《新編高考數學二輪復習 專題七：第1講坐標系與參數方程案文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編高考數學二輪復習 專題七：第1講坐標系與參數方程案文（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、新編高考數學復習資料第第 1 1 講講坐標系與參數方程坐標系與參數方程高考定位高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程；參數方程與普通方程的互化，常見曲線的參數方程及參數方程的簡單應用.以極坐標、參數方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識.真 題 感 悟1.(2017全國卷)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為cos4.(1)設點M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且|OM|OP|16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為2，3 ，點B在曲線C2上，求OAB面

2、積的最大值.解(1)設P的極坐標為(，)(0)，M的極坐標為(1，)(10).由題設知|OP|，|OM|14cos.由|OM|OP|16 得C2的極坐標方程為4cos(0).因此C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0).(2)設點B的極坐標為(B，)(B0).由題設知|OA|2，B4cos，于是OAB的面積S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.當12時，S取得最大值 2 3.所以OAB面積的最大值為 2 3.2.(2017全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為x3cos，ysin(為參數)，直線l的參數方程為xa4t，y1t(t為參數).(

3、1)若a1，求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l距離的最大值為 17，求a.解(1)a1 時，直線l的普通方程為x4y30.曲線C的標準方程是x29y21，聯立方程x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.則C與l交點坐標是(3，0)和2125，2425 .(2)直線l的普通方程是x4y4a0.設曲線C上點P(3cos，sin).則P到l距離d|3cos4sin4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan34.又點C到直線l距離的最大值為 17.|5sin()4a|的最大值為 17.若a0，則54a17，a8.若a0)且垂直于極軸：cosa；(3)直線過Mb，2

4、 且平行于極軸：sinb.3.圓的極坐標方程幾個特殊位置的圓的極坐標方程：(1)當圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當圓心位于M(r，0)，半徑為r：2rcos；(3)當圓心位于Mr，2 ，半徑為r：2rsin.4.直線的參數方程經過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數方程為xx0tcos，yy0tsin(t為參數).設P是直線上的任一點，則t表示有向線段P0P的數量.5.圓、橢圓的參數方程(1)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數方程為xx0rcos，yy0rsin(為參數，02).(2)橢圓x2a2y2b21 的參數方程為xacos，ybsin(為參數).熱點一曲線的極坐標方

5、程【例 1】(2015全國卷)在直角坐標系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1，C2的極坐標方程；(2)若直線C3的極坐標方程為4(R R)，設C2與C3的交點為M，N，求C2MN的面積.解(1)因為xcos，ysin，所以C1的極坐標方程為cos2，C2的極坐標方程為22cos4sin40.(2)將4代入22cos4sin40，得23 240，解得12 2，2 2.故12 2，即|MN| 2.由于C2的半徑為 1，所以C2MN的面積為12.【遷移探究 1】本例條件不變，求直線C1與曲線C3交點的極坐標.解聯立

6、方程cos2，4，解之得4且2 2.所以直線C1與曲線C3交點的極坐標為2 2，4 .【遷移探究 2】本例條件不變，求圓C2關于極點的對稱圓的方程.解點(，)與點(，)關于極點對稱，設點(，)為對稱圓上任意一點，則(，)在圓C2上，()22cos4sin40，故所求圓C2關于極點的對稱圓方程為22cos4sin40.探究提高1.進行極坐標方程與直角坐標方程互化的關鍵是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tanyx(x0)，要注意，的取值范圍及其影響，靈活運用代入法和平方法等技巧.2.由極坐標方程求曲線交點、距離等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，可先轉化為直角坐標方程，然后求解.

7、【訓練 1】 (2017北京東城區(qū)調研)在極坐標系中， 已知極坐標方程C1：cos 3sin10，C2：2cos.(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩點間的距離.解(1)由C1：cos 3sin10，x 3y10，表示一條直線.由C2：2cos，得22cos.x2y22x，則(x1)2y21，C2是圓心為(1，0)，半徑r1 的圓.(2)由(1)知，點(1，0)在直線x 3y10 上，因此直線C1過圓C2的圓心.兩交點A，B的連線段是圓C2的直徑，因此兩交點A，B間的距離|AB|2r2.熱點二參數方程及其應用【例 2】(2014全

8、國卷)已知曲線C：x24y291，直線l：x2t，y22t(t為參數).(1)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任一點P作與l夾角為 30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值.解(1)曲線C的參數方程為x2cos，y3sin(為參數).直線l的普通方程為 2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos，3sin)到l的距離為d55|4cos3sin6|.則|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中為銳角，且 tan43.當 sin()1 時，|PA|取得最大值，最大值為22 55；當 sin()1 時，|PA|取得最小值，最小值為2 55.探究提高1

9、.將參數方程化為普通方程的過程就是消去參數的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對參數方程進行變形，為消去參數創(chuàng)造條件.2.在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數方程代入相關曲線的普通方程中，根據參數的取值條件求解.【訓練 2】(2017郴州三模)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為x2cos，y22sin(為參數)，直線l的參數方程為x122t，y22t(t為參數).以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標方程；(2)若直線l與曲

10、線C的兩個交點分別為M，N，直線l與x軸的交點為P，求|PM|PN|的值.解(1)直線l的參數方程為x122t，y22t(t為參數)，消去參數t，得xy10.曲線C的參數方程為x2cos，y22sin(為參數)，利用平方關系，得x2(y2)24，則x2y24y0.令2x2y2，ysin，代入得C的極坐標方程為4sin.(2)在直線xy10 中，令y0，得點P(1，0).把直線l的參數方程代入圓C的方程得t23 2t10，t1t23 2，t1t21.由直線參數方程的幾何意義，|PM|PN|t1t2|1.熱點三極坐標與參數方程的綜合應用【例 3】(2016全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參

11、數方程為x 3cos，ysin(為參數)，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin4 2 2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.解(1)C1的普通方程為x23y21，曲線C2的直角坐標方程為xy40.(2)由題意，可設點P的直角坐標為( 3cos，sin).因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值.又d()| 3cossin4|2 2|sin3 2|，當且僅當2k6(kZ Z)時，d()取得最小值，最小值為 2，此時點P的直角坐標為32，1

12、2 .探究提高1.涉及參數方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然，還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.2.數形結合的應用，即充分利用參數方程中參數的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的.【訓練 3】(2017哈爾濱模擬)已知曲線C的參數方程為x22cos，y2sin(為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系， 直線l的極坐標方程為sin64.(1)寫出曲線C的極坐標方程和直線l的普通方程；(2)若射線3與曲線C交于O，A兩點， 與直線l交于B點， 射線116與曲線C交于O，P兩點，求PAB的面積

13、.解(1)由x22cos，y2sin(為參數)，消去.普通方程為(x2)2y24.從而曲線C的極坐標方程為24cos0，即4cos，因為直線l的極坐標方程為sin6 4，即32sin12cos4，直線l的直角坐標方程為x 3y80.(2)依題意，A，B兩點的極坐標分別為2，3 ，4，3 ，聯立射線116與曲線C的極坐標方程得P點極坐標為2 3，116，|AB|2，SPAB1222 3sin36 2 3.1.在已知極坐標方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標解決，或用極坐標解決較麻煩，可將極坐標方程轉化為直角坐標方程解決.2.要熟悉常見曲線的參數方程、極坐標方程，如：圓、

14、橢圓、及過一點的直線，在研究直線與它們的位置關系時常用的技巧是轉化為普通方程解答.3.過定點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數方程的標準形式為xx0tcos，yy0tsin(t為參數)，t的幾何意義是P0P的數量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負之分.使用該式時直線上任意兩點P1，P2對應的參數分別為t1，t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點對應的參數為12(t1t2).1.(2017江蘇卷)在平面坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為x8t，yt2(t為參數)，曲線C的參數方程為x2s2，y2 2s(s為參數).設P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值.解由x8t

15、，yt2消去t.得l的普通方程為x2y80，因為點P在曲線C上，設點P(2s2，2 2s).則點P到直線l的距離d|2s24 2s8|52（s 2）245，當s 2時，d有最小值454 55.2.(2017貴陽調研)以直角坐標系中的原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，已知曲線的極坐標方程為21sin.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|3|OQ|，求直線l的極坐標方程.解(1)x2y2，siny，21sin化為sin2，曲線的直角坐標方程為x24y4.(2)設直線l的極坐標方程為0(R R)，根據題意，不妨設P(0，0)，則Q(，

16、1)，且031，即21sin0321sin（0），解得06或056，直線l的極坐標方程6(R R)或56(R R).3.(2017全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為x2t，ykt(t為參數)，直線l2的參數方程為x2m，ymk(m為參數).設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：(cossin) 20，M為與C的交點，求M的極徑.解(1)由l1：x2t，ykt(t為參數)消去t，化為l1的普通方程yk(x2)，同理得直線l2的普通方程為x2ky，聯立，消去k，得x2y24(y0)

17、.所以C的普通方程為x2y24(y0).(2)將直線l3化為普通方程為xy 2，聯立xy 2，x2y24得x3 22，y22，2x2y2184245，與C的交點M的極徑為 5.4.(2017新鄉(xiāng)三模)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為4cos，曲線M的直角坐標方程為x2y20(x0).(1)以曲線M上的點與點O連線的斜率k為參數，寫出曲線M的參數方程；(2)設曲線C與曲線M的兩個交點為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和.解(1)由x2y20（x0） ，ykx得x22k1，y2k2k1.故曲線M的參數方程為x22k1，y2k2k1k為參數，且k12

18、.(2)由4cos，得24cos，x2y24x.將x22k1，y2k2k1代入x2y24x整理得k24k30，k1k24.故直線OA與直線OB的斜率之和為 4.5.(2016全國卷)在直角坐標系xOy中， 曲線C1的參數方程為xacost，y1asint(t為參數，a0).在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為0，其中0滿足 tan02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解(1)消去參數t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓.將x

19、cos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組22sin1a20，4cos.若0，由方程組得 16cos28sincos1a20，由已知 tan2，可得 16cos28sincos0，從而 1a20，解得a1(舍去)，a1.a1 時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上.所以a1.6.(2017樂山二模)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為x1tcos，ytsin(t為參數，0)，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為4cos，圓C的圓心到直線l的距離為32.(1)求的值；(2)已知P(1，0)，若直線l與圓C交于A，B兩點，求1|PA|1|PB|的值.解(1)由直線l的參數方程為x1tcos，ytsin(t為參數， 0)， 消去參數t， 得xsinycossin0.圓C的極坐標方程為4cos，即24cos.可得圓C的普通坐標方程為x2y24x0，可知圓心為(2，0)，圓C的圓心到直線l的距離為d|2sinsin|sin2cos23sin.由題意：d32，即 3sin32，則 sin12，00，t1，t2是同號.1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1|t2|t1t2|t1t2|t1t2|3 35.