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2、 1 專題3 導(dǎo)數(shù) 一．選擇題 1.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是 （ ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 2. 【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷9】設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)。若球的

3、體積以均勻速度c增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑（ ） A.成正比，比例系數(shù)為C B. 成正比，比例系數(shù)為2C C.成反比，比例系數(shù)為C D. 成反比，比例系數(shù)為2C 3.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其它元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變。假設(shè)在放射性同位素銫137衰變過程中，其含量M(太貝克/年)與時(shí)間t(單位：年)滿足函數(shù)關(guān)系：，其中M0為t=0時(shí)銫137的含量，已知t=30時(shí)，銫137含量的變化率為-10ln2(太貝克/

4、年)，則M（60）=（ ） A. 5太貝克 B. 75ln2太貝克 C. 150ln2太貝克 D. 150太貝克 【答案】A 【解析】 試題分析：，因?yàn)閠=30時(shí)，銫137含量的變化率為-10ln2， 所以，故. 4.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷3】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它與軸所圍圖形的面積為（ ） y x O 第3題圖 A． B． C． D． 5. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)

5、統(tǒng)一考試湖北卷7】一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止。在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位;）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：令 ，則。汽車剎車的距離是，故選C. 6. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 7. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷6】若函數(shù)、滿足，則稱、在區(qū)間上的一組

6、正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：①；②；③.其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 二．填空題 1.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】已知函數(shù)則的值為 . 【答案】1 【解析】 試題分析：因?yàn)樗? ，故. 三．解答題 1.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn). （Ⅰ）、求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）、設(shè)，。若存在使得成立，求的取值范圍. 2.【2008年普通高等學(xué)校招生全

7、國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為 V（t）= （Ⅰ）該水庫(kù)的蓄求量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？ （Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）. 【解析】（Ⅰ）①當(dāng)0＜t10時(shí)，V(t)=(-t2+14t-40)， 化簡(jiǎn)得t2-14t+40>0, 解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4. ②當(dāng)10＜t12時(shí)，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,

8、 化簡(jiǎn)得（t-10）（3t-41）＜0, 解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12. 綜合得0

9、水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米. 考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力. 3.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】在R上定義運(yùn)算（b、c為實(shí)常數(shù)）。記，，.令. 如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值； 求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)； 記的最大值為.若對(duì)任意的b、c恒成立，試示的最大值。 【解析】（I） ，由在處有極值 可得 解得或 若，則，此時(shí)沒有極值； 若，則 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 1 0 + 0 極小值

10、極大值 當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求. 考點(diǎn)：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和分類討論的思想. 4. 【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷17】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元。設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。 （Ⅰ）求k的值及f(x)的表達(dá)式。 （Ⅱ）隔

11、熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值。 當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)， 總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元. 考點(diǎn)：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 5.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】 （Ⅰ）已知函數(shù)求函數(shù)的最大值； （Ⅱ）設(shè)均為正數(shù)，證明： （1）若，則 （2）若，則。 6．【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】 （Ⅰ）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值； （Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題： 設(shè)，為正有理數(shù). 若，則； （Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)

12、歸納法證明你所推廣的命題. 注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式. 7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】設(shè)是正整數(shù)，為正有理數(shù). （I）求函數(shù)的最小值； （II）證明：； （III）設(shè)，記為不小于的最小整數(shù)，例如，，. 令，求的值. （參考數(shù)據(jù)：，，，） 【證明】（I） 在上單減，在上單增。 （III）由（II）可知：當(dāng)時(shí)， . 8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）求，，，，，這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)； （3）將，，，，，這6個(gè)數(shù)按從小到大的順

13、序排列，并證明你的結(jié)論. 由①得，， 即，亦即，所以， 又由①得，，即，所以， 綜上所述，，即6個(gè)數(shù)從小到大的順序?yàn)?，，，，? 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較大小. 9. 【2015高考湖北，理22】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并比較與的大??； （Ⅱ）計(jì)算，，，由此推測(cè)計(jì)算的公式，并給出證明； （Ⅲ）令，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別記為,, 證明：. 【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. ；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析. 【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋? 當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減. 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)時(shí)，，即. 令，得，即. ① （Ⅱ）；； . 由此推測(cè)： ② 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②. （1）當(dāng)時(shí)，左邊右邊，②成立.