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1、
第29練 正弦定理、余弦定理
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)正弦定理、余弦定理;(2)解三角形.
訓(xùn)練題型
(1)正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用;(2)三角形面積;(3)三角形形狀判斷;(4)解三角形的綜合應(yīng)用.
解題策略
(1)解三角形時(shí)可利用正弦、余弦定理列方程(組);(2)對(duì)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)要根據(jù)圖形和“大邊對(duì)大角”判斷解的情況;(3)判斷三角形形狀可通過三角變換或因式分解尋求邊角關(guān)系.
一、選擇題
1.(20xx·隆化期中)在△ABC中,如果sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,那么cosC等于( )
A. B.-
C.- D.-
2
2、.北京第29屆奧運(yùn)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式,在坡度15°的看臺(tái)上,同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示),旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上,已知國歌長度為50秒,升旗手勻速升旗的速度為( )
A.(米/秒) B.(米/秒)
C.(米/秒) D.(米/秒)
3.(20xx·安慶檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.若a2-c2=bc,sin B=2sin C,則A等于( )
A.π B.π
C. D.
4.(20xx·武漢調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且
3、b2=a2+bc,A=,則角C等于( )
A. B.
C. D.或
5.(20xx·衡水中學(xué)第二學(xué)期調(diào)研)設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=1,B=2A,則b的取值范圍為( )
A.(,) B.(1,)
C.(,2) D.(0,2)
6.(20xx·東營期中)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S表示△ABC的面積,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),則B等于( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
7.(20xx·山西大學(xué)附中期中)已知三個(gè)向量m=,n=,p=共線,其
4、中a、b、c、A、B、C分別是△ABC的三條邊及相對(duì)三個(gè)角,則△ABC的形狀是( )
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.已知點(diǎn)O是△ABC的外接圓圓心,且AB=3,AC=4.若存在非零實(shí)數(shù)x,y,使得=x+y,且x+2y=1,則cos∠BAC的值為( )
A. B.
C. D.
二、填空題
9.△ABC中,A、B、C是其內(nèi)角,若sin 2A+sin(A-C)-sin B=0,則△ABC的形狀是__________________.
10.(20xx·惠州二調(diào))在△ABC中,設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且∠C=60°,c=,則=
5、________.
11.(20xx·佛山期中)如圖,一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到達(dá)B處,看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向,這時(shí)船與燈塔的距離為________ km.
12.(20xx·吉安期中)在△ABC中,D為BC邊上一點(diǎn),若△ABD是等邊三角形,且AC=4,則△ADC的面積的最大值為________.
答案精析
1.D [由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶4,可設(shè)a=2k,b=3k,c=4k(k>0),由余弦定理可得cosC===-.]
2.A [由條件得△A
6、BD中,∠DAB=45°,∠ABD=105°,∠ADB=30°,AB=10,由正弦定理得BD=·AB=20,則在Rt△BCD中,CD=20×sin 60°=30,所以速度v==(米/秒),故選A.]
3.D [已知sin B=2sin C,利用正弦定理化簡得b=2c,代入a2-c2=bc,
得a2-c2=6c2,即a=c,∴cosA===.
∵A為三角形內(nèi)角,∴A=,故選D.]
4.B [在△ABC中,由余弦定理,得cosA=,即=,所以b2+c2-a2=bc,又b2=a2+bc,所以c2+bc=bc,所以c=(-1)b
7、=2A,∴sin B=sin 2A,
∴sin B=2sin AcosA,∴b=2acos A,
又∵a=1,∴b=2cos A.
∵△ABC為銳角三角形,
∴0
8、∵m=與n=共線,∴acos=bcos,
由正弦定理,得sin Acos=sin Bcos,
∵sin A=2sin cos,sin B=2sin cos,
∴2sin coscos=2sin coscos,
化簡,得sin =sin .
又0<<,0<<,
∴=,可得A=B.
同理,由n=與p=共線得到B=C,
∴A=B=C,可得△ABC是等邊三角形.]
8.A [設(shè)線段AC的中點(diǎn)為點(diǎn)D,則直線OD⊥AC.
因?yàn)椋絰+y,所以=x+2y.
又x+2y=1,所以點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)共線,
即點(diǎn)B在線段AC的中垂線上,則AB=BC=3.
在△ABC中,由余弦定理,得cos∠
9、BAC==.故選A.]
9.等腰或直角三角形
解析 因?yàn)閟in 2A+sin(A-C)-sin B
=sin 2A+sin(A-C)-sin(A+C)
=2sin AcosA-2sin CcosA
=2cos A(sin A-sin C)=0,
所以cosA=0或sin A=sin C,
所以A=或A=C.
故△ABC為等腰或直角三角形.
10.4
解析 由正弦定理知==2,所以a=2sin A,
代入得原式==4·=4.
11.30
解析 依題意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,
在△AMB中,由正弦定理得=,解得BM=30.
12.4
解析 在△ACD中,cos∠ADC===-,
整理得AD2+DC2=48-AD·DC≥2AD·DC,
∴AD·DC≤16,當(dāng)且僅當(dāng)AD=CD時(shí)等號(hào)成立,
∴△ADC的面積S=AD·DC·
sin∠ADC=AD·DC≤4.