新版高三數(shù)學(xué)理33個黃金考點總動員 考點02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件解析版 Word版含解析
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1、 1
2、 1 高三數(shù)學(xué)33個黃金考點總動員 【考點剖析】 1.最新考試說明: (1)了解命題的概念,會分析原命題及其逆命題、否命題與逆否命題這四種命題的相互關(guān)系. (2)理解必要條件、充分條件與充要條件的意義. 2.命題方向預(yù)測: (1)四種命題的概念及其相互關(guān)系、四種命題真假的判斷、充分要條件的判定及其應(yīng)用是高考的熱點. (2)題型主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). (
3、3)本節(jié)知識常與集合、函數(shù)、不等式、數(shù)列、立體幾何中的直線、平面間的位置關(guān)系、復(fù)數(shù)等知識結(jié)合,在復(fù)習(xí)是要加強對集合、函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識理解與掌握. 3.課本結(jié)論總結(jié): (1)命題的概念 在數(shù)學(xué)中用語言、符號或式子表達的,可以判定真假的陳述句叫做命題.其中,判定為真的命題叫真命題,判定為假的命題叫假命題. (2)四種命題及其關(guān)系 ①四種命題及其關(guān)系 ②四種命題的真假關(guān)系 逆命題與否命題互為逆否命題;互為逆否命題的兩個命題同真假,互逆或互否的兩個命題,它們的真假沒有關(guān)系. (3)充分條件與必要條件 ①若,則是充分條件,是的必要條件. ②若,且,則是充要條件 4.名
4、師二級結(jié)論: (1) 常見結(jié)論的否定形式 結(jié)論 是 都是 大于 小于 至少一個 至多一個 至少個 至多有個 對所有,成立 或 且 對任何,不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 一個也沒有 至少兩個 至多有()個 至少有()個 存在某,不成立 且 或 存在某,成立 (2)充要條件判定方法 ①定義法:若,則是充分條件;若,則是必要條件;若,且,則是充要條件. ②集合法:若滿足條件的集合為A,滿足條件的集合為B,若AB,則是的充分不必要條件;若BA,則是必要不充分條件;若A=B則,是 充要條件。 對充要條件判定問題,一定要
5、分清誰是條件,誰是結(jié)論,若條件、結(jié)論滿足的條件易求,常用集合法. ③利用原命題與逆命題的真假判斷 若原命題為“若則”,則有如下結(jié)論: (1)若原命題為真逆命題為假,則是的充分不必要條件; (2)若原命題為假逆命題為真,則是的必要不充分條件; (3)若原命題與逆命題都為真,則是的充要條件; (4)若原命題與逆命題都為假,則是的既不充分也不必要條件 5.課本經(jīng)典習(xí)題: (1)新課標(biāo)A版第8 頁習(xí)題1.1A組,第2題 【經(jīng)典理由】本題考查了命題的四種形式及其真假的判定,特別是都是的否定是一個難點,也是一個??键c. (2)新課標(biāo)A版第12頁習(xí)題1.2A組第3題 【經(jīng)典理由】本題
6、主要考查了充要條件的三種判定方法,具有代表性. 6.考點交匯展示: (1)與集合交匯 例1【20xx高考湖南,理2】.設(shè),是兩個集合,則“”是 “”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】C. 【解析】 由題意得,,反之,,故為充要條件,選C. (2)與不等式交匯 例2【20xx高考天津,理4】設(shè) ,則“ ”是“ ”的( ) (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充要條件
7、(D)既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】,或,所以 “ ”是“ ”的充分不必要條件,故選A. (3)與函數(shù)交匯 例3 【20xx高考一輪配套特供】 “10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由10a>10b得a>b,由lga>lgb得a>b>0,所以“10a>10b”是“l(fā)ga>lgb”的必要不充分條件,選B. (4)與平面向量結(jié)合 例4【20xx北京西城區(qū)二?!吭O(shè)平面向量,,均為非零向量,則“”是“”的( ) (
8、A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由得,,得;反之不成立,故是的必要而不充分條件. (5)與復(fù)數(shù)交匯 例5【20xx浙江理 2】已知是虛數(shù)單位,,則“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A. 【解析】(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,于是a2-b2=0,2ab=2解得a=b=1或a=b=-1 ,故選A. (6)與立體幾何交匯 例6 【陜西高考
9、前30天保溫訓(xùn)練17】已知直線a,b,平面α,β,則a∥α的一個充分條件是( ) A.a(chǎn)⊥b,b⊥α B.a(chǎn)∥β,β∥α C.bα,a∥b D.a(chǎn)∥b,b∥α,aα 【答案】D (7)與數(shù)列交匯 例7【20xx高考湖北,理5】設(shè),. 若p:成等比數(shù)列; q:,則( ) A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件 B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件 C.p是q的充分必要條件 D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件 【答案】A 【解析】對命題
10、p:成等比數(shù)列,則公比且; 對命題,①當(dāng)時,成立; ②當(dāng)時,根據(jù)柯西不等式,等式成立, 則,所以成等比數(shù)列,所以是的充分條件,但不是的必要條件. 【考點分類】 熱點一 命題及其關(guān)系 1. 【20xx陜西高考理第8題】原命題為“若互為共軛復(fù)數(shù),則”,關(guān)于逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是( ) (A)真,假,真 (B)假,假,真 (C)真,真,假 (D)假,假,假 【答案】 為真;故選. 2. 【20xx高考天津(理)】已知下列三個命題: ①若一個球的半徑縮小到原來的, 則其體積縮小到原來的; ②若兩組數(shù)據(jù)的
11、平均數(shù)相等, 則它們的標(biāo)準差也相等; ③直線x + y + 1 = 0與圓相切. 其中真命題的序號是: ( ) (A) ①②③ (B) ①② (C) ①③ (D) ②③ 【答案】C 【解析】由球的體積公式可知:①正確;對③,圓心(0,0)到直線x + y + 1 = 0的距離為,等于圓的半徑,故正確;而②是錯誤的,故選C. 【方法規(guī)律】 1.判斷一個命題的真假有兩種方法,法一:直接法,用直接法判定命題為真命題,需要嚴格的推理、考慮各種情況由命題條件推出結(jié)論正確,要判定一個命題為假命題,只要舉出一個反例就行;法二:等價值法,若不易
12、直接判斷它的真假,利用原命題與其逆否命題同真假轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假。 2.正確的命題要有充分的依據(jù),不一定正確的命題要舉出反例,這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式,也是兩種不同的解題方向,有時舉出反例可能比進行推理論證更困難,二者同樣重要. 3. 在書寫命題的四種形式時,首先要將命題轉(zhuǎn)化成“若p,則q”的形式,然后嚴格按定義書寫,注意正確應(yīng)用常見詞語的否定. 4.在判斷四種形式的命題真假時,先判斷原命題的真假,再判斷逆命題的真假,然后根據(jù)等價關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假. 【解題技巧】 1.當(dāng)一個命題有大前提而要寫出其他三個命題時,必須保留大前提且不作改換. 2.在判斷命題的真假時,
13、如果不易直接判斷它的真假,可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假. 3.在書寫否命題題與您否命題時,要特別注意條件的否定和結(jié)論的否定即為條件的反面和結(jié)論的反面. 【易錯點睛】 1.區(qū)分否命題與命題:①否命題是將原命題的條件否定作為條件,將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個新的命題;②命題的否定只是否定命題的結(jié)論,常用于反證法. 2.特別要注意含有邏輯連結(jié)詞的否定形式. 例 寫出命題“若,則,全為0”的否命題. 【錯解】若,則,全不為0. 【錯因分析】①將命題否定與否命題混淆;②命題結(jié)論否定錯誤, “,全為0”的否定應(yīng)為“,不全為0”,而不是“,全為0”. 【預(yù)防措施】①要正確區(qū)分命題的
14、否定與否命題:寫一個命題的否命題,既要否定條件又要否定結(jié)論,只否定結(jié)論,得到的命題是命題的否定;②對條件和結(jié)論的否定要正確,如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,條件和結(jié)論的否定就是分別找條件和結(jié)論的對立面,抓住這一點就可以避免類似的錯誤. 【正解】若,則,不全為0. 熱點二 充分條件與必要條件 1. 【20xx高考重慶,理4】“”是“”的( ) A、充要條件 B、充分不必要條件 C、必要不充分條件 D、既
15、不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】,因此選B. 2.【20xx高考福建卷理第6題】直線與圓相交于兩點,則是“的面積為”的( ) 充分而不必要條件 必要而不充分條件 充分必要條件 既不充分又不必要條件 【答案】A 3.【20xx高考湖北卷理第3題】設(shè)為全集,是集合,則“存在集合使得是“”的( ) A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】①當(dāng),,且,則,反之當(dāng),必有
16、.
②當(dāng),,且,則,反之,若,則,
,所以.
③當(dāng),則;反之,,.
綜上所述,“存在集合使得是“”的充要條件.
4. 【20xx北京理5】設(shè)是公比為的等比數(shù)列,則是為遞增數(shù)列的( )
充分且不必要條件 必要且不充分條件
充分必要條件 既不充分也不必要條件
【答案】D.
【解析】當(dāng)a1<0,q>1時,數(shù)列{an}遞減;當(dāng)a1<0,數(shù)列{an}遞增時,0 17、充分條件 (C)充要條件 (D)既不充要也不必要條件
【答案】C.
6. 【20xx高考上海理科第15題】設(shè),則“”是“”的( )
(A)充分條件 (B)必要條件
(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件
【答案】B
【解析】若,則,但當(dāng)時也有,故本題就選B.
【方法規(guī)律】
1.在進行充分條件、必要條件的判斷時,首先要明確哪個論斷是條件,哪個論斷是結(jié)論,再從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q,二是由條件q能否推得條件p,結(jié)合定義即可做出判斷.
2.充分條件、必要條件的三種判斷方法,要注意靈活應(yīng)用.利用集合法進行判斷時,借 18、助數(shù)軸能直觀顯示兩個集合的關(guān)系,從而命題易于求解.對于條件或結(jié)論是否定形式的充分條件、必要條件的判斷,要善于利用等價命題進行判斷.
【解題技巧】
1.在進行充要條件判斷時,在明確條件、結(jié)論的基礎(chǔ)上,將條件進行適當(dāng)?shù)幕喖昂侠淼谋硎緱l件間的推出關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.
2.在利用集合法進行充要條件判斷時,常借助數(shù)軸直觀顯示兩個集合的關(guān)系,從而使問題易于求解.
3.在利用命題法判定充要條件時,對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題,除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外,還可利用原命題和逆否命、逆命題和否命題的等價性,轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題.
【易錯點睛】
在判斷充要條件時,因條 19、件與結(jié)論分不清或因考慮不全面導(dǎo)致致錯誤.
例 已知:“向量與向量的夾角為鈍角”是:“<0”的 條件.
【錯解】若向量與向量的夾角為鈍角,則<0,即<0,故是的充要條件.
【錯因分析】判斷條件與結(jié)論之間的關(guān)系時要從兩個方向判斷,而上面之判定了一個方向就下結(jié)論,忽視了對“<0”成立時能否導(dǎo)出“向量與向量的夾角為鈍角”的判斷.
【防范措施】判斷充要條件時要注意兩點:首項要分清哪個是條件,哪個是條件;其次要從兩個方向進行判斷,即條件能否導(dǎo)出結(jié)論與結(jié)論能否導(dǎo)出條件.
【正解】若向量與向量的夾角為鈍角,則<0,即<0,即;
當(dāng)<0,即<0,因為,所以,故向量與向量的夾角為鈍角或平 20、角,即,故是的充分不必要條件.
【熱點預(yù)測】
1. 【20xx高考安徽,理3】設(shè),則是成立的( )
(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】A
2.?以下四個命題中,真命題的個數(shù)為 ( )
①集合的真子集的個數(shù)為;
②平面內(nèi)兩條直線的夾角等于它們的方向向量的夾角;
③設(shè),若,則且;
④設(shè)無窮數(shù)列的前項和為,若是等差數(shù)列,則一定是常數(shù)列.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】B
【解析】對于①,集合的真子集的個數(shù)為24- 21、1=15,∴①對;
對于②,平面內(nèi)兩條直線的夾角不大于直角,而方向向量的夾角可以為鈍角,故②錯;
對于③,∵12+i2=0但1與i都不為0,故③錯;
對于④,若是等差數(shù)列,可設(shè)Sn=S1+(n-1)d,a1=S1,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1= d,
當(dāng)且僅當(dāng)S1=d時是常數(shù)列,故④錯.
3. 【20xx高考安徽卷理第2題】“”是“”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為,所以,即,因而“”是“”的必要而不充分條件
22、4.【福建福州三中考前模擬】原命題 :“設(shè)>”以及它的逆命題,否命題、逆否命題中,真命題共有( )個.
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】C
5.【安徽“江南十?!倍!俊啊笔恰爸本€與直線平行”的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當(dāng)時,直線與直線可能平行或重合;若直線與直線平行,則故選
6.【20xx河北“五個一名校聯(lián)盟”質(zhì)監(jiān)(一)3】已知,如果是的充分不必要條件,則實數(shù)k的取值范圍是 23、 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得,,即,解得或,由是的充分不必要條件知,,故選B.
7.【20xx湖北武漢9月調(diào)研測試2】已知集合,,則是的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A.
【解析】若:則有,若:則或,∴是充分不必要條件.
8. 【山東東營市4月質(zhì)量檢測】“實數(shù)”是“復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的模為”的( )
A.充分非必要條件 24、 B.必要非充分條件
C.充要條件 D.既非充分條件又不必要條件
【答案】
9. 【湖南長沙二?!恐?,角的對邊分別為,則“”是“是等腰三角形”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)時,由余弦定理得,,故,即,所以是等腰三角形,反之,當(dāng)是等腰三角形時,不一定有,故“”是“是等腰三角形”的充分不必要條件.
10.【安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考】若且,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
25、
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
11. “”是“直線和直線互相垂直”的 ( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為時,兩直線分別是直線和直線兩直線的斜率分別是1和-1.所以兩直線垂直,所以充分性成立;當(dāng)直線和直線互相垂直則.所以必要性成立.故選C.
12.【20xx上海交大附中上期高三數(shù)學(xué)摸底考試】集合,.若“a=1”是“”的充分條件,則實數(shù)b的取值范圍是 .
【答案】
【解析】“a=1”是“”的充分條件的意思是說當(dāng)時,,現(xiàn)在,,由得或,即或,所以的范圍是.
13.設(shè),則是的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為知,知顯然,反之不成立,選B.
14.【安徽“江南十校”二?!肯铝薪Y(jié)論中正確的是(填上所有正確結(jié)論得序號)
①對于函數(shù),若,使得,則函數(shù)關(guān)于直線對稱;
②函數(shù)有2個零點;
③若關(guān)于的不等式的解集為,則;
④已知隨機變量服從正態(tài)分布且,則;
⑤等比數(shù)列的前項和為,已知,則
【答案】③④⑤
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