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1、 21.2.3 一元二次方程的根的判別式 各位老師：你們好！我是來自甘肅省蘭州市蘭化第一中學的數(shù)學教師宋慶萍，今天我說課的內(nèi)容是：人教社九年義務教育四年制初中《代數(shù)》第三冊第十二章第三節(jié)“一元二次方程的根的判別式”。下面將從三個方面來匯報我是如何分析教材和設計教學學教程的。 一、教材分析方面： 1、本節(jié)教材的地位及作用： “一元二次方程的根的判別式”一節(jié)，是在學生已經(jīng)學過一元二次方程的解法，并對b2-4ac的作用有所了解的基礎上，來進一步研究它的作用的一個重要理論內(nèi)容，它是前面知識的深化與總結(jié)。它在整個中學數(shù)學中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來判斷一元二次方程的根的情況，又可

2、以為今后研究不等式，二次函數(shù)，二次曲線等奠定基礎，并且可以解決許多其它問題。通過這一節(jié)的學習，培養(yǎng)學生的探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的數(shù)學思想，滲透數(shù)學的簡潔美。 2、教學內(nèi)容的確定： 本節(jié)課的主要內(nèi)容是：一元二次方程根的判別式的意義，定理、逆定理及其應用，對定理的引出我改變了教材中直接推證的方法，而是通過設置懸念讓學生解三種不同的方程的親身感受來發(fā)現(xiàn)定理，這樣使學生感到自然、易于授受，對教材中的例題則有所增加，例題的設置由淺入深，這樣安排符合學生的認知規(guī)律，同時，使學習內(nèi)容充實，不單調(diào)。 3、教學目的； 依據(jù)教學大綱和對教材

3、的分析，以及結(jié)合學生已有的知識基礎，本節(jié)課的教學目的是： （1）使學生理解一元二次方程的根的判別式概念； （2）能運用根的判別式在不解方程的前提下，判別方程根的情況，和進行有關(guān)的推理證明； （3）會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍； （4）培養(yǎng)學生的探索精神和邏輯思維能力以及推理論證能力； （5）向?qū)W生滲透分類的數(shù)學思想和數(shù)學的簡潔美。 4、教學重點、難點及關(guān)鍵： 重點：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運用； 難點：根的判別式定理及逆定理的運用。 關(guān)鍵：對根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。 二、教法與學法： 本著“以學生發(fā)展為本”的教育理念，同

4、時也為了使學生都能積極地參與到課堂教學中，發(fā)揮學生的主觀能動性，本節(jié)課主要采用了引導發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學方法，教法與學法設計了以下八個層次； 序號 教 師 學 生 1 設置懸念，引發(fā)興趣 爭先恐后，欲解疑團 2 設計練習，創(chuàng)設情境 動手解題，親身感知 3 啟發(fā)引導，發(fā)現(xiàn)結(jié)論 觀察分析、得出結(jié)論 4 引導學生，理論驗證 閱讀理解，自學教材 5 揭示定理 加深認識 6 應用定理，解決問題 鞏固應用，形成技能 7 歸納小結(jié) 整體把握 8 布置作業(yè) 鞏固提高 以上八個層次，是按照“實踐——認識——實踐”的認知規(guī)律設計的，它增加了學生參

5、與的機會和體驗獲取知識過程的時間。從而有效地調(diào)動了學生學習數(shù)學的積極性。 三、教學過程 <一>、設置懸念，引發(fā)興趣： 【教師】：同學們，我們已經(jīng)學會了怎么解一元二次方程，對嗎？那么，現(xiàn)在宋老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，不信呀！同學們可以隨便地出兩個題考考我。 【學生】…… 【說明】這樣設計，能馬上激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，為后面發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個最佳的心理狀態(tài)。 <二>設計練習，創(chuàng)設情境； 【教師】你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現(xiàn)在就請同學們用公式法解以下三個一無二次方程；你們會很快

6、發(fā)現(xiàn)我的奧秘。 用公式法解一元二次方程（用投影儀打出） (1)X2+3x+1=0 (2)4X2-4x+1=0 (3)X2-2x+5=0 (注：找三名學生板演，其余學生在位上做) 【學生】…… 【說明】這樣設計，使學生親身感知一元二次方程根的情況，培養(yǎng)了學生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發(fā)揮了學生的主觀能動性。 <三>啟發(fā)引導，發(fā)現(xiàn)結(jié)論： 【教師】請同學們觀察這三個方程的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求出了b2-4ac的值，為什么要這樣寫呢？ 【學生】…… 【教師】（1）由此可見：在解一元二次方程

7、aX2+bx+c=0(a≠0)時，代數(shù)式b2-4ac起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)b2-4ac的值符號來判斷一元二次方程aX2+bx+c=0的根的情況，因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“△（讀作delta，它是希臘字母）”來表示，即△=b2-4ac。我們說在今后的數(shù)學學習中還會遇到：用一個簡單的符號來表示一個數(shù)學式子的情況，同學們要逐漸適應這一點。 （2）注意：△≠，應△= b2-4ac。 （3）通過解這三個方程，同學們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情況有哪幾種，誰能總結(jié)出來？ 【學生】…… 【說明】：這樣設計（1）是為了讓學生明白：b2-4ac的值的符號在

8、解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判別式概念。 （2）是為了培養(yǎng)學生從具體到抽象的觀察、分析與概括能力并使學生從感性認識上升到理性認識，真正體驗自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂趣。 <四>引導學生，理論驗證： 【教師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？ 請同學們認真閱讀課本P26-27正數(shù)第六行的內(nèi)容，書上從理論方面給我們做了很好的解釋。 【學生】…… 【說明】這樣設計是為了培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，養(yǎng)成嚴格論證問題的習慣以及自學能力的培養(yǎng)。 <五>揭示定理： 【教師】（1）由此我們就得出了：關(guān)于一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)根的判別式定理： 在一元二次

9、方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若△≥0時，則方程有（兩個）實數(shù)根 若△＞0 則方程有兩個不相等的實數(shù)根 若△ =0 則方程有兩個相等的實數(shù)根 若△＜0則方程沒有實數(shù)根 （2）我們說：這個定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)中，△=b2-4ac 若方程有（兩個）實數(shù)根，則△≥0 若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0 若方程有兩個相等的實數(shù)根， 則△=0 若方程沒有實數(shù)根， 則△＜0 （3）定理與逆定理的用途不同 定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)△值的符號，用定理來判斷方程

10、根的情況。 逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定△值的符號，進而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。 （4）注意運用定理和逆定理時，必須把所給的方程化成一般形式后方可使用。 【說明】這樣設計是為了培養(yǎng)學生學會如何用數(shù)學語言來闡述發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認識上升到理性認識，以及加深學生對兩個定理的認識，為定理及逆定理的正確運用做好鋪墊。 <六>應用定理，解決問題： 【教師】下面我們就來學習兩個定理的應用。 例1：不解方程判別下列方程根的情況。 1> 2X2+3X-4=0 2> 16g2+9=24y 3>5(X2+1)-7x=0 4> X2+2 分析；要判

11、別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定△值的符號， 解：略 小結(jié)（1）綜上可知：運用根的判別式定理時，必須先把方程化為一般形式，并認準a、b、c的值； （2）在確定△值的符號時，可不必算出△的具體數(shù)值，只要能確定出△值的符號即可。 例如：對于第2）小題中△的值可作如下處理，比較簡便，△=(-24)2-4×16×9=242-22×42×32=242-242=0 (3)由此可知：判別方程根的情況時，不必求出方程的根。 學生練習：P28/3、4、5 補充練習：不解方程，判別下列方程根的情況， （2m2+1）X2-2mx+1=0 例2：求證：關(guān)于X的方程（m2+1）X2-2mx+(

12、m2+4)=0,沒有實數(shù)根。 分析：提出兩個問題：1>是誰決定了方程有無實數(shù)根？ 2>現(xiàn)在要證方程無實數(shù)根只要證明什么就行了？ 解：略 小結(jié)（1）運用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況的一般步驟是： ①把方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計算△； ②用配方法等將△變形，使之符號明朗化后，判斷△的符號。 ③根據(jù)根的判別式定理，寫出結(jié)論。 （2）注意關(guān)于△的變形；一般情況下，△由配方或因式分解后能變形成a2,-a2,a2+2,-(a2+2),(a+2)2,-(a+2)2等形式；那么△的符號就明朗了，即可判斷其符號。 學生練習；P29/B[3] 注意：以

13、上兩組練習時，學生板演，其余學生在位上做；板演后如果發(fā)現(xiàn)有錯或有其他解法，下面同學可主動上去糾正或?qū)懗鲎约旱牟煌夥?，然后教師進行講評。 思考題：已知關(guān)于X的方程X2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0，當a取何正整數(shù)時，方程有實數(shù)根？ 分析：要解決這個問題，應先假設方程有實根，然后根據(jù)根的判別式的逆定理，得出0，再由△≥0解這個不等式，從而求出a的取值范圍，進而得出a的正整數(shù)解。 解：略 注意：本思考題是讓學生自己分析，教師只幫助學生理清思路，最后讓學生自己完成。 【說明】這樣設計，主要是為了給學生創(chuàng)造一個知識運用遷移及鞏固的機會，同時也為了吸引和調(diào)動全班同學參與到積極動腦，各

14、抒已見的活躍氣氛中來。 <七>歸納小結(jié) 【教師】（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎上，學習了根的判別式的應用，它在整個中學數(shù)學中占有重要地位，是中考命題的重要知識點，所以必須牢固掌握好它。 （2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當已知△值的符號時，使用定理；當已知方程根的情況時，使用逆定理。 （3）一元二次方程aX2+bx+c=0(a≠0)（△=b2-4ac） 判別式 情況 根 的 情 況 定 理 與 逆 定 理 △＞0 X1,X2= △≥0<=>有（兩個）實數(shù)根 △＞0<=>有兩個不等實數(shù)根 △＝0 X1,X2= △=0<=>有兩個相等實數(shù)根

15、△＜0 無意義, X1,X2不存在 △＜0<=>無實根 【說明】這樣設計是為了使學生系統(tǒng)地了解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，與前后知識的聯(lián)系以及它在教材中的地位，能起到提綱挈領(lǐng)的作用。 <八>布置作業(yè)： 1、閱讀課本P26-28的內(nèi)容； 2、課本P29習A [2、4、6]，B[1，2]； 3、證明：方程（2m-1）X2+2mx+2=0恒有實數(shù)根； 4、已知：方程X2+2X-n+1=0沒有實數(shù)根； 求證：方程X2+bnx=1-2n一定有兩個不相等的實根。 注（第3、4題供學有余力的學生做） 【說明】這樣設計是為了使學生能鞏固本節(jié)課所學知識，培養(yǎng)學生自覺學習的習慣，同時對學有余力的學生留出自由的發(fā)展空間?！? 6 學習是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改