江蘇省2012高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案 第62講 多項(xiàng)式
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1、教育資源 第62講 多項(xiàng)式理論 多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分,它在理論上和方法上對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有深刻的影響,與多項(xiàng)式有關(guān)的問題除了出現(xiàn)在函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)領(lǐng)域中,還涉及到幾何、數(shù)論等知識(shí),是一個(gè)綜合性的工具,也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問題.多項(xiàng)式的基本理論主要包括:余數(shù)定理與因式定理;多項(xiàng)式恒等條件;韋達(dá)定理;插值公式等.具體如下: 1.多項(xiàng)式恒等: (1) 多項(xiàng)式恒等條件:兩個(gè)多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們同次冪的系數(shù)相等. (2)帶余除恒等式:多項(xiàng)式f(x)除以多項(xiàng)式g(x),商式為q(x),余式為r(x),(則r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)),則.特別是多項(xiàng)式f(x)除以x-a,
2、商式為g(x),余數(shù)為r,則f(x)=(x-a)g(x)+r. (3)多項(xiàng)式恒等定理:若有n+1個(gè)不同的x值使n次多項(xiàng)式f(x)與g(x)的值相同,則. 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,經(jīng)常用到先猜想后證明的思想:比如先找出一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)符合題意,再驗(yàn)證f(x)與g(x)在n+1個(gè)不同的x值處,均有f(x)=g(x),則. 2.余數(shù)定理與因式定理: (1)余數(shù)定理:多項(xiàng)式f(x)除以x-a所得的余數(shù)等于f(a). (2)因式定理:多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a的充要條件是f(a)=0. (3)幾個(gè)推論: ①若f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式,則f(x)除以(x-a)所得的商也為整系數(shù)多項(xiàng)式,余
3、數(shù)為整數(shù). ②若f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式,a、b為不同整數(shù),則 ③f(x)除以所的的余數(shù)為. 3.代數(shù)基本定理 (1)代數(shù)基本定理:一個(gè)n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)至少有一個(gè)根. (2)根的個(gè)數(shù)定理:一個(gè)n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有且僅有n個(gè)根. 4.韋達(dá)定理與虛根成對(duì)定理 (1)韋達(dá)定理:如果一元n次多項(xiàng)式的根是,那么有 …… 簡(jiǎn)寫成. (2)復(fù)根成對(duì)定理:若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)虛根那么它的共軛復(fù)數(shù)也是f(x)的根,并且和有相同重?cái)?shù).運(yùn)用時(shí)要注意必須是實(shí)系數(shù)方程. 5.拉格朗日(Lagrange)插值公式 設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,數(shù)a1,a2,…,an+1兩兩
4、不等,則 . 簡(jiǎn)寫成f(x)=. A類例題 例1 將關(guān)于的多項(xiàng)式表為關(guān)于的多項(xiàng)式其中則 .(2005年全國(guó)聯(lián)賽一試) 分析 先利用等比數(shù)列的求和公式求出f(x)的表達(dá)式,然后用變量代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的多項(xiàng)式,最后對(duì)它賦值即可. 解 由題設(shè)知,和式中的各項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的求和公式,得:令得取 有 說明 賦值法在解決多項(xiàng)式系數(shù)之和問題中經(jīng)常被使用. 例2 在一次數(shù)學(xué)課上,老師讓同學(xué)們解一個(gè)五次方程,明明因?yàn)樯险n睡覺,沒有將方程抄下,到下課時(shí),由于黑板被擦去了大半,明明僅抄到如下殘缺的方程,若該方程的五個(gè)根恰構(gòu)成等差數(shù)列,且公差,試幫明明解出該
5、方程. 分析 題目已知一個(gè)五次方程的五次項(xiàng)系數(shù)、四次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),可由韋達(dá)定理確定出方程5個(gè)根的和與積,再利用其為等差數(shù)列的特點(diǎn),解方程. 解 設(shè)該方程的5個(gè)根為,則由韋達(dá)定理可得 由此得及 令,得或1. 于是或.由條件,可知. 因此這5個(gè)根為1,2,3,4,5. 說明 韋達(dá)定理給出了如果一元n次多項(xiàng)式方程的n個(gè)根與方程的系數(shù)的之間關(guān)系,在解決方程問題時(shí),有著極其廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用韋達(dá)定理時(shí),特別要注意符號(hào)不能搞反. 例3 若可被整除,求f(a). 分析 由于可被整除,故可以用待定系數(shù)法設(shè)出f(x)因式分解后的形式,利用多項(xiàng)式恒等條件確定p,q,a的關(guān)系,最后求出f(a
6、). 解 設(shè) 展開得 比較兩邊系數(shù)得 故. 說明 多項(xiàng)式恒等條件即兩個(gè)多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們同冪次得系數(shù)相等,往往是解決多項(xiàng)式分解及恒等問題的重要依據(jù),常通過待定系數(shù)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化. 鏈接 由于題目條件f(x)可被整除可知f(x)可被 x-1,x+1整除,故可以利用因式定理確定出p,q,a之間的關(guān)系,再代入求值: 可被(x-1)(x+1)整除,∴由因式定理可知f(-1)=f(1)=0.因此得, 由①-②得故. 因式定理是處理多項(xiàng)式問題的常用工具.運(yùn)用因式定理時(shí),只要有f(a)=0,則f(x)必含有因式(x-a).容易看出,因式定理是余數(shù)定理的一個(gè)推廣. 情景再現(xiàn) 1.設(shè),求
7、的值為 ( )(2005年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽) A. B. C. D. 2.設(shè)是關(guān)于變量x的一個(gè)恒等式,則ab的值為 ( ) A. -246 B. -210 C. 29 D. 210 3.四次多項(xiàng)式的四個(gè)根中有兩個(gè)根的積為-32,求實(shí)數(shù)k. B類例題 例4 已知是多項(xiàng)式的三個(gè)零點(diǎn),試求一個(gè)以為零點(diǎn)的三次多項(xiàng)式g(x). 分析 由于原多項(xiàng)式和所求多項(xiàng)式的零點(diǎn)之間存在著平方關(guān)系,利
8、用韋達(dá)定理就能構(gòu)造出滿足題意的多項(xiàng)式g(x). 解 設(shè),則由韋達(dá)定理知 故 . 因此. 說明 利用韋達(dá)定理構(gòu)造出滿足題意的多項(xiàng)式g(x)是本題的關(guān)鍵. 鏈接 本題還可以用因式分解的辦法尋找兩個(gè)多項(xiàng)式之間的關(guān)系: 設(shè),則 例5 設(shè)a,b,c,d是4個(gè)不同實(shí)數(shù),p(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,已知①p(x)除以(x-a)的余數(shù)為a;②p(x)除以(x-b)的余數(shù)為b; ③p(x)除以(x-c)的余數(shù)為c;④p(x)除以(x-d)的余數(shù)為d. 求多項(xiàng)式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余數(shù).(1990年意大利數(shù)學(xué)奧賽題) 分析 首先
9、利用余數(shù)定理將條件轉(zhuǎn)化,再通過構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(x),使得它能被(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)整除,再確定出F(x)與p(x)的關(guān)系. 解法一 根據(jù)余數(shù)定理,p(x)除以(x-a)的余數(shù)為p(a),故p(a)=a. 同理,p(b)=b,p(c)=c,p(d)=d.考察多項(xiàng)式F(x)= p(x)-x,則有F(a)=0,F(xiàn)(b)=0,F(xiàn)(c)=0,F(xiàn)(d)=0.由因式定理可知,F(xiàn)(x)含有因式(x-a) (x-b) (x-c) (x-d),而p(x) = F(x)+x,故多項(xiàng)式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余數(shù)為x. 解法二 利用待定系數(shù)法
10、設(shè)p(x)= (x-a) (x-b) (x-c) (x-d)q(x)+r(x),其中由題設(shè)得p(a)=a,p(b)=b,p(c)=c,p(d)=d知a,b,c,d是的4個(gè)互不相同的根,但該方程是個(gè)三次方程,故m=n=l-1=t=0,即m=n=t=0,l=1.故所求余式為x. 說明 靈活運(yùn)用因式定理和余數(shù)定理,并巧妙構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,而這些都可以通過仔細(xì)觀察題目條件的特點(diǎn)后能自然得出.本題還可以用待定系數(shù)法解決,一題多解,有利于拓寬視野,把問題看的更加透徹. 鏈接 本題有一般性的結(jié)論,這就是下述問題: 設(shè)是n個(gè)不同的實(shí)數(shù),p(x)是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,已知p(x)除以的余數(shù)為
11、,則多項(xiàng)式p(x)除以的余數(shù)為x. 其中表示的是,為n個(gè)因式相乘. 例6 設(shè)為互不相同的兩組實(shí)數(shù),將它們按如下法則填入100×100的方格表內(nèi),即在位于第i行第j列處的方格處填入現(xiàn)知任何一列數(shù)的乘積為1,求證:任一行數(shù)的積為-1. 分析 注意到100×100的方格表內(nèi),位于第i行第j列處的方格處填入的數(shù)為,且任何一列的乘積為1,故可以構(gòu)造兩個(gè)恒等的多項(xiàng)式解之. 解 考察多項(xiàng)式 由于任何一列的乘積為1,故知是p(x)的根, 故有由多項(xiàng)式恒等可知 取,代入上式可得: 即故知任何一行數(shù)的乘積為-1. 說明 本題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造兩個(gè)恒等的多項(xiàng)式,是一利用多項(xiàng)式恒等定
12、理解決問題的精妙之作. 鏈接 拉格朗日插值公式的推導(dǎo)也是利用多項(xiàng)式恒等定理的經(jīng)典之作: 設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,數(shù)a1,a2,…,an+1兩兩不等,則 . 簡(jiǎn)寫成. 證明:(1)存在性:令 觀察的特點(diǎn),可知故 故該多項(xiàng)式滿足題目條件. (2)惟一性:設(shè)g(x)是一個(gè)滿足題意的n次多項(xiàng)式,則則由多項(xiàng)式恒等定理可知 故惟一性得證. 拉格朗日插值公式在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造是十分巧妙,值得好好領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用,以下一例就是拉格朗日插值公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 例7 已知函數(shù)滿足則f(3)的取值范圍是
13、 ( ) A. B. C. D. 分析 由于所給函數(shù)為偶函數(shù),故有,再運(yùn)用拉格朗日插值公式將f(3)表示為關(guān)于f(-1)、f(1)和f(2)的關(guān)系式即可. 解 選C.由拉格朗日插值公式,得 從而故. O x y A B 1 鏈接 本題除了用拉格朗日插值公式來處理以外,還可以用線性規(guī)劃的方法來處理,具體如下: 由得而 故問題轉(zhuǎn)化為求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值問題.先作出可行域如圖: 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1), 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,7), 則線性目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值為 在點(diǎn)B處取得最大
14、值為 故的取值范圍為 本題還可以利用不等式知識(shí)來處理: 又,故由不等式的性質(zhì)知 例8 是否存在二元多項(xiàng)式,滿足條件 (1)對(duì)任意的 (2)對(duì)于任意的c>0,存在x,y,使得 分析 本題是關(guān)于二元多項(xiàng)式問題,關(guān)鍵是消去一元轉(zhuǎn)化成一元多項(xiàng)式問題. 解 存在.取將y看成常數(shù),則關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的判別式∴對(duì)所有的x,y均有 又將p(x,y)看成x的函數(shù)(y固定),則p(x,y)的值域?yàn)? 因?yàn)楫?dāng). 所以對(duì)于任意的c>0,存在 從而存在 情景再現(xiàn) 4.若可被整除,則m,p,q應(yīng)符合的條件是 (
15、) A. B. C. D. 5.求次數(shù)小于3的多項(xiàng)式f(x),使f(1)=1,f(-1)=3,f(2)=3. 6.求所有的值a,使多項(xiàng)式的根滿足 (奧地利數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) C類例題 例9 已知數(shù)列滿足求證:對(duì)于任何自然數(shù)n, 是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式.(1986年全國(guó)聯(lián)賽一試題) 分析 由知是等差數(shù)列,則從而可將表示成的表達(dá)式,再化簡(jiǎn)即可. 解 因?yàn)?,所以?shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d有,從而 由二項(xiàng)定理,知 又因?yàn)? 從而 所以 當(dāng)式,P(x)為x的一次多項(xiàng)式,當(dāng)d=0時(shí),P(x)為零次多項(xiàng)式. 例10 求一切實(shí)數(shù)p,使得三次方程 的三個(gè)根均為自
16、然數(shù).(1995年全國(guó)聯(lián)賽二試題) 分析 容易看出x=1是原三次方程的一個(gè)自然數(shù)根,原方程可用綜合除法降次為① 當(dāng)且僅當(dāng)二次方程①的兩個(gè)根均為自然數(shù)時(shí),原三次方程的三個(gè)根才均為自然數(shù).設(shè)方程①的兩個(gè)正整數(shù)根為u,v,則由韋達(dá)定理得從而p為正整數(shù).因此本題相當(dāng)于解不定方程消去p得66(u+v)=5uv+1,由該不定方程解出u,v,再求出p=u+v即可. 解 容易看出x=1是原三次方程的一個(gè)自然數(shù)根,由綜合除法,原三次方程可降次為二次方程① 當(dāng)且僅當(dāng)二次方程①的兩個(gè)根均為自然數(shù)時(shí),原三次方程的三個(gè)根才均為自然數(shù). 設(shè)方程①的兩個(gè)正整數(shù)根為由韋達(dá)定理則得故p為正整數(shù).消去p得66(u+v
17、)=5uv+1②, 由②得v(5u-66)=66u-1>0,從而5v-66>0. 對(duì)方程②兩邊乘5后,移項(xiàng)、分解得(5u-66)(5v-66)=19×229,其中19,229均為素?cái)?shù),于是 或(無解) 從而得到不定方程②的唯一自然數(shù)解,u=17,v=59,這樣p=u+v=17+59=76. 所以當(dāng)且僅當(dāng)p=76時(shí)方程①有三個(gè)自然數(shù)根1,17,59. 說明 由于我們對(duì)三次方程的求根公式(卡當(dāng)公式)不很熟悉,因此在遇到此類問題時(shí),我們一般先用觀察法找到它的一個(gè)根,通常是整數(shù)根,再將原三次方程降次為二次方程,降次的一般用綜合除法.然后再設(shè)法處理我們熟悉的二次函數(shù)問題. 鏈接 除了將原
18、問題轉(zhuǎn)化為求解二元二次不定方程66(u+v)=5uv+1外,也可以用求根公式,從而利用判別式為完全平方數(shù)求解,其中涉及到奇偶分析.具體如下: 容易看出x=1是原三次方程的一個(gè)自然數(shù)根,由綜合除法,原三次方程可降次為二次方程① 當(dāng)且僅當(dāng)二次方程①的兩個(gè)根均為自然數(shù)時(shí),原三次方程的三個(gè)根才均為自然數(shù).由韋達(dá)定理知,p為自然數(shù).顯然方程①的判別式是完全平方數(shù).設(shè),則.A,B的奇偶性相同,且均為偶數(shù)(若A,B都是奇數(shù),則矛盾).令則由及19與229的素性可得 即從而正整數(shù)p只能為76. 情景再現(xiàn) 7.求證:不能表示成的形式,其中為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,且互質(zhì). 習(xí)題 1.已知多項(xiàng)式是的展開
19、式,則等于( ) A.1 B.-1 C.0 D. 2 2.滿足條件的二次函數(shù)f(x)有( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無窮多個(gè) 3.設(shè)一個(gè)二次三項(xiàng)式的完全平方展開式是那么這個(gè)二次三項(xiàng)式是________________________. 4.已知實(shí)數(shù)均不為0,多項(xiàng)式的三個(gè)根為,則 . (德國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 5.若f(x)、g(x)為兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,并且可被整除,則 , . 6.當(dāng)時(shí),是某個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根
20、,求滿足上述條件的次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式.(1997年日本數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 7.設(shè)若則的值為 ( ) A.8014 B.40 C.160 D.8270 8.以有理數(shù)a,b,c為根的三次多項(xiàng)式有 ( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無窮多個(gè) 9.多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有多少個(gè)零點(diǎn)? 10.設(shè)都是多項(xiàng)式,且 求證:x-1是的公因式. 11.設(shè)
21、p(x)是2n次多項(xiàng)式,滿足 12.任給實(shí)多項(xiàng)式:.其中n為正整數(shù),系數(shù)用下面方法來確定:甲,乙兩人,從甲開始,依次輪流給出一個(gè)系數(shù)的值,最后一個(gè)系數(shù)由甲給出后,如果所得的多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根,則甲勝;若所得的多項(xiàng)式有實(shí)根,則乙勝.試問不管甲如何選取系數(shù),乙必勝嗎?(2004年江蘇省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)一級(jí)教練員測(cè)試題十) 本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答: 1.C 2.A 解 將該恒等式變形成多項(xiàng)式恒等,則有比較兩邊系數(shù)得. 解得.因此. 3.86 解 設(shè)多項(xiàng)式的四個(gè)根為則由韋達(dá)定理,得 設(shè)故 又 故 4.C 解 5. 解 由拉格朗日插值公式得.
22、 6.-9 7.解 (反證法)假設(shè)有且互質(zhì). ,又, 又 但當(dāng)f(x)的次數(shù)時(shí),恒有的次數(shù)大于的次數(shù), 為常數(shù).同理g(x)也為常數(shù),故為常數(shù),矛盾.故原命題得證. 本節(jié)“習(xí)題”解答: 1.A 2.B 3. 4.-1 5.0, 0 6. 解 記則代入方程,得 即 兩邊平方,得 故所求的多項(xiàng)式為 7. A 解 設(shè),則,故于是 8. C 解 由韋達(dá)定理知 . 如果a=0(或b=0)得c=0,b=0. 如果 如果a,b,c均不為零,得. 故滿足題設(shè)的多項(xiàng)式為. 9.1 解 顯然,x=0不是f(x
23、)=0的根.令,則 又單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,因此,恰有一個(gè)根. 10.解 設(shè) 取1的5次虛單位根 所以 即方程 故再把x=1代入所設(shè)等式,得s(1)=0.命題得證. 11.解 令又 其中 將x=2n+1代入上式,得 這表明p(x)是四次多項(xiàng)式, 由得 12.解 乙有必勝策略.證明如下. 在選取過程中,不管甲取了那個(gè)系數(shù),接下去,乙必取余下的一個(gè)偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù),如果已經(jīng)沒有偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù),乙才取奇數(shù)次項(xiàng)的系數(shù).因此當(dāng)最后留下兩個(gè)系數(shù),必由乙先?。⒁獾揭业倪x系數(shù)方式以及偶項(xiàng)系數(shù)的總數(shù),恰好比偶項(xiàng)系數(shù)的總數(shù)少一個(gè),所以最后兩個(gè)系數(shù)只能是兩個(gè)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)或者一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù),一個(gè)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù),它們可設(shè)為,.這里,s可奇,也可偶.于是.其中是已經(jīng)確定的多項(xiàng)式. 接下來由乙來取,我們希望不管最后甲取的的值是什么,都不影響必有實(shí)根,為此,我們給出如何選取的值的方法,并證明最終所得的多項(xiàng)式有實(shí)根.任取,則,.為了不管如何選取,這意味著從上兩式中消去,于是有: . 注意到等式右邊和無關(guān),所以和無關(guān),又由,所以.令 ,則有 . 我們來證明必有實(shí)根.顯然.如果,則在必有實(shí)根.如果,由于,所以,因此,這證明了中必有實(shí)根.總之,必有實(shí)根.這證明了乙必勝. 教育資源
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