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2、 1 第4節(jié)　雙曲線 課時訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】 知識點、方法 題號 雙曲線的定義 1、4、6 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 3、5、7 雙曲線的幾何性質(zhì) 2、8、9、10、16 直線與雙曲線的位置關(guān)系 11、13 綜合應(yīng)用問題 12、14、15 A組 一、選擇題 1.設(shè)P是雙曲線x216

3、-y220=1上一點,F1,F2分別是雙曲線左右兩個焦點,若|PF1|=9,則|PF2|等于(　B　) (A)1 (B)17 (C)1或17 (D)以上答案均不對 解析:由雙曲線定義||PF1|-|PF2||=8, 又|PF1|=9, ∴|PF2|=1或17,但應(yīng)注意雙曲線的右頂點到右焦點距離最小為c-a=6-4=2>1, ∴|PF2|=17. 故選B. 2.(高考湖北卷)已知0<θ<π4,則雙曲線C1:x2sin2θ-y2cos2θ=1與C2:y2cos2θ-x2sin2θ=1的(　D　) (A)實軸長相等 (B)虛軸長相等 (C)離心率相等 (D)焦距相等

4、 解析:雙曲線C1的半焦距c1=sin2θ+cos2θ=1,雙曲線C2的半焦距c2=cos2θ+sin2θ=1,故選D. 3.(高考湖南卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的焦距為10,點P(2,1)在C的漸近線上,則C的方程為(　A　) (A)x220-y25=1 (B)x25-y220=1 (C)x280-y220=1 (D)x220-y280=1 解析:由焦距為10,知2c=10,c=5. 將P(2,1)代入y=bax得a=2b. a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20, 所以方程為x220-y25=1.故選A. 4.已知F1、F2為雙曲線C:x

5、2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2等于(　C　) (A)14 (B)35 (C)34 (D)45 解析:∵c2=2+2=4, ∴c=2,2c=|F1F2|=4, 由題可知|PF1|-|PF2|=2a=22, |PF1|=2|PF2|, ∴|PF2|=22,|PF1|=42, 由余弦定理可知cos∠F1PF2=(42)2+(22)2-422×42×22=34.故選C. 5.設(shè)橢圓C1的離心率為513,焦點在x軸上且長軸長為26,若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　A　) (A)

6、x242-y232=1 (B)x2132-y252=1 (C)x232-y242=1 (D)x2132-y2122=1 解析:在橢圓C1中,因為e=513,2a=26, 即a=13,所以橢圓的焦距2c=10, 則橢圓兩焦點為(-5,0),(5,0), 根據(jù)題意,可知曲線C2為雙曲線, 根據(jù)雙曲線的定義可知, 雙曲線C2中的2a2=8, 焦距與橢圓的焦距相同, 即2c2=10, 可知b2=3, 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x242-y232=1.故選A. 二、填空題 6.(高考遼寧卷)已知F為雙曲線C:x29-y216=1的左焦點,P,Q為C上的點.若PQ的長等于虛軸長的2倍

7、,點A(5,0)在線段PQ上,則△PQF的周長為　　　　.? 解析:由題知,雙曲線中a=3,b=4,c=5, 則|PQ|=16, 又因為|PF|-|PA|=6, |QF|-|QA|=6, 所以|PF|+|QF|-|PQ|=12, |PF|+|QF|=28, 則△PQF的周長為44. 答案:44 7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率e=2,且它的一個頂點到較近焦點的距離為1,則雙曲線C的方程為　　　　.? 解析:雙曲線中,頂點與較近焦點距離為c-a=1, 又e=ca=2,兩式聯(lián)立得a=1,c=2, ∴b2=c2-a2=4-1=3,∴方程為x2

8、-y23=1. 答案:x2-y23=1 8.(20xx韶關(guān)模擬)設(shè)點P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點,其中F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,若 tan ∠PF2F1=3,則雙曲線的離心率為　　　　.? 解析:依題意得PF1⊥PF2,tan ∠PF2F1=|PF1||PF2|=3,|PF1|=3|PF2|,設(shè)|PF1|=k, 則|PF2|=3k,|PF1|2+|PF2|2=10k2=|F1F2|2=4c2, 又∵2a=|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2k,即a=k, ∴e=ca=102,即雙曲線的離心率為102.

9、 答案:102 9.(高考湖南卷)設(shè)F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為　　　　.? 解析:設(shè)點P在雙曲線右支上, 由題意,在Rt△F1PF2中, |F1F2|=2c, ∠PF1F2=30°, 得|PF2|=c,|PF1|=3c, |PF1|-|PF2|=2a,(3-1)c=2a, e=ca=23-1=3+1. 答案:3+1 10.設(shè)F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點.若在雙曲線右支上存在點P,滿足|PF2|=|F1F2|

10、,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　.? 解析:如圖,由題意得 |PF2|=|F1F2|=2c, |F2M|=2a. 在△PF2M中, |PF2|2=|F2M|2+|PM|2, 而|PM|=12|PF1|, 又∵|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|=2a+2c, 即|PM|=a+c. ∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2. 又c2=a2+b2, ∴ba=43, 漸近線方程為y=±43x, 即4x±3y=0. 答案:4x±3y=0 三、解答題 11.已知雙曲線x2-y22=1,過點P(1,1)能否

11、作一條直線l,與雙曲線交于A、B兩點,且點P是線段AB的中點? 解:法一　設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上, 且線段AB的中點為(x0,y0), 若直線l的斜率不存在,顯然不符合題意. 設(shè)經(jīng)過點P的直線l的方程為y-1=k(x-1), 即y=kx+1-k. 由y=kx+1-k,x2-y22=1, 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).① ∴x0=x1+x22=k(1-k)2-k2. 由題意,得k(1-k)2-k2=1, 解得k=2. 當(dāng)k=2時,方程①成為2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①沒有實

12、數(shù)解. ∴不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點,且點P(1,1)是線段AB的中點. 法二　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 若直線l的斜率不存在, 即x1=x2不符合題意, 所以由題得x12-y122=1, x22-y222=1, 兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)2=0, 即2-y1-y2x1-x2=0, 即直線l斜率k=2, 得直線l方程y-1=2(x-1), 即y=2x-1, 聯(lián)立y=2x-1,x2-y22=1 得2x2-4x+3=0, Δ=16-24=-8<0, 即直線y=2x-1與雙曲線無交點,即所求直線不合題意

13、, 所以過點P(1,1)的直線l不存在. 12.(20xx南京質(zhì)檢)中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F2,且|F1F2|=213,橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4,離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程; (2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值. 解:(1)由已知c=13, 設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a、b, 雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n, 則a-m=4,7·13a=3·13m, 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴橢圓方程為x249+y236=1, 雙曲線方程為x29-y24=1. (2)不妨設(shè)F1、F

14、2分別為左、右焦點,P是第一象限的一個交點, 則|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, ∴|PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=213, ∴cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1||PF2| =102+42-(213)22×10×4 =45. 13.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(b>a>0),O為坐標(biāo)原點,離心率e=2,點M(5,3)在雙曲線上. (1)求雙曲線的方程; (2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且OP→·OQ→=0.求1|OP|2+1|OQ|2的值. 解:(1)∵e=2,∴c=2a,b

15、2=c2-a2=3a2, 雙曲線方程為x2a2-y23a2=1,即3x2-y2=3a2. ∵點M(5,3)在雙曲線上, ∴15-3=3a2.∴a2=4. ∴所求雙曲線的方程為x24-y212=1. (2)設(shè)直線OP的方程為y=kx(k≠0), 聯(lián)立x24-y212=1,得x2=123-k2,y2=12k23-k2, ∴|OP|2=x2+y2=12(k2+1)3-k2. 則OQ的方程為y=-1kx, 有|OQ|2=12(1+1k2)3-1k2=12(k2+1)3k2-1, ∴1|OP|2+1|OQ|2=3-k2+(3k2-1)12(k2+1)=2+2k212(k2+1)=16

16、. B組 14.已知點P在曲線C1:x216-y29=1上,點Q在曲線C2:(x-5)2+y2=1上,點R在曲線C3:(x+5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是(　C　) (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 解析:依題意知P在曲線C1的左支上時|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值為|PC2|+1,|PR|的最小值為|PC3|-1, 則|PQ|-|PR|的最大值是 |PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10. 故選C. 15.從雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線,切點

17、為T,延長FT交雙曲線右支于點P,若M為線段FP的中點,O為坐標(biāo)原點,則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為(　B　) (A)|MO|-|MT|>b-a (B) |MO|-|MT|=b-a (C)|MO|-|MT|0)的右支上,雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,若|PF1|=4|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍是　　　.? 解析:由雙曲線的定義得 |PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=4|PF2|, 所以4|PF2|-|PF2|=2a, 所以|PF2|=23a,|PF1|=83a, 所以83a≥c+a,23a≥c-a,整理得53a≥c, 所以ca≤53,即e≤53,又e>1,所以1