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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第3講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性 規(guī)劃問(wèn)題 一、選擇題 1．不等式x－2y＞0表示的平面區(qū)域是(　　)． 解析　將點(diǎn)(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0. 答案　D 2．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是(　　)． A．14 B．16 C．17 D．19 解析　線性區(qū)域邊界上的整點(diǎn)為(3,1)，因此最符合條件的整點(diǎn)可能為(4,1)或(3,2)，對(duì)于點(diǎn)(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；對(duì)于點(diǎn)(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值為16.

2、 答案　B 3．若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是 (　　)． A．(－∞，5) B．[7，＋∞) C．[5,7) D．(－∞，5)∪[7，＋∞) 解析　畫(huà)出可行域，知當(dāng)直線y＝a在x－y＋5＝0與y軸的交點(diǎn)(0,5)和x－y＋5＝0與x＝2的交點(diǎn)(2,7)之間移動(dòng)時(shí)平面區(qū)域是三角形．故5≤a<7. 答案　C 4．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a＞0， b＞0)的最大值為12，則＋的最小值為(　　)． A. B. C. D．4 解析　由可行域可得，當(dāng)x＝

3、4，y＝6時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1.∴＋＝·＝＋＋≥＋2＝. 答案　A 5．實(shí)數(shù)x，y滿足若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y取得最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為 (　　)． A．4 B．3 C．2 D. 解析　作出可行域，由題意可知可行域?yàn)椤鰽BC內(nèi)部及邊界，y＝－x＋z，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標(biāo)函數(shù)平移可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值4，此時(shí)A點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a)，代入得4＝a＋a＝2a，所以a＝2. 答案　C 6．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料

4、2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過(guò)12千克．通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是 (　　)． A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 解析　設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶，獲利為z元，則x，y滿足的線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z＝300x＋400y. 作出可行域，如圖中四邊形OABC的邊界及其內(nèi)部整點(diǎn)．作直線l0：3x＋4y＝0，平移直線l0經(jīng)可行域內(nèi)點(diǎn)B時(shí)，z

5、取最大值，由得B(4,4)，滿足題意，所以zmax＝4×300＋4×400＝2 800. 答案　C 二、填空題 7．若x，y滿足約束條件則z＝3x－y的最小值為_(kāi)_______． 解析　畫(huà)出可行域，如圖所示，將直線y＝3x－z移至點(diǎn)A(0,1)處直線在y軸上截距最大，zmin＝3×0－1＝－1. 答案?。? 8．若x，y滿足約束條件則x－y的取值范圍是________． 解析　記z＝x－y，則y＝x－z，所以z為直線y＝x－z在y軸上的截距的相反數(shù)，畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖中△ABC區(qū)域所示．結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí)，x－y取得最大值0，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,3

6、)時(shí)，x－y取得最小值－3. 答案　[－3,0] 9．設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足則的最大值是________． 解析　不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分． 設(shè)＝t，則y＝tx，求的最大值，即求y＝tx的斜率的最大值．顯然y＝tx過(guò)A點(diǎn)時(shí)，t最大． 由解得A. 代入y＝tx，得t＝.所以的最大值為. 答案　 10．設(shè)m>1，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my的最大值小于2，則m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析　目標(biāo)函數(shù)z＝x＋my可變?yōu)閥＝－x＋， ∵m>1，∴－1<－<0，z與同時(shí)取到相應(yīng)的最大值，如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，取最大值，∴＋<2，又m>1，得1

7、　(1,1＋) 三、解答題 11．設(shè)集合A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三邊長(zhǎng)}． (1)求出x，y所滿足的不等式； (2)畫(huà)出點(diǎn)(x，y)所在的平面區(qū)域． 解 (1)已知條件即 化簡(jiǎn)即 (2)區(qū)域如下圖． 12．畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問(wèn)題： (1)指出x、y的取值范圍； (2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？ 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直線x－y＋5＝0上及其右下方的點(diǎn)的集合，x＋y≥0表示直線x＋y＝0上及其右上方的點(diǎn)的集合，x≤3表示直線x＝3上及其左方的點(diǎn)的集合． 所以，不等式組 表示的平面區(qū)域如圖所示． 結(jié)合圖中可行域得

8、x∈，y∈[－3,8]． (2)由圖形及不等式組知 當(dāng)x＝3時(shí)，－3≤y≤8，有12個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝2時(shí)，－2≤y≤7，有10個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝1時(shí)，－1≤y≤6，有8個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝0時(shí)，0≤y≤5，有6個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－1時(shí)，1≤y≤4，有4個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)x＝－2時(shí)，2≤y≤3，有2個(gè)整點(diǎn)； ∴平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(個(gè))． 13．若x，y滿足約束條件 (1)求目標(biāo)函數(shù)z＝x－y＋的最值． (2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍． 解　(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．

9、 平移初始直線x－y＝0，過(guò)A(3,4)取最小值－2，過(guò)C(1,0)取最大值1. ∴z的最大值為1，最小值為－2. (2)直線ax＋2y＝z僅在點(diǎn)(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1<－<2，解得－4

10、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在(1)的條件下，求x，y為何值時(shí)，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？ 項(xiàng)目 用量 產(chǎn)品 工人(名) 資金(萬(wàn)元) 甲 4 20 乙 8 5 解　(1)依題意得 解得 故甲產(chǎn)品為一等品的概率P甲＝0.65，乙產(chǎn)品為一等品的概率P乙＝0.4. (2)依題意得x、y應(yīng)滿足的約束條件為 且z＝0.65x＋0.4y. 作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，即可行域．作直線l0：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直線l向上方平移到l1的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)M，此時(shí)z取得最大值．解方程組 得x＝2，y＝3.故M的坐標(biāo)為(2,3)，所以z的最大值為zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，當(dāng)x＝2，y＝3時(shí)，z取最大值為2.5.