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1、新編高考數學復習資料 第6章　數　列 學案27　數列的概念與簡單表示法 導學目標： 1.了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數． 自主梳理 1．數列的定義 按____________著的一列數叫數列，數列中的________都叫這個數列的項；在函數意義下，數列是______________________的函數，數列的一般形式為：________________________，簡記為{an}，其中an是數列的第____項． 2．通項公式： 如果數列{an}的________與____之間的關系可以______

2、________來表示，那么這個式子叫做數列的通項公式．但并非每個數列都有通項公式，也并非都是唯一的． 3．數列常用表示法有：____________________、________、________. 4．數列的分類： 數列按項數來分，分為____________、____________；按項的增減規(guī)律分為____________、____________、____________和________．遞增數列?an＋1____an；遞減數列?an＋1____an；常數列?an＋1____an. 5．an與Sn的關系： 已知Sn，則an＝. 自我檢測 1．(2010·湖南長郡

3、中學)在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，則該數列的通項an＝______. 2．已知數列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10＝________. 3．已知數列－1，，－，，…按此規(guī)律，則這個數列的通項公式是______________________________． 4．下列對數列的理解： ①數列可以看成一個定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函數； ②數列的項數是有限的； ③數列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點； ④數列的通項公式是唯一的． 其中說法正確的序號是________．

4、5．設an＝－n2＋10n＋11，則數列{an}從首項到第________項的和最大． 探究點一　由數列前幾項求數列通項 例1　寫出下列數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數： (1)，，，，，… (2)，－2，，－8，，… 變式遷移1　寫出下列數列的一個通項公式： (1)3,5,9,17,33，…　(2)，，2，，…(3)1,0,1,0，… 探究點二　由遞推公式求數列的通項 例2　根據下列條件，寫出該數列的通項公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)． 變式遷移2

5、　根據下列條件，確定數列{an}的通項公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an； (3)a1＝2，an＋1＝an＋ln. 探究點三　由an與Sn的關系求an 例3　已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項公式． 變式遷移3　(1)已知{an}的前n項和Sn＝3n＋b，求{an}的通項公式． (2)已知在正項數列{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，求an. 函數思想 例　(14分)已知數列{an}的通項an＝(n＋1)n (n∈N*)，試問該數列

6、{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數；若沒有，說明理由． 【答題模板】 解　方法一　令[4分] ??，∴n＝9或n＝10時，an最大，[10分] 即數列{an}有最大項，此時n＝9或n＝10.[14分] 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n ＝n·，[2分] 當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…， ∴數列{an}中有最大項，為第9、10項．[14分] 【突破

7、思維障礙】 有關數列的最大項、最小項，數列有界性問題均可借助數列的單調性來解決，判斷單調性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項時也可用an滿足；若求最小項，則用an滿足. 數列實質就是一種特殊的函數，所以本題就是用函數的思想求最值． 【易錯點剖析】 本題解題過程中易出現只解出a9這一項，而忽視了a9＝a10，從而導致漏解． 1．數列的遞推公式是研究的項與項之間的關系，而通項公式則是研究的項an與項數n的關系． 2．求數列的通項公式是本節(jié)的重點，主要掌握三種方法：(1)由數列的前幾項歸納出一個通項公式，關鍵是善于觀察； (2)數列{an}的前n項和Sn與數列{an}的通項

8、公式an的關系，要注意驗證能否統一到一個式子中； (3)由遞推公式求通項公式，常用方法有累加、累乘． 3．本節(jié)易錯點是利用Sn求an時，忘記討論n＝1的情況． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2010·安徽改編)設數列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為________． 2．(2009·北京)已知數列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2 009＝________，a2 014＝________. 3．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2＝________. 4．數列{an}中

9、，若an＋1＝，a1＝1，則a6＝________. 5．數列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數列{an}的前n項和，則S21＝________. 6．數列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為________． 7．已知Sn是數列{an}的前n項和，且有Sn＝n2＋1，則數列{an}的通項an＝__________________. 8．將全體正整數排成一個三角形數陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據以上排列規(guī)律，數陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個數是_

10、___________． 二、解答題(共42分) 9．(12分)寫出下列各數列的一個通項公式． (1)1，2，3，4，… (2)－1，，－，，－，… 10．(14分)由下列數列{an}遞推公式求數列{an}的通項公式： (1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)； (2)a1＝1，＝ (n≥2)； (3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)． 11．(16分)(2009·安徽)已知數列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數列{bn}的前n項和Tn＝2－bn. (1)求數列{an}與{bn}的通項公式； (2)設cn＝a·bn，證

11、明：當且僅當n≥3時，cn＋1　

12、對． 5．10或11 解析　an＝－n2＋10n＋11是關于n的二次函數，它是拋物線f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些離散的點，從圖象可看出前10項都是正數，第11項是0，所以前10項或前11項的和最大． 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)根據數列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，要使用添項、還原、分割等方法，轉化為一些常見數列的通項公式來求； (2)根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊涵著“從特殊到一般”的思想，得出的結論不一定可靠，在解答題中一般應用數學歸納法進行證明． 解　(1)原數列為，，，，，…， ∴an＝＝. (2)原數列

13、為，－，，－，，…， ∴an＝. 變式遷移1　解　(1)∵a1＝3＝21＋1， a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，∴an＝2n＋1. (2)將數列各項統一成的形式得，，，，…； 觀察知，數列各項的被開方數逐個增加3，且被開方數加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數列的通項公式是an＝. (3)從奇數項，偶數項角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…對應項相加之和的一半組成的數列，也可用正弦函數和余弦函數的最值和零點值來調整表示． 所以an＝ 或an＝ (n∈N*)， 或an＝或an＝sin2 (n∈N*)， 或

14、an＝ (n∈N*)． 例2　解題導引　利用數列的遞推公式求數列的通項公式，一般有以下三種方法： (1)累加法：如果已知數列{an}的相鄰兩項an＋1與an的差的一個關系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的差的關系式，然后把這n－1個式子相加，整理求出數列的通項公式． (2)累積法：如果已知數列{an}的相鄰兩項an＋1與an的商的一個關系式，我們可依次寫出前n項中所有相鄰兩項的商的關系式，然后把這n－1個式子相乘，整理求出數列的通項公式． (3)構造法：根據所給數列的遞推公式以及其他有關關系式，進行變形整理，構造出一個新的等差或等比數列，利用等差或等比數列的通項公式求解． 解　

15、(1)當n＝1,2,3，…，n－1時，可得n－1個等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 將其相加， 得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． ∴an＝a1＋＝2＋. (2)方法一　an＝··…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝，∴an＝. 方法二　由2n－1an＝an－1，得an＝n－1an－1. ∴an＝n－1an－1＝n－1·n－2an－2 ＝n－1·n－2·…·1a1 ＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ 變式遷移2　解　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

16、∴＝3，∴數列{an＋1}為等比數列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1. ∴＝n，＝n－1， …… ＝3， ＝2， a1＝1. 累乘可得， an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！. (3)∵an＋1＝an＋ln， ∴an＋1－an＝ln＝ln . ∴an－an－1＝ln ， an－1－an－2＝ln ， …… a2－a1＝ln ， 累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n

17、－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n. 又a1＝2，∴an＝ln n＋2. 例3　解題導引　an與Sn的關系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．一般地，當a1＝S1適合an＝Sn－Sn－1時，則需統一“合寫”．當a1＝S1不適合an＝Sn－Sn－1時，則通項公式應分段表示，即an＝ 解　當n＝1時， a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時，an＝4×1－5＝－1≠a1， ∴an＝ 變式遷移3　解　(1)a1＝S1

18、＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式； 當b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當b＝－1時，an＝2·3n－1； 當b≠－1時，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2－2， 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數列{an}各項為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數列{an}是首項為1，公差為2的等差數列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. 課后練

19、習區(qū) 1．15 解析　a8＝S8－S7＝64－49＝15. 2．1　0 解析　a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0. 3．4 解析　當n＝1時，a1＝2. 當n＝2時，a1＋a2＝2(a2－1)，∴a2＝4. 4. 解析　方法一　∵an＋1＝，a1＝1， ∴a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝. 方法二　∵an＋1＝，∴＝＋2， ∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝，∴a6＝. 5. 解析　a1＝－a2＝－2，a2＝2，a3＝－2，a4＝2，…，知T＝2，a1＋a2＝，∴S21＝10×＋a1＝5＋－2＝. 6.

20、 解析　a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…， 此數列是以3為周期的數列，故可知a2 010＝a3＝. 7. 解析　當n＝1時，a1＝S1＝1＋1＝2， 當n>1時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.此時對于n＝1不成立， 故an＝ 8. 解析　前n－1行共有正整數1＋2＋…＋(n－1)＝(個)，因此第n行第3個數是全體正整數中的第＋3個，即為第個． 9．解　(1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…， ∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分) (2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，…，

21、 ∴an＝(－1)n·(n∈N*)．………………………………………………………(12分) 10．解　(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 將上述各式等號兩邊累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2， 即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝， 故an＝.…………………………………………………………………………(6分) (2)由題意得，＝，＝，…，＝，＝. 將上述各式累乘得，＝，故an＝.………………………………………………(10分) (3)由an＝2an－1＋1， 得an＋1＝2(an－1＋1)， 又

22、a1＋1＝2≠0，所以＝2， 即數列{an＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數列． 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(14分) 11．(1)解　a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分) 對于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合， ∴{an}的通項公式an＝4n.………………………………………………………………(3分) 將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.…………………………………(4分) 對于n≥2，由Tn－1＝2－bn－

23、1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)， ∴bn＝bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分) b1＝1也適合． 綜上，{bn}的通項公式bn＝21－n.………………………………………………………(10分) (2)方法一　由cn＝a·bn＝n225－n，……………………………………………………(11分) 得＝2.當且僅當n≥3時，1＋≤<， ∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0， 即cn＋1