時(shí)，共有2×4=8（個(gè)）． （4）當(dāng)斜邊長(zhǎng)為時(shí)，共有4（個(gè)）． 綜上所述，滿足要求的等腰直角三角形共有24+14+8+4=50（個(gè)）． 故選D． 點(diǎn)評(píng)： （1）利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想求解時(shí)，一定要做到分類(lèi)既不重復(fù)，又不遺漏；（2）請(qǐng)讀者嘗試以下兩種思路解答本題：①以等腰直角三角形的直角邊的不同情況來(lái)分類(lèi)討論求解；②利用軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱性求解． 　 14．如圖是一個(gè)長(zhǎng)4m，寬3m，高2m的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的A處（長(zhǎng)的四等分）有一只壁虎，B

36、處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處最短距離為（　?。? 　 A． 4.8 B． C． 5 D． 考點(diǎn)： 平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．1822892 分析： 先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知． 解答： 解：有兩種展開(kāi)方法： ①將長(zhǎng)方體展開(kāi)成如圖所示，連接A、B， 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB==； ②將長(zhǎng)方體展開(kāi)成如圖所示，連接A、B，則AB==5＜； 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題是一道趣味題，將長(zhǎng)方體展開(kāi)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可． 　 15．直角三角形有一條直角邊的長(zhǎng)是11，另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)，那么它

37、的周長(zhǎng)是（　?。? 　 A． 132 B． 121 C． 120 D． 以上答案都不對(duì) 考點(diǎn)： 勾股定理．1822892 分析： 假設(shè)另外兩邊后，根據(jù)勾股定理適當(dāng)變形，即可解答． 解答： 解：設(shè)另外兩邊是a、b（a＞b） 則根據(jù)勾股定理，得：a2﹣b2=121 ∵另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù) ∴（a+b）（a﹣b）=121=121×1 即另外兩邊的和是121， 故三角形的周長(zhǎng)是132． 故選A． 點(diǎn)評(píng)： 注意熟練進(jìn)行因式分解和因數(shù)分解，根據(jù)另外兩邊的長(zhǎng)都是自然數(shù)分析結(jié)論． 　 16．小明將一張正方形包裝紙，剪成圖1所示形狀，用它包在一個(gè)棱長(zhǎng)為10的

38、正方體的表面（不考慮接縫），如圖2所示．小明所用正方形包裝紙的邊長(zhǎng)至少為（　?。? 　 A． 40 B． 30+2 C． 20 D． 10+10 考點(diǎn)： 等腰直角三角形．1822892 分析： 所求正方形的邊長(zhǎng)即為AB的長(zhǎng)，在等腰Rt△ACF、△CDE中，已知了CE、DE、CF的長(zhǎng)均為10，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求得AC、CD的長(zhǎng)，由AB=AC+CD+BD即可得解． 解答： 解：如圖；連接AB，則AB必過(guò)C、D； Rt△ACF中，AC=AF，CF=10； 則AC=AF=5； 同理可得BD=5； Rt△CDE中，DE=CE=10，則CD=10；

39、 所以AB=AC+CD+BD=20；故選C． 點(diǎn)評(píng)： 理清題意，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共10小題）（除非特別說(shuō)明，請(qǐng)?zhí)顪?zhǔn)確值） 17．《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開(kāi)門(mén)去閫（kun）一尺，不合二寸，問(wèn)門(mén)廣幾何．”大意是說(shuō)：今推開(kāi)雙門(mén)，門(mén)框距離門(mén)檻1尺，雙門(mén)間的縫隙為2寸，那么門(mén)的寬度（兩扇門(mén)的和）為　10.1　尺． 考點(diǎn)： 勾股定理的應(yīng)用．1822892 專(zhuān)題： 閱讀型． 分析： 解答此題的關(guān)鍵是弄清題意，體會(huì)古代語(yǔ)言和現(xiàn)代語(yǔ)言的區(qū)別，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為勾股定理來(lái)解答． 解答： 解：設(shè)單門(mén)的寬度是x米，根據(jù)勾股定理，得x

40、2=1+（x﹣0.1）2，x=5.5，則2x=10.1尺． 點(diǎn)評(píng)： 此題的難點(diǎn)在于理解題意，能夠找到直角三角形，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算． 　 18．已知點(diǎn)A（0，2），B（4，0）．點(diǎn)C，D分別在直線x=1與x=2上，且CD∥x軸，則AC+CD+DB的最小值為　1+?。? 考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．1822892 分析： 可以把直線x=1，x=2形成的圖形理解為一條河，CD為一座橋，求AC+CD+DB的最小值，可轉(zhuǎn)化為“修橋問(wèn)題”． 解答： 解：作法如圖，過(guò)A作直線x=1的垂線，垂足為M，連接BM交直線x=2于D點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作直線x=1的垂線，垂

41、足為C點(diǎn)， 此時(shí)，AC+CD+DB的最小，AC+CD+DB=MD+CD+DB=BM+CD=+CD=+1． 點(diǎn)評(píng)： 本題要善于將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型“修橋問(wèn)題”，結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算． 　 19．在直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A（﹣1，1）、B（2，3），若M為x軸上一點(diǎn)，且MA+MB最小，則M的坐標(biāo)是?。ī仯。琈A+MB=　5?。? 考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理．1822892 分析： 取點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（﹣1，﹣1），連接A′B，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出直線A′B的解析式，從而確定出占M的坐標(biāo)；再兩點(diǎn)間的距離公式求得A'B的值即為MA+MB

42、的值． 解答： 解：取點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（﹣1，﹣1），連接A′B， ∵A′（﹣1，﹣1），B（2，3）， 設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b， 由有：， 解得：k=，b=， ∴直線A′B的解析式為：y=x+， 當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣， 即M（﹣，0）； A'B==5，此時(shí)MA+MB=A′B=5為最?。? 故本題答案為：（﹣，0）；5． 點(diǎn)評(píng)： 利用軸對(duì)稱找線段和的最小值，如果所求的點(diǎn)在x軸上，就取x軸的對(duì)稱點(diǎn)，如果所求的點(diǎn)在y軸上，就取y軸的對(duì)稱點(diǎn)，求直線解析式，確定直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即為所求． 　 20．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，DC=5cm，在DC上存在一

43、點(diǎn)E，沿直線AE把三角形AED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若三角形ABF的面積為30cm2，那么折疊三角形AED的面積為　16.9　cm2． 考點(diǎn)： 勾股定理；翻折變換（折疊問(wèn)題）．1822892 分析： 先根據(jù)直角三角形的面積求出其直角邊和斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出相等的邊長(zhǎng)，用CE表示出EF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式即可解答． 解答： 解：∵三角形ABF的面積為30cm2，DC=AB=5cm， ∴BF=12， ∴在Rt△ABF中，AF==13， ∴BC=AD=AF=13， ∴CF=BC﹣BF=1， 又∵EF=DE=

44、5﹣CE， 在Rt△EFC中，（5﹣CE）2=12+CE2， ∴CE=2.4， ∴DE=5﹣CE=5﹣2.4=2.6， ∴S△AED=×13×2.6=16.9cm2． 點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了勾股定理與一元二次方程，解這類(lèi)題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來(lái)尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系． 　 21．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要　7　米的地毯． 考點(diǎn)： 勾股定理．1822892 專(zhuān)題： 應(yīng)用題． 分析： 地毯的長(zhǎng)顯然是兩條直角邊的和；根據(jù)勾股定理，得另一條直角邊的長(zhǎng)． 解答： 解：根據(jù)勾股定理，另一直角邊==3， ∴3+4=7， 故應(yīng)填7． 點(diǎn)評(píng)： 考

45、查了學(xué)生的生活實(shí)踐能力，注意理解題意：地毯的長(zhǎng)即兩條直角邊的和． 　 22．如圖，∠MON=30°，A在OM上，OA=2，D在ON上，OD=4，C是OM上任意一點(diǎn)，B是ON上任意一點(diǎn)，則折線ABCD的最短長(zhǎng)度為　2?。? 考點(diǎn)： 軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；勾股定理．1822892 分析： 首先根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短確定C，B二點(diǎn)的位置，則折線ABCD的最短長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)度．然后運(yùn)用勾股定理求出其值． 解答： 解：作D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D′，作A作關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D′與OM，ON的交點(diǎn)就是C，B二點(diǎn)． 此時(shí)AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′為

46、最短距離． 連接DD′，AA′，OA′，OD′． ∵OA=OA′，∠AOA′=60°， ∴∠OAA′=∠OA′A=60°， ∴△ODD′是等邊三角形． 同理△OAA′也是等邊三角形． ∴OD'=OD=4，OA′=OA=2， ∠D′OA′=90°． ∴A′D′==2． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了線路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)為何位置是關(guān)鍵．綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)． 　 23．在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD平行且＞AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是　2.60　米．（精確到

47、0.01米） 考點(diǎn)： 平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．1822892 分析： 解答此題要將木塊展開(kāi)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答． 解答： 解：由題意可知，將木塊展開(kāi)， 相當(dāng)于是AB+2個(gè)正方形的寬， ∴長(zhǎng)為2+0.2×2=2.4米；寬為1米． 于是最短路徑為：=2.60米． 故答案為：2.60． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查兩點(diǎn)之間線段最短，有一定的難度，是中檔題． 　 24．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是　25　寸． 考點(diǎn)：

48、 平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題．1822892 分析： 根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答． 解答： 解：將臺(tái)階展開(kāi)矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長(zhǎng)分別為24寸，7寸， 由勾股定理得AB==25寸． 點(diǎn)評(píng)： 本題結(jié)合實(shí)際，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)來(lái)解答問(wèn)題． 　 25．已知△ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則△ABC的形狀是　等腰直角三角形?。? 考點(diǎn)： 等腰直角三角形．1822892 分析： 已知△ABC是軸對(duì)稱圖形，則△ABC是等腰三角形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形狀是等腰直角三角形． 解答：

49、 解：△ABC是軸對(duì)稱圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則△ABC的形狀是等腰直角三角形． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)．對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等． 　 26．有一棵9米高的大樹(shù)，樹(shù)下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹(shù)在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開(kāi)大樹(shù)　4　米之外才是安全的． 考點(diǎn)： 勾股定理的應(yīng)用．1822892 專(zhuān)題： 應(yīng)用題． 分析： 根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答． 解答： 解：如圖， BC即為大樹(shù)折斷處

50、4m減去小孩的高1m，則BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m， 在Rt△ABC中，AC===4． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，要根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可解答． 　 三、解答題（共5小題）（選答題，不自動(dòng)判卷） 27．一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 一元二次方程的整數(shù)根與有理根；勾股定理的逆定理．1822892 專(zhuān)題： 應(yīng)用題；分類(lèi)討論． 分析： 假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其中c為斜邊，則，于是將存在性問(wèn)題的討論轉(zhuǎn)化為

51、求方程組的解． 解答： 解：假設(shè)符合條件的直角三角形存在，它的三邊長(zhǎng)為a、b、c，其中c為斜邊，則 ， ∵a、b、c均為正整數(shù)， ∴a≠b；不妨設(shè)a＞b，則有a+b+=， 兩邊平方，并整理得：﹣a2b﹣ab2+2ab=0， 消去ab得：﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8， 又∵8=1×8=2×4， ∴①，解得，則c=13； ②，解得，則c=10； 綜上所述，符合條件的直角三角形存在，其邊長(zhǎng)分別是5、12、13；6、8、10．共有2個(gè)這樣的直角三角形． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根及有理根、勾股定理的逆定理的應(yīng)用．在解題過(guò)程中，當(dāng)勾股定理不能直接

52、運(yùn)用時(shí)，常需要通過(guò)等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運(yùn)用創(chuàng)造必要的條件，有時(shí)又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系，這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組． 　 28．三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CP=2， （1）當(dāng)AB=8時(shí)，求三角形ABC的面積； （2）當(dāng)AB變化時(shí)，求證：AP的值為定值，并求出這個(gè)定值． 考點(diǎn)： 勾股定理．1822892 專(zhuān)題： 綜合題；方程思想． 分析： （1）過(guò)C作CD垂直于AB，交AB于D，求出CD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，設(shè)BD=x，則AD=8﹣x，在直角三角形BDC

53、和直角三角形ADC中，利用勾股定理列出兩關(guān)系式，分別記作①和②，①﹣②消去CD2得到關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，把求出的x的值代入①即可求出CD的長(zhǎng)，得到三角形ABC的面積； （2）過(guò)A作AE垂直于CP，設(shè)CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a，在直角三角形ACE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，記作①，在直角三角形ABE中，根據(jù)勾股定理再列出關(guān)系式，記作②，①﹣②得到關(guān)系式③，然后在直角三角形APE中，利用勾股定理表示出AP2，將①和③代入即可求出AP的長(zhǎng)，故為定值． 解答： 解：（1）過(guò)C作CD⊥AB，交AD于D， 設(shè)BD=x，則AD=8﹣x，又BC=6，AB=8，AC=

54、AB=4， 在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理得：x2+CD2=62①， 在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2+CD2=42②， 聯(lián)立①②，消去CD2得：x2﹣36=（8﹣x）2﹣16， 即16x=84，解得：x=， 把x=代入①得：CD==， 則S△ABC=AB?CD=×8×=3； （2）過(guò)A作AE⊥CP，交CP于E，如圖所示： 設(shè)CE=x，AE=y，AC=a，AB=2a， 在Rt△ACE中，根據(jù)勾股定理得：x2+y2=a2①， 在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得：（6+x）2+y2=（2a）2②， ①﹣②得：﹣4x=12﹣a2③， 在Rt△AEP中，根據(jù)勾股

55、定理得： AP2=AE2+EP2=y2+（2﹣x）2=x2+y2﹣4x+4， 將①和③代入得：AP2=a2+12﹣a2+4=16， 開(kāi)方得：AP=4， 則AP的值為定值，且定值為4． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了勾股定理，以及三角形面積的求法．此題利用勾股定理先后建立三個(gè)方程，建立轉(zhuǎn)換條件，使問(wèn)題得以解決，這些由定理得到的結(jié)論都呈現(xiàn)著等式特征，因而用方程的方法得以實(shí)施．應(yīng)用此方法解決問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是抓住幾何問(wèn)題中所闡明的相等關(guān)系，代數(shù)問(wèn)題有的可以用幾何的方法求解，幾何問(wèn)題也可以用代數(shù)的方法求解，這種數(shù)形轉(zhuǎn)換，實(shí)質(zhì)也是一種建模方法． 　 29．如圖△ABC三邊長(zhǎng)分別是BC=17，CA

56、=18，AB=19，過(guò)△ABC內(nèi)的點(diǎn)P向△ABC三邊分別作垂線PD，PE，PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的長(zhǎng)度． 考點(diǎn)： 勾股定理．1822892 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： 連接AP、BP、CP，構(gòu)成6個(gè)直角三角形，分別根據(jù)3對(duì)直角三角形的斜邊邊長(zhǎng)相等，可以列出方程求解． 解答： 解：如圖，連接PA，PB，PC， 設(shè)BD=x，CE=y，AF=z， 則DC=17﹣x，EA=18﹣y，F(xiàn)B=19﹣z， 在Rt△PBD和Rt△PFB中， 有x2+PD2=（19﹣z）2+PF2 同理有： 將以上三式相加， 得x2+y2+z2=（17﹣x）2+（18﹣

57、y）2+（19﹣z）2 即17x+18y+19z=487 又因?yàn)閤+y+z=27， 所以x=z﹣1， 所以BD+BF=x+（19﹣z）=z﹣1+19﹣z=18． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，主要是構(gòu)建直角三角形，找到合適的直角三角形是解題的關(guān)鍵． 　 30．如圖所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍． 考點(diǎn)： 勾股定理．1822892 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 對(duì)角線中點(diǎn)連線為PQ，可看作△BDQ的中線，分別計(jì)算BQ2，DQ2，代入2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．即可計(jì)算出即AB2+BC2+CD2

58、+DA2=AC2+BD2+4PQ2． 解答： 證明：設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P． 在△BDQ中，BQ2+DQ2=2PQ2+2?2=2PQ2+ 即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．① 在△ABC中，BQ是AC邊上的中線， 所以BQ2=（2AB2+2BC2﹣AC2）．② 在△ACD中，QD是AC邊上的中線， 所以DQ2=（2AD2+2DC2﹣AC2）．③ 將②，③代入①得（2AB2+2BC2﹣AC2）+（2AD2+2DC2﹣AC2） =4PQ2+BD2， 即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直角三角

59、形中勾股定理的運(yùn)用，本題中分別求BQ2，DQ2，化簡(jiǎn)出2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2的等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵． 　 31．已知△ABC中三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，相應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)為ma，mb，mc． 求證：． 考點(diǎn)： 勾股定理．1822892 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 根據(jù)勾股定理找到a、b、c與ma2的關(guān)系，即，整理可得ma2的不等式，可以證明，得 ． 解答： 證明：利用勾股定理可以證明， ∴， 又， ， ∵b﹣c﹣a=b﹣（a+c）＜0， b﹣c+a=（a+b）﹣c＞0， ∴， ∴． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運(yùn)用，本題中正確的運(yùn)用勾股定理并且根據(jù)不等式求出是解題的關(guān)鍵． 　 25