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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第9講　函數(shù)模型及其應(yīng)用 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．(2014·日照模擬)下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是________. x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 　　　　　　　　　　　　　　　　 ①一次函數(shù)模型；②冪函數(shù)模型；③指數(shù)函數(shù)模型；④對(duì)數(shù)函數(shù)模型． 解析　根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型． 答案?、? 2．(2014·蘇州模擬)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特

2、別是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是________． 解析　由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)該逐漸增大，故選②. 答案?、? 3．某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離

3、車站________千米處． 解析　由題意得，y1＝，y2＝k2x，其中x＞0，當(dāng)x＝10時(shí)，代入兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，可得k1＝20，k2＝，y1＋y2＝＋x≥2 ＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝5時(shí)取等號(hào)． 答案　5 4．(2013·安徽名校聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AC平行于x軸，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，記四邊形位于直線x＝t(t＞0)左側(cè)圖形的面積為f(t)，則f(t)的大致圖象是________． 解析　由題意得，f(t)＝ 故其圖象為③. 答案?、? 5．(2014·南京一模)某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)

4、費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為________． 解析　設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y，則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費(fèi)用為y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝10時(shí)取等號(hào)． 答案　10 6．(2013·陜西卷)在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________(m)． 解

5、析　設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400. 答案　20 7．(2013·北京朝陽二模)一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤ 20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x＞20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時(shí)，所得年利潤

6、最大．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資) 解析　當(dāng)x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x＞20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x.故y＝(x∈N*)． 當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x＞20時(shí)，160－x＜140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤． 答案　y＝(x∈N*)　16 8．有一批材料可以建成200 m長的圍墻，如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地，中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的小矩形(如圖所示)，則圍成場地的最大面積為________(圍墻厚度不計(jì))．

7、 解析　本題是實(shí)際問題，建立函數(shù)關(guān)系即可．設(shè)矩形場地的寬為x m，則矩形場地的長為(200－4x)m，面積S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500.故當(dāng)x＝25時(shí)，S取得最大值2 500，即圍成場地的最大面積為2 500 m2. 答案　2 500 m2 二、解答題 9．(2014·昆明質(zhì)檢)某地近年來持續(xù)干旱，為倡導(dǎo)節(jié)約用水，該地采用了“階梯水價(jià)”計(jì)費(fèi)方法，具體方法：每戶每月用水量不超過4噸的每噸2元；超過4噸而不超過6噸的，超出4噸的部分每噸4元；超過6噸的，超出6噸的部分每噸6元． (1)寫出每戶每月用水量x(噸)與支付費(fèi)用y(元)的函數(shù)關(guān)系； (2)該地一家庭記錄

8、了去年12個(gè)月的月用水量(x∈N*)如下表： 月用水量x(噸) 3 4 5 6 7 頻數(shù) 1 3 3 3 2 請(qǐng)你計(jì)算該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用(精確到1元)； (3)今年干旱形勢仍然嚴(yán)峻，該地政府號(hào)召市民節(jié)約用水，如果每個(gè)月水費(fèi)不超過12元的家庭稱為“節(jié)約用水家庭”，隨機(jī)抽取了該地100戶的月用水量作出如下統(tǒng)計(jì)表： 月用水量x(噸) 1 2 3 4 5 6 7 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 據(jù)此估計(jì)該地“節(jié)約用水家庭”的比例． 解　(1)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝ (2)由(1)知：當(dāng)x＝3時(shí)，y＝6；

9、 當(dāng)x＝4時(shí)，y＝8； 當(dāng)x＝5時(shí)，y＝12； 當(dāng)x＝6時(shí)，y＝16； 當(dāng)x＝7時(shí)，y＝22. 所以該家庭去年支付水費(fèi)的月平均費(fèi)用為 (6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和題意知：當(dāng)y≤12時(shí)，x≤5，所以“節(jié)約用水家庭”的頻率為＝77%，據(jù)此估計(jì)該地“節(jié)約用水家庭”的比例為77%. 10．(2013·南京、鹽城高三期末)近年來，某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位：萬元)與太陽能電池板的面積x(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5.為了保證

10、正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補(bǔ)供電的模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)C(單位：萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝(x≥0，k為常數(shù))．記F(x)為該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)15年共消耗的電費(fèi)之和． (1)試解釋C(0)的實(shí)際意義，并建立F(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)x為多少平方米時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值？最小值是多少萬元？ 解　(1)C(0)的實(shí)際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時(shí)的電費(fèi)，即未安裝太陽能供電設(shè)備時(shí)企業(yè)每年消耗的電費(fèi)為 C(0)＝＝24，得k＝2 400，所以F(x)＝15×＋0

11、.5x＝＋0.5x(x≥0)． (2)因?yàn)镕(x)＝＋0.5(x＋5)－2.5 ≥2 －2.5＝57.5， 當(dāng)且僅當(dāng)＝0.5(x＋5)， 即x＝55時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x為55平方米時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值，最小值為57.5萬元． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．(2014·江門質(zhì)檢)我國為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，除了應(yīng)征稅收外，還征收附加稅．已知某種酒每瓶售價(jià)為70元，不收附加稅時(shí)，每年大約銷售100萬瓶；若每銷售100元國家要征附加稅x元(叫做稅率x%)，則每年銷售量將減少10x萬瓶，如果要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于112萬元，則x的最小值

12、為________．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解析　由分析可知，每年此項(xiàng)經(jīng)營中所收取的附加稅額為104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值為2. 答案　2 2．某位股民購進(jìn)某只股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為________． ①略有盈利；②略有虧損；③沒有盈利也沒有虧損；④無法判斷盈虧情況． 解析　設(shè)該股民購這只股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(1＋10%)n＝a

13、×1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故該股民這只股票略有虧損． 答案?、? 3．將一個(gè)長寬分別是a，b(01，故的取值范圍是. 答案　 二、解答

14、題 4．(2014·孝感統(tǒng)考)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時(shí)，銷售所得的收入為萬元． (1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x)，求f(x)； (2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，當(dāng)年所獲得的利潤最大？ 解　(1)當(dāng)0500時(shí)，f(x)＝0.05×500－×5002－ ＝12－x， 故f(x)＝ (2)當(dāng)0500時(shí)，f(x)＝12－x<12－＝<. 故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年獲得的利潤最大．