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新編高考數(shù)學理科總復習【第二章】函數(shù)、導數(shù)及其應用 第十五節(jié)

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第十五節(jié) 用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 會利用導數(shù)解決某些實際問題 [來源:] 知識梳理  優(yōu)化問題:社會經(jīng)濟生活、生產(chǎn)實踐與科學研究等實際問題中有關求利潤________、用料________、效率________等問題通常稱為________問題. 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟: (1)分析實際問題中各個量之間的關系,建立實際問題的________,寫出實際問題中______,根據(jù)實際問題確定定義域;[來源:] (2)求函數(shù)y=f(x)的______,解方程________,得出定義域內(nèi)的實根,確定________;

2、 (3)比較函數(shù)在________和________的函數(shù)值的大小,獲得所求函數(shù)的最大(小)值; (4)還原到實際問題中作答. 基礎自測 1.以長為10的線段AB為直徑作半圓,則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為(  ) A.10    B.15    C.25    D.50 答案:C 2.某產(chǎn)品的銷售收入y1 (萬元)是產(chǎn)品x(千臺)的函數(shù),y1=17x2,生產(chǎn)總成本y2(萬元)也是x的函數(shù),y2=2x3-x2(x>0),為使利潤最大,應生產(chǎn)(  ) A.9千臺 B.8千臺 C.6千臺 D.3千臺 解析:f(x)=

3、y1-y2=-2x3+18x2,f′(x)=-6x2+36x=0,x=6,故選C. 答案:C 3.一個物體的運動方程為s=1-t+t2,其中s的單位是米,t的單位是秒,那么物體在3秒末的瞬時速度是(  ) A.7米/秒 B.6米/秒 C.5米/秒 D.8米/秒 解析:由導數(shù)的物理意義知,位移的導數(shù)是瞬時速度,由s=1-t+t2求導得v=s′=-1+2t,當t=3時,v=5.故選C.[來源:] 答案:C 4.當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時,它的底面半徑_________時,才能使飲料罐的體積最大. 解析:設圓柱形金屬飲料罐

4、的底面半徑為R,高為h. S=2πRh+2πR2? h=[來源:數(shù)理化網(wǎng)] ?V(R)=πR2=(S-2πR2)R=SR-πR3 ?V′(R)=S-3πR2, 令V′(R)=0,∴R= . 因V(R)只有一個極值點,故它就是最大值點. 答案: 1.放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變.假設在放射性同位素銫137的衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關系M(t)=M02-,其中M0為t=0時銫137的含量.已知t=30時,銫137的含量的變化率是-10ln 2(單位:太貝克/年),則M(6

5、0)=(  ) A.5太貝克       B.75ln 2太貝克 C.150ln 2太貝克 D.150太貝克 解析:因為M′(t)=-ln 2×M02-,則M′(30)=-ln 2×M02-=-10ln 2,解得M0=600,所以M(t)=600×2-,那么M(60)=600×2-=600×=150(太貝克).故選D. 答案:D 2.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù),已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克. (1)求a的值;

6、(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.[來源:] 解析:(1)因為x=5時,y=11,所以+10=11?a=2. (2)由(1)知該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2,所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6),3

7、) f′(x) + 0 - f(x) ↗ 極大值42  由上表可得,x=4是f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點,也是最大值點. 所以當x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值f(4)=42. 答案:見解析 1.某工廠從2005年開始,近8年以來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前4年年產(chǎn)量的增長速度越來越慢,后4年年產(chǎn)量的增長速度保持不變,則該廠這種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時間的函數(shù)圖象可能是(  ) 解析:觀察知,選項B中,0

8、.故選B. 答案:B[來源:] 2.一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比,已知當速度為10 km/h時燃料費是6元/h,而其他與速度無關的費用是96元/h,問輪船以何種速度航行時,能使行使路程的費用總和最??? 解析:設船的行使速度為x km/h(x>0)時,燃料費用為Q元/h,則Q=kx3, 則6=k·103,∴k=,從而Q=x3,設總費用為y元,行駛路程為a, 則y=·=a, ∴y′=a,令y′==0得x=20, 且x∈(0,20)時,y′<0;當x∈(20,+∞)時,y′>0,[來源:] 所以當x=20時,y最?。? 答案:見解析 [來源:]

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