《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時(shí)集訓(xùn):51 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時(shí)集訓(xùn):51 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析(8頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
橢圓及其性質(zhì)
建議用時(shí):45分鐘
一、選擇題
1.橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則|PF2|等于( )
A. B. C. D.4
A [由題意知F1(-,0),把x=-,代入方程+y2=1得+y2=1,解得y=±,則|PF1|=,所以|PF2|=4-|PF1|=4-=,故選A.]
2.(2018·全國卷Ⅰ)已知橢圓C:+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
C [不妨設(shè)a>0,因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),所以c=2,所以a2=4+4=8
2、,所以a=2,所以橢圓C的離心率e==.]
3.橢圓+=1的焦距為4,則m等于( )
A.4 B.8
C.4或8 D.12
C [由題意知,即2<m<10.
又2c=4,即c=2,則(10-m)-(m-2)=4或(m-2)-(10-m)=4,
解得m=4或m=8,故選C.]
4.(2019·呼和浩特模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn).若∠A1PA2的最大值可以取到120°,則橢圓C的離心率為( )
A. B.
C. D.
D [由題意知,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的短軸端點(diǎn)處時(shí),∠A1PA2有最大值,則tan 60°=,即=
3、.
所以e2=1-=1-=,
即e=,故選D.]
5.△ABC的周長是8,B(-1,0),C(1,0),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是( )
A.+=1(x≠±3) B.+=1(x≠0)
C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)
A [由題意知|BC|=2,|AB|+|AC|=6,
∴點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓且2a=6,c=1,則b2=8.
所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為+=1(x≠±3).]
二、填空題
6.已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為(0,-2)且a=2b,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
+=1 [由題意知解得
因此所求橢圓方程為+=1.]
7.已知橢圓+=1
4、的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在該橢圓上,若|PF1|-|PF2|=2,則△PF1F2的面積是________.
[由題意知解得
又|F1F2|=2,則|F1F2|2+|PF2|2=|PF1|2,
即PF2⊥F1F2.
∴S△PF1F2=×|F1F2|×|PF2|=×2×1=.]
8.橢圓+=1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m,當(dāng)m取最大值時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
(-3,0)或(3,0) [記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,有|PF1|+|PF2|=2a=10.
則m=|PF1|·|PF2|≤2=25,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|=5,即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處
5、時(shí),m取得最大值25.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,0)或(3,0).]
三、解答題
9.已知橢圓的中心在原點(diǎn),兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,且過點(diǎn)A(-4,3).若F1A⊥F2A,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[解] 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
設(shè)焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)(c>0).
∵F1A⊥F2A,∴·=0,
而=(-4+c,3),=(-4-c,3),
∴(-4+c)·(-4-c)+32=0,
∴c2=25,即c=5.
∴F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0).
∴2a=|AF1|+|AF2|
=+
=+=4,
∴a=2,
∴b2=a2-c2=(2)2-52
6、=15.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
10.已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=,求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).
[解] 橢圓方程可化為+=1,m>0.
∵m-=>0,
∴m>,∴a2=m,b2=,
c==.
由e=,得=,∴m=1.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+=1,
∴a=1,b=,c=.
∴橢圓的長軸長和短軸長分別為2a=2和2b=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,F(xiàn)2,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(-1,0),A2(1,0),B1,B2.
1.(2019·哈爾濱模擬)設(shè)橢圓C:+y2=1的左焦點(diǎn)為F,直線l:y=kx(k≠0)與橢圓C交于
7、A,B兩點(diǎn),則|AF|+|BF|的值是( )
A.2 B.2
C.4 D.4
C [設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,連接AF2,BF2.(圖略)因?yàn)閨OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四邊形AFBF2是平行四邊形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.故選C.]
2.(2019·衡水模擬)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上一點(diǎn),且∠F1PF2=,若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,當(dāng)R=4r時(shí),橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
B [由題意知|F1F2|=2c,根據(jù)
8、正弦定理可得
2R===c,即R=.
由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4a2-3|PF1|·|PF2|,
∴|PF1||PF2|=(a2-c2).
∴S△F1PF2=|PF1||PF2|sin=.
又S△F1PF2=(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=(a+c)r,
∴=(a+c)r,
∴r=.
由R=4r得=,
∴=,故選B.]
3.(2019·揭陽模擬)已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)恰好是邊長為2的正方形的頂點(diǎn),則該橢圓的標(biāo)
9、準(zhǔn)方程為________.
+=1 [設(shè)橢圓上、下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為A.
由題意知|AF1|=|AF2|=a=2,|F1F2|=2,c=b=
則所求橢圓方程為+=1.]
4.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
[解](1)根據(jù)c=及題設(shè)知M,=,2b2=3ac.
將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=,=-2(舍去).
故C的離心率為.
(2)由題意
10、,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,
所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故=4,即b2=4a. ①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則
即
把點(diǎn)N(x1,y1)代入C的方程,得+=1. ②
將①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
1.若橢圓b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)和圓x2+y2=2有四個(gè)交點(diǎn),其中c為橢圓的半焦距,則橢圓的離心率e的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
A [由題意可知,橢圓的上、下頂點(diǎn)
11、在圓內(nèi),左、右頂點(diǎn)在圓外,則整理得解得<e<.]
2.已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.
[解](1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0).
由題意得解得c=.
所以b2=a2-c2=1.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).
由題設(shè)知m≠±2,且n≠0.
直線AM的斜率kAM=,
故直線DE的斜率kDE=-.
所以直線DE的方程為y=-(x-m).
直線BN的方程為y=(x-2).
聯(lián)立
解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-.
由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2,
所以yE=-n.
又S△BDE=|BD|·|yE|=|BD|·|n|,
S△BDN=|BD|·|n|,
所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.