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1、 三角形 1．“三角形兩邊的和大于第三邊〞在實際中的應(yīng)用； 2．三角形的“三線〞〔高、中線、角平分線〕在實際中的應(yīng)用； 3．三角形、多邊形內(nèi)〔外〕角和定理及其應(yīng)用。 一、概念 由三條不在同一直線上的線段首尾順次相連而構(gòu)成的平面圖形 叫 三角形。 注意其中：①不在同一直線上〔或說不共線〕；②是三條線段；③首尾順次相連 這三個條件缺一不可。 二、分類 〔1〕按角分類：分為 斜三角形〔包括銳角三角形 和 鈍角三角形〕 直三角形〔即直角三角形〕 〔2〕按邊分類：分為 不等邊三角形 等腰三角形〔包括

2、只有兩邊相等/或說是底腰不等的三角形 和 三邊相等/即等邊的三角形〕 注：①、等邊三角形是特殊的等腰三角形； ②、一個三角形中最多只有一個鈍角，最少有二個銳角。 三、三角形的三邊關(guān)系 1、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。( 即 a+b>c ,或a+c>b ,或b+c>a ) 2、推論：三角形的任意兩邊之差小于第三邊。 特別注意：〔1〕、以上兩點就是判斷任意給定的三條線段能否組成三角形的條件，但在實際做題時，并不需要去分析全部三組邊的大小關(guān)系，可簡化為：當三條線段中最長的線段小于另兩條較短線段之和時，或 當三條線段中最短的線段大于另兩條較長線段之差的絕對值時，即

3、可組成三角形。 〔2〕、三角形的兩邊a，b(a>b)，那么第三邊c的取值范圍為：a–b < c < a + b 〔3〕、并不需要知道三條線段的具體長度，而只要根據(jù)它們長度的比值，即可判斷是否可組成三角形。 例?。含F(xiàn)有長度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組成_______個三角形。 例ⅱ：以下幾組長度的線段能組成三角形的是：_____________ ①、3a ,5a ,8a(a>0) ②、a2 + 3 ,a2 + 4 ,a2 + 7 (a≠0) ③、3a , 4a , 2a + 1 (a>1/5) 例ⅲ：M是△ABC內(nèi)一點，試說明：AB +

4、 AC > MB + MC (圖自畫) 四、有關(guān)三角形邊長的綜合問題 1、等腰三角形：等腰三角形有兩相等的腰和一底邊，題目中往往并不直接說明腰和底邊，因此，解題時要分類討論，以免丟解。 例?。旱妊切蔚闹荛L為24cm，其中兩條邊長的比為 3 ：2，求該等腰三角形的三邊長。 例ⅱ：等腰三角形的周長是16cm， 〔1〕假設(shè)其中一邊長為6cm，求另外兩邊長； 〔2〕假設(shè)其中一邊長為4cm，求另外兩邊長。 例ⅲ：在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將三角形周長分為21和12兩局部，求這個三角形的腰長和底邊長。 注：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，假設(shè)等腰三角形的腰

5、長為a，那么底邊長x 的取值范圍是：0 < x < 2a ； 假設(shè)等腰三角形的底邊為a，那么腰長x 的取值范圍是：x > a/2 2、其它 例：△ABC和三角形內(nèi)的一點P，試說明：AB + AC > PB + PC (圖略) 五、三角形的中線、角平分線和高〔圖表區(qū)別〕 名稱 中線 角平分線 高 三角形一個角的平分線與對邊 相交，頂點與交點的連線段 三角形一邊上的中點與 這邊所對的頂點的連線段 從三角

6、形的頂點向?qū)吇驅(qū)叺难? 長線作垂線，垂足與頂點的連線段 定義 形狀 線段 線段 線段 數(shù)量 3條 3條 3條 銳角三角形的高均在三角形內(nèi)；直角三角形 斜邊上的高在三角形內(nèi)，另兩條高與兩條直 角邊重合；鈍角三角形最長邊上的高在三角 形內(nèi)，另兩條高在三角形外。 位置 三角形內(nèi)部

7、 三角形內(nèi)部 交于同一點，位于三角 形內(nèi)，叫三角形的內(nèi)心 交于同一點，位于三角 形內(nèi)，叫三角形的重心 交于同一點，叫三角形的垂心：銳角三角形 高的交點位于三角形內(nèi)部；直角三角形高的 交點與直角頂點重合；鈍角三角形高的交點 在三角形的外部。 交點 情況 例：判斷對錯： 〔1〕三角形的三條高在三角形的內(nèi)部?！? 〕 〔2〕以三角形的頂點為端點，且平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線?！? 〕 〔3〕三角形的中線將三角形分為面積相等的兩個三角形。〔 〕 〔4〕三角形的三條角平分線和三條中線在三角形內(nèi)部或外

8、部?！? 〕 注：1、畫任意一個三角形的三條高，對于初學(xué)者來講，有時會不太熟練，記住，要掌握好三角形的高的定義及位置情況，根據(jù)定義正確畫出三角形的高，口訣：“一靠二過三畫線〞； 2、要區(qū)分角的平分線和三角形角的平分線，前者是射線，后者是線段； ※ 3、三角形的一條中線把三角形的面積一分為二(因為“等底等高的三角形面積相等〞)，三角形的任意一條邊與該邊上的高的乘積的一半都等于這個三角形的面積，所以，有時，題目中出現(xiàn)了中線，或出現(xiàn)了高時，一定要有從面積入手來解題的意識。 ※ 4、三角形的三條中線相交于一點〔這點叫三角形的重心〕，且把原三角形分成面積相等的六個局部〔即六個小三角形〕。

9、 六、三角形的穩(wěn)定性 三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了，這個性質(zhì)叫三角形的穩(wěn)定性。除了三角形外，其它的多邊形不具有穩(wěn)定性，但可以通過連接對角線，把多邊形轉(zhuǎn)化為假設(shè)干個三角形，這個多邊形也就具有穩(wěn)定性了。多邊形要具有穩(wěn)定性，四邊形要添一條對角線，五邊形要添二條對角線 … …， n邊形要添〔n-3〕條對角線。 七、三角形的內(nèi)角和定理 三角形的內(nèi)角和等于180度。 要會利用平行線性質(zhì)、鄰補角、平角等相關(guān)知識推出三角形內(nèi)角和定理。 注：①、三角形的兩個內(nèi)角度數(shù)，可求出第三個角的度數(shù)； ②、等邊三角形的每一個內(nèi)角都等于60度；③、如果等腰三角形的一個內(nèi)角等于6

10、0度，那么這個等腰三角形就是等邊三角形。 ④、三角形中，有“大角對大邊，大邊對大角〞性質(zhì)，即度數(shù)較大的角，所對的邊就較長，或較長的邊，所對的角的度數(shù)較大。 例：〔1〕等腰三角形的一個內(nèi)角等于70度，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是多少度? 〔2〕等腰三角形的一個外角是100°，求這個三角形的三個內(nèi)角度數(shù)。 八、三角形的外角及其性質(zhì) 三角形的每一個內(nèi)角都有相鄰的兩個外角，且這兩個外角相等〔對頂角相等〕。一共有六個外角。 其中，從與三角形的每一個內(nèi)角相鄰的兩個外角中各取一個外角相加〔一共三個外角相加〕，叫三角形的外角和。 根據(jù)鄰補角、三角形的內(nèi)角和等相關(guān)知識，可知：三角形的

11、外角和 = 360 度。 性質(zhì)1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和。 性質(zhì)2、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角?！渤Ｓ糜诮鉀Q角的不等關(guān)系問題〕 例?。旱妊切蔚囊粋€外角等于100度，那么這個等腰三角形的三個內(nèi)角分別是多少度？ 例ⅱ：試用適宜的方法說明五角星的五個頂角和等于180°〔圖自畫〕 注：〔1〕、△ABC內(nèi)有一點O，連接BO、CO，那么有∠BOC = ∠A + ∠ABO +∠ACO 圖略 〔2〕、△ABC內(nèi)有一點M，連接BM、CM，BO、CO分別是∠ABM 和∠ACM的平分線，那么有∠BOC =(∠A +∠BMC)/2 〔3

12、〕、一個五角星，五個頂角的和等于180度?！部衫眯再|(zhì)1和三角形的內(nèi)角和來加以證明〕 〔4〕、BO、CO分別是△ABC的內(nèi)角平分線，BO、CO相交于點O，那么∠BOC = 90°+ ∠A/2 〔5〕、BO、CO分別是△ABC的外角平分線，BO、CO相交于點O，那么∠BOC = 90°- ∠A/2 〔6〕、BO是△ABC的內(nèi)角平分線，CO是△ABC的外角平分線，BO、CO相交于點O，那么∠BOC = ∠A/2 〔7〕、①銳角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對的角互補；②直角三角形兩條邊上的高相交所成的夾角與第三邊所對的角相等；③鈍角三角形一條鈍角邊上的高與鈍角所對最大邊上的高相

13、交所成的夾角與另一鈍角邊所對的角相等，但假設(shè)是兩條鈍角邊上的高相交所成的夾角，那么與第三邊所對的角互補。 ※ 請自行用適宜的方法說明以上各點！ 九、多邊形及其內(nèi)角和、外角和 1、概念：由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的平面圖形叫做多邊形。 三角形是最簡單的多邊形。 注：①、多邊形分為凸多邊形 和 凹多邊形，我們初中階段只研究凸多邊形。凸多邊形：整個多邊形都在任何一條邊所在直線的同一側(cè)，這樣的多邊形叫凸多邊形。 ②、正多邊形：各個內(nèi)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形。〔注：邊、角均相等兩條件缺一不可〕 ③、各邊都相等的多邊形不一定是正多邊形,例如菱形；各內(nèi)角都相等的

14、多邊形不一定是正多邊形,例如矩形。 2、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于：〔n-2〕×180° 推導(dǎo)方法〔1〕：由n邊形的一個頂點出發(fā)，作n邊形的對角線，一共可以作(n-3)條對角線，這些對角線把原來的n邊形分成了〔n-2〕個三角形，由三角形的內(nèi)角和等于180°，可得出該n邊形的內(nèi)角和為：〔n-2〕×180° 推導(dǎo)方法〔2〕：在n邊形的一邊上任取一點，由這一點出發(fā)，連接n邊形的各個頂點〔與所取點相鄰的兩個頂點除外〕，一共可以作〔n-2〕條連接線段，這些線段把原來的n邊形分成了〔n-1〕個三角形，但卻多出了一個平角，所以，該n邊形的內(nèi)角和為：〔n-1〕×180°- 180°= 〔

15、n-2〕×180° 推導(dǎo)方法〔3〕：在n邊形內(nèi)任取一點,由這一點出發(fā),連接n邊形的各個頂點,一共可以作n條連接線段,這些線段把原來的n邊形分成了n個三角形，但中間卻多出了一個周角，所以，該n邊形的內(nèi)角和為：n ×180°- 360°= 〔n-2〕×180° 注： ①、正n邊形的每一個內(nèi)角都等于[〔n-2〕×180°]/n ②、多邊形的內(nèi)角和是180°的整倍數(shù)。 ③、假設(shè)多邊形的邊數(shù)增加n條，那么它的內(nèi)角和增加n×180° ④、假設(shè)多邊形的邊數(shù)擴大2倍，那么它的內(nèi)角和增加n×180° ⑤、假設(shè)多邊形的邊數(shù)擴大m倍，那么它的內(nèi)角和增加(m-1)×n×180° 例：一個多邊

16、形的所有內(nèi)角和其中一個外角的度數(shù)和是1335°，這是個_______邊形，這個外角為______度。 一個多邊形除了一個內(nèi)角外,其余內(nèi)角之和為1680°,那么這個多邊形是_______邊形，這個內(nèi)角為______度。 3、多邊形的外角和：多邊形的外角和是一個定值，恒等于360°。 指的是取多邊形每一個頂點處的一個外角相加的和，故n邊形的外角和指的是n個外角相加的和。 多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)。 注：①、n邊形有[n×(n-3)]/2 條對角線。 例：十邊形有[10×(10-3)]/2 = 35 條對角線 ②、在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與

17、方程思想相結(jié)合，運用方程思想是解決本節(jié)運算的常用方法。 ③、在解決握手次數(shù)、通 次數(shù)以及單循環(huán)賽比賽場數(shù)問題時，可以建立多邊形模型，此類問題即為 多邊形的邊數(shù) + 對角線的條數(shù) 例：①、多邊形的每一個內(nèi)角都等于150°，那么這個多邊形的外角和是________°，內(nèi)角和為_________° ②、一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350°，那么此多邊形為________邊形。 ③、一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余內(nèi)角之和為1680°，那么這個多邊形是________邊形。 ④、∠ABC的兩邊分別與∠DEF的兩邊垂直，那么∠ABC和∠DEF的大小關(guān)系是互補 或 相等

18、。試畫圖說明。 ⑤、六個人去參加會議,要求每兩人之間要握一次手,那么這六個人共要握多少次手？〔把六個人看作六個點〕 十、鑲嵌 當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個平面圖形。 1、用同一種多邊形鑲嵌：這種多邊形可以不是正多邊形〔例如三角形、長方形、平行四邊形、菱形、梯形等〕，也可以是正多邊形〔例如正三角形、正方形、正六邊形〕。 三角形，四邊形均可單獨鑲嵌。 2、用多種多邊形鑲嵌：那么每種多邊形必須是正多邊形。例如：3個正三角 + 2個正方形，4個正三角形 + 1個正六邊形，2個正三角形 + 2個正六邊形，1個正方形 + 2個正八邊形，2個正五邊形 + 1個正十邊形，1個正六邊形 + 2個正十二邊形，1個正三角形 + 1個正八邊形 + 1個正二十四邊形，1個正方形 + 1個正六邊形 + 1個正十二邊形，1個正三角形 + 2個正方形 + 1個正六邊形，如此等等。 例：小明家需要購置地板磚鋪房間地面，現(xiàn)有正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正十二邊形這五種地板磚，那么能有哪幾種選擇？