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中考數(shù)學試題分項版解析匯編(第03期)專題10 四邊形(含解析)

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1、專題10 四邊形 一、選擇題 1.(2017四川省南充市)已知菱形的周長為,兩條對角線的和為6,則菱形的面積為( ?。? A.2      B.      C.3      D.4 【答案】D. 考點:菱形的性質(zhì). 2.(2017四川省廣安市)下列說法: ①四邊相等的四邊形一定是菱形 ②順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形 ③對角線相等的四邊形一定是矩形 ④經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分 其中正確的有( ?。﹤€. A.4      B.3      C.2      D.1 【答案】D. 【解析】 試題分析:∵四邊

2、相等的四邊形一定是矩形,∴①錯誤; ∵順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是菱形,∴②錯誤; ∵對角線相等的平行四邊形才是矩形,∴③錯誤; ∵經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分,∴④正確; 其中正確的有1個,故選D. 考點:1.中點四邊形;2.平行四邊形的性質(zhì);3.菱形的判定;4.矩形的判定與性質(zhì);5.正方形的判定. 3.(2017四川省眉山市)如圖,EF過?ABCD對角線的交點O,交AD于E,交BC于F,若?ABCD的周長為18,OE=1.5,則四邊形EFCD的周長為( ?。? A.14      B.13      C.12      D

3、.10 【答案】C. 考點:平行四邊形的性質(zhì). 4.(2017四川省綿陽市)如圖,矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O,過點O作BD的垂線分別交AD,BC于E,F(xiàn)兩點.若AC=,∠AEO=120°,則FC的長度為(  ) A.1      B.2      C.      D. 【答案】A. 【解析】 試題分析:∵EF⊥BD,∠AEO=120°,∴∠EDO=30°,∠DEO=60°,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠OBF=∠OCF=30°,∠BFO=60°,∴∠FOC=60°﹣30°=30°,∴OF=CF,又∵Rt△BOF中,BO=BD=AC=,∴OF=tan30°×BO=1,

4、∴CF=1,故選A. 考點:1.矩形的性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.解直角三角形. 5.(2017四川省達州市)如圖,將矩形ABCD繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置,繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置,以此類推,這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次.若AB=4,AD=3,則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為( ?。? A.2017π      B.2034π      C.3024π      D.3026π 【答案】D. 考點:1.軌跡;2.矩形的性質(zhì);3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);4.規(guī)律型;5.綜合題. 6.(2017山東省棗莊市)如圖,O是坐標原點,菱形

5、OABC的頂點A的坐標為(﹣3,4),頂點C在x軸的負半軸上,函數(shù)(x<0)的圖象經(jīng)過頂點B,則k的值為(  ) A.﹣12      B.﹣27      C.﹣32      D.﹣36 【答案】C. 【解析】 試題分析:∵A(﹣3,4),∴OA= =5,∵四邊形OABC是菱形,∴AO=CB=OC=AB=5,則點B的橫坐標為﹣3﹣5=﹣8,故B的坐標為:(﹣8,4),將點B的坐標代入得,4=,解得:k=﹣32.故選C. 考點:1.菱形的性質(zhì);2.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征. 7.(2017廣東省)如圖,已知正方形ABCD,點E是BC邊的中點,DE與AC相交于點F,連接BF

6、,下列結(jié)論:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正確的是( ?。? A.①③      B.②③      C.①④      D.②④ 【答案】C. 考點:正方形的性質(zhì). 8.(2017河北?。┣笞C:菱形的兩條對角線互相垂直. 已知:如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD交于點O. 求證:AC⊥BD. 以下是排亂的證明過程: ①又BO=DO; ②∴AO⊥BD,即AC⊥BD; ③∵四邊形ABCD是菱形; ④∴AB=AD. 證明步驟正確的順序是( ?。? A.③→②→①→④     

7、 B.③→④→①→② C.①→②→④→③      D.①→④→③→② 【答案】B. 【解析】 試題分析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∵對角線AC,BD交于點O,∴BO=DO,∴∴AO⊥BD,即AC⊥BD,∴證明步驟正確的順序是③→④→①→②,故選B. 考點:菱形的性質(zhì). 9.(2017河北?。┤鐖D是邊長為10的正方形鐵片,過兩個頂點剪掉一個三角形,以下四種剪法中,裁剪線長度所標的數(shù)據(jù)(單位:)不正確的( ?。? A. B. C. D. 【答案】A. 考點:1.正方形的性質(zhì);2.勾股定理. 10.(2017浙江省麗水市)如圖,在?ABCD中,

8、連結(jié)AC,∠ABC=∠CAD=45°,AB=2,則BC的長是( ?。? A.      B.      C.      D. 【答案】C. 【解析】 試題分析:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=2,BC=AD,∠D=∠ABC=∠CAD=45°,∴AC=CD=2,∠ACD=90°,即△ACD是等腰直角三角形,∴BC=AD==;故選C. 考點:平行四邊形的性質(zhì). 11.(2017浙江省臺州市)如圖,矩形EFGH的四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上,BE=BF,將△AEH,△CFG分別沿邊EH,F(xiàn)G折疊,當重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的時,則為( ?。? A.

9、     B.2    C.     D.4 【答案】A. 考點:1.翻折變換(折疊問題);2.菱形的性質(zhì);3.矩形的性質(zhì). 12.(2017重慶市B卷)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,分別以A、C為圓心,AD、CB為半徑畫弧,交AB于點E,交CD于點F,則圖中陰影部分的面積是(  ) A.    B.    C.    D. 【答案】C. 【解析】 試題分析:∵矩形ABCD,∴AD=CB=2,∴S陰影=S矩形﹣S半圓=2×4﹣π×22=8﹣2π,故選C. 考點:1.扇形面積的計算;2.矩形的性質(zhì). 二、填空題 13.(2017四川省南充市)如圖,在?A

10、BCD中,過對角線BD上一點P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,則S?AEPH= . 【答案】4. 考點:平行四邊形的性質(zhì). 14.(2017四川省南充市)如圖,正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b,正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn),給出下列結(jié)論:①BE=DG;②BE⊥DG;③,其中正確結(jié)論是 (填序號) 【答案】①②③. 【解析】 試題分析:設BE,DG交于O,∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形,∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE,即∠BC

11、E=∠DCG,在△BCE和△DCG中,∵BC=DC,∠BCE=∠DCG,CE=CG,∴△BCE≌△DCG(SAS),∴BE=DG,∴∠1=∠2,∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠BOC=90°,∴BE⊥DG;故①②正確; 連接BD,EG,如圖所示,∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2,則BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2,故③正確. 故答案為:①②③. 考點:1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.正方形的性質(zhì). 15.(2017四川省綿陽市)如圖,將平行四邊形AB

12、CO放置在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,若點A的坐標是(6,0),點C的坐標是(1,4),則點B的坐標是 . 【答案】(7,4). 【解析】 試題分析:∵四邊形ABCO是平行四邊形,O為坐標原點,點A的坐標是(6,0),點C的坐標是(1,4),∴BC=OA=6,6+1=7,∴點B的坐標是(7,4);故答案為:(7,4). 考點:1.平行四邊形的性質(zhì);2.坐標與圖形性質(zhì). 16.(2017四川省達州市)如圖,矩形ABCD中,E是BC上一點,連接AE,將矩形沿AE翻折,使點B落在CD邊F處,連接AF,在AF上取點O,以O為圓心,OF長為半徑作⊙O與A

13、D相切于點P.若AB=6,BC=,則下列結(jié)論:①F是CD的中點;②⊙O的半徑是2;③AE=CE;④.其中正確結(jié)論的序號是 . 【答案】. 【解析】 試題分析:①∵AF是AB翻折而來,∴AF=AB=6,∵AD=BC=,∴DF==3,∴F是CD中點;∴①正確; ②連接OP,∵⊙O與AD相切于點P,∴OP⊥AD,∵AD⊥DC,∴OP∥CD,∴,設OP=OF=x,則,解得:x=2,∴②正確; ③∵RT△ADF中,AF=6,DF=3,∴∠DAF=30°,∠AFD=60°,∴∠EAF=∠EAB=30°,∴AE=2EF; ∵∠AFE=90°,∴∠EFC=90°﹣∠AFD

14、=30°,∴EF=2EC,∴AE=4CE,∴③錯誤; ④連接OG,作OH⊥FG,∵∠AFD=60°,OF=OG,∴△OFG為等邊△;同理△OPG為等邊△; ∴∠POG=∠FOG=60°,OH=OG=,S扇形OPG=S扇形OGF,∴S陰影=(S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH)+(S扇形OGF﹣S△OFG)=S矩形OPDH﹣S△OFG==.∴④正確; 故答案為:①②④. 考點:1.切線的性質(zhì);2.矩形的性質(zhì);3.扇形面積的計算;4.翻折變換(折疊問題);5.綜合題. 17.(2017山東省棗莊市)如圖,在?ABCD中,AB為⊙O的直徑,⊙O與DC相切于點E,與AD相交于點F,

15、已知AB=12,∠C=60°,則的長為 . 【答案】π. 考點:1.切線的性質(zhì);2.平行四邊形的性質(zhì);3.弧長的計算. 18.(2017山東省棗莊市)在矩形ABCD中,∠B的角平分線BE與AD交于點E,∠BED的角平分線EF與DC交于點F,若AB=9,DF=2FC,則BC= .(結(jié)果保留根號) 【答案】. 考點:1.矩形的性質(zhì);2.等腰三角形的判定;3.相似三角形的判定與性質(zhì). 19.(2017廣東?。┮粋€n邊形的內(nèi)角和是720°,則n= . 【答案】6. 【解析】 試題分析:設所求正n邊形邊數(shù)為n,則(n﹣2)?180°=720°,

16、解得n=6. 考點:多邊形內(nèi)角與外角. 20.(2017廣東省)如圖,矩形紙片ABCD中,AB=5,BC=3,先按圖(2)操作:將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊,使點D落在邊AB上的點E處,折痕為AF;再按圖(3)操作,沿過點F的直線折疊,使點C落在EF上的點H處,折痕為FG,則A、H兩點間的距離為 . 【答案】. 考點:1.翻折變換(折疊問題);2.矩形的性質(zhì);3.綜合題. 21.(2017廣西四市)如圖,菱形ABCD的對角線相交于點O,AC=2,BD=,將菱形按如圖方式折疊,使點B與點O重合,折痕為EF,則五邊形AEFCD的周長為 . 【答案】7

17、. 【解析】 試題分析:∵四邊形ABCD是菱形,AC=2,BD=,∴∠ABO=∠CBO,AC⊥BD,∵AO=1,BO=,∴tan∠ABO==,∴∠ABO=30°,AB=2,∴∠ABC=60°,由折疊的性質(zhì)得,EF⊥BO,OE=BE,∠BEF=∠OEF,∴BE=BF,EF∥AC,∴△BEF是等邊三角形,∴∠BEF=60°,∴∠OEF=60°,∴∠AEO=60°,∴△AEO是等邊三角形,∴AE=OE,∴BE=AE,∴EF是△ABC的中位線,∴EF=AC=1,AE=OE=1,同理CF=OF=1,∴五邊形AEFCD的周長為=1+1+1+2+2=7.故答案為:7. 考點:1.翻折變換(折疊問題

18、);2.菱形的性質(zhì);3.綜合題. 22.(2017江蘇省連云港市)如圖,在?ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F.若∠EAF=60°,則∠B= . 【答案】60°. 考點:平行四邊形的性質(zhì). 23.(2017浙江省紹興市)如圖為某城市部分街道示意圖,四邊形ABCD為正方形,點G在對角線BD上,GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路線為B→A→G→E,小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m,則小聰行走的路程為 m. 【答案】4600. 【解析】 試題分析:小敏走的路程為AB+AG+GE=

19、1500+(AG+GE)=3100,則AG+GE=1600m,小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+(DE+EF). 連接CG,在正方形ABCD中,∠ADG=∠CDG=45°,AD=CD,在△ADG和△CDG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△ADG≌△CDG,∴AG=CG. 又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∠BCD=90°,∴四邊形GECF是矩形,∴CG=EF. 又∵∠CDG=45°,∴DE=GE,∴小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+(GE+AG)=3000+1600=4600(m). 故答案為:4600. 考點:1.全等三角形的判定與性質(zhì);2

20、.正方形的性質(zhì). 24.(2017重慶市B卷)如圖,正方形ABCD中,AD=4,點E是對角線AC上一點,連接DE,過點E作EF⊥ED,交AB于點F,連接DF,交AC于點G,將△EFG沿EF翻折,得到△EFM,連接DM,交EF于點N,若點F是AB的中點,則△EMN的周長是 . 【答案】. 【解析】 試題分析:如圖1,過E作PQ⊥DC,交DC于P,交AB于Q,連接BE,∵DC∥AB,∴PQ⊥AB,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ACD=45°,∴△PEC是等腰直角三角形,∴PE=PC,設PC=x,則PE=x,PD=4﹣x,EQ=4﹣x,∴PD=EQ,∵∠DPE=∠EQF=90°,∠

21、PED=∠EFQ,∴△DPE≌△EQF,∴DE=EF,易證明△DEC≌△BEC,∴DE=BE,∴EF=BE,∵EQ⊥FB,∴FQ=BQ=BF,∵AB=4,F(xiàn)是AB的中點,∴BF=2,∴FQ=BQ=PE=1,∴CE=,Rt△DAF中,DF==,∵DE=EF,DE⊥EF,∴△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF==,∴PD==3,如圖2,∵DC∥AB,∴△DGC∽△FGA,∴ = =2,∴CG=2AG,DG=2FG,∴FG==,∵AC==,∴CG==,∴EG==,連接GM、GN,交EF于H,∵∠GFE=45°,∴△GHF是等腰直角三角形,∴GH=FH= =,∴EH=EF﹣FH=﹣=,∴∠NDE=

22、∠AEF,∴tan∠NDE=tan∠AEF=,∴ =,∴EN=,∴NH=EH﹣EN=﹣=,Rt△GNH中,GN= = =,由折疊得:MN=GN,EM=EG,∴△EMN的周長=EN+MN+EM=++=; 故答案為:. 考點:1.翻折變換(折疊問題);2.正方形的性質(zhì);3.綜合題. 三、解答題 25.(2017四川省南充市)如圖,在正方形ABCD中,點E、G分別是邊AD、BC的中點,AF=AB. (1)求證:EF⊥AG; (2)若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動,點G運動速度是點F運動速度的2倍,EF⊥AG是否成立(只寫結(jié)果,不需說明理由)? (3)正方形ABCD

23、的邊長為4,P是正方形ABCD內(nèi)一點,當,求△PAB周長的最小值. 【答案】(1)證明見解析;(2)成立;(3). 【解析】 (2)證明△AEF∽△BAG,得出∠AEF=∠BAG,再由角的互余關系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論; (3)過O作MN∥AB,交AD于M,BC于N,則MN⊥AD,MN=AB=4,由三角形面積關系得出點P在線段MN上,當P為MN的中點時,△PAB的周長最小,此時PA=PB,PM=MN=2,連接EG,則EG∥AB,EG=AB=4,證明△AOF∽△GOE,得出 =,證出 =,得出AM=AE=,由勾股定理求出PA,即可得出答案. 試題解析:(1)證明:∵四邊形A

24、BCD是正方形,∴AD=AB,∠EAF=∠ABG=90°,∵點E、G分別是邊AD、BC的中點,AF=AB,∴ =, =,∴,∴△AEF∽△BAG,∴∠AEF=∠BAG,∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG; (2)解:成立;理由如下: 根據(jù)題意得: =,∵ =,∴=,又∵∠EAF=∠ABG,∴△AEF∽△BAG,∴∠AEF=∠BAG,∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG; (3)解:過O作MN∥AB,交AD于M,BC于N,如圖所示: 則MN⊥AD,MN=AB=4,∵P是正方形

25、ABCD內(nèi)一點,當S△PAB=S△OAB,∴點P在線段MN上,當P為MN的中點時,△PAB的周長最小,此時PA=PB,PM=MN=2,連接EG、PA、PB,則EG∥AB,EG=AB=4,∴△AOF∽△GOE,∴=,∵MN∥AB,∴ =,∴AM=AE=×2=,由勾股定理得:PA= =,∴△PAB周長的最小值=2PA+AB=. 考點:1.四邊形綜合題;2.探究型;3.動點型;4.最值問題. 26.(2017四川省廣安市)如圖,四邊形ABCD是正方形,E、F分別是了AB、AD上的一點,且BF⊥CE,垂足為G,求證:AF=BE. 【答案】證明見解析. 考點:1.正方形的性質(zhì);2.全等三

26、角形的判定與性質(zhì). 27.(2017四川省眉山市)如圖,點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點,連結(jié)DE,過頂點B作BF⊥DE,垂足為F,BF分別交AC于H,交BC于G. (1)求證:BG=DE; (2)若點G為CD的中點,求的值. 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】 試題分析:(1)由于BF⊥DE,所以∠GFD=90°,從而可知∠CBG=∠CDE,根據(jù)全等三角形的判定即可證明△BCG≌△DCE,從而可知BG=DE; (2)設CG=1,從而知CG=CE=1,由勾股定理可知:DE=BG=,由易證△ABH∽△CGH,所以=2,從而可求出HG的長度,進而求出的值. 試

27、題解析:(1)∵BF⊥DE,∴∠GFD=90°,∵∠BCG=90°,∠BGC=∠DGF,∴∠CBG=∠CDE,在△BCG與△DCE中,∵∠CBG=∠CDE,BC=CD,∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE(ASA),∴BG=DE; (2)設CG=1,∵G為CD的中點,∴GD=CG=1,由(1)可知:△BCG≌△DCE(ASA),∴CG=CE=1,∴由勾股定理可知:DE=BG=,∵sin∠CDE=,∴GF=,∵AB∥CG,∴△ABH∽△CGH,∴,∴BH=,GH=,∴ =. 考點:1.相似三角形的判定與性質(zhì);2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.正方形的性質(zhì). 28.(2017四川省綿陽市)

28、如圖,已知△ABC中,∠C=90°,點M從點C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動,到達點B停止運動,在點M的運動過程中,過點M作直線MN交AC于點N,且保持∠NMC=45°,再過點N作AC的垂線交AB于點F,連接MF,將△MNF關于直線NF對稱后得到△ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,設點M運動時間為t(s),△ENF與△ANF重疊部分的面積為y(cm2). (1)在點M的運動過程中,能否使得四邊形MNEF為正方形?如果能,求出相應的t值;如果不能,說明理由; (2)求y關于t的函數(shù)解析式及相應t的取值范圍; (3)當y取最大值時,求sin∠NEF的值. 【答案】(1)

29、;(2);(3). 【解析】 試題分析:(1)由已知得出CN=CM=t,F(xiàn)N∥BC,得出AN=8﹣t,由平行線證出△ANF∽△ACB,得出對應邊成比例求出NF=AN=(8﹣t),由對稱的性質(zhì)得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,由正方形的性質(zhì)得出OE=ON=FN,得出方程,解方程即可; (3)當點E在AB邊上時,y取最大值,連接EM,則EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,得出方程,解方程求出CN=CM=2,AN=6,得出BM=2,NF=AN=3,因此EM=2BM=4,作FD⊥NE于D,由勾股定理求出EB= =,求出EF=EB=,由等

30、腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出DF= HF=,在Rt△DEF中,由三角函數(shù)定義即可求出sin∠NEF的值. 試題解析:(1)能使得四邊形MNEF為正方形;理由如下: 連接ME交NF于O,如圖1所示: ∵∠C=90°,∠NMC=45°,NF⊥AC,∴CN=CM=t,F(xiàn)N∥BC,∴AN=8﹣t,△ANF∽△ACB,∴ =2,∴NF=AN=(8﹣t),由對稱的性質(zhì)得:∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,∵四邊形MNEF是正方形,∴OE=ON=FN,∴t=×(8﹣t),解得:t=; 即在點M的運動過程中,能使得四邊形MNEF為正方形,t的值為; (2)

31、分兩種情況: ①當0<t≤2時,y=×(8﹣t)×t=,即(0<t≤2); ②當2<t≤4時,如圖2所示:作GH⊥NF于H,由(1)得:NF=(8﹣t),GH=NH,GH=2FH,∴GH=NF=(8﹣t),∴y=NF′GH=×(8﹣t)×(8﹣t)=,即(2<t≤4); 綜上所述: . 考點:1.四邊形綜合題;2.最值問題;3.動點型;4.存在型;5.分類討論;6.壓軸題. 29.(2017四川省達州市)如圖,在△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過點O作直線EF∥BC分別交∠ACB、外角∠ACD的平分線于點E、F. (1)若CE=8,CF=6,求OC的長; (2)連接AE、

32、AF.問:當點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由. 【答案】(1)5;(2)當點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形. 【解析】 試題分析:(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,證出OE=OC=OF,∠ECF=90°,由勾股定理求出EF,即可得出答案; (2)解:當點O在邊AC上運動到AC中點時,四邊形AECF是矩形.理由如下: 連接AE、AF,如圖所示: 當O為AC的中點時,AO=CO,∵EO=FO,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵∠ECF=90°,∴平行四邊形AECF是矩形. 考點

33、:1.矩形的判定;2.平行線的性質(zhì);3.等腰三角形的判定與性質(zhì);4.探究型;5.動點型. 30.(2017山東省棗莊市)已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點,以BP為邊作正方形BPEF,使點F在線段CB的延長線上,連接EA,EC. (1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC; (2)如圖2,若點P在線段AB的中點,連接AC,判斷△ACE的形狀,并說明理由; (3)如圖3,若點P在線段AB上,連接AC,當EP平分∠AEC時,設AB=a,BP=b,求a:b及∠AEC的度數(shù). 【答案】(1)證明見解析;(2)△ACE是直角三角形;(3):1,45°. 【解析】

34、試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)證明△APE≌△CFE,可得結(jié)論; (2)分別證明∠PAE=45°和∠BAC=45°,則∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形; (2)△ACE是直角三角形,理由是: 如圖2,∵P為AB的中點,∴PA=PB,∵PB=PE,∴PA=PE,∴∠PAE=45°,又∵∠BAC=45°,∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形; (3)設CE交AB于G,∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a,∵PE∥CF,∴,即,解得:a=b,∴a:b=:1,作GH⊥AC于H,∵∠CAB=45°,∴HG=AG=(2b﹣2b)=(

35、2﹣)b,又∵BG=2b﹣a=(2﹣)b,∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,∴∠HCG=∠BCG,∵PE∥CF,∴∠PEG=∠BCG,∴∠AEC=∠ACB=45°. 考點:1.四邊形綜合題;2.探究型;3.變式探究. 31.(2017山東省濟寧市)實驗探究: (1)如圖1,對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展開;再一次折疊紙片,使點A落在EF上,并使折痕經(jīng)過點B,得到折痕BM,同時得到線段BN,MN.請你觀察圖1,猜想∠MBN的度數(shù)是多少,并證明你的結(jié)論. (2)將圖1中的三角形紙片BMN剪下,如圖2,折疊該紙片,探究MN與BM的數(shù)量關系,寫出折疊方案

36、,并結(jié)合方案證明你的結(jié)論. 【答案】(1)∠MBN=30°;(2)MN=BM. 【解析】 試題分析:(1)猜想:∠MBN=30°.只要證明△ABN是等邊三角形即可; (2)結(jié)論:MN=BM. 折紙方案:如圖2中,折疊△BMN,使得點N落在BM上O處,折痕為MP,連接OP. 理由:由折疊可知△MOP≌△MNP,∴MN=OM,∠OMP=∠NMP=∠OMN=30°=∠B,∠MOP=∠MNP=90°,∴∠BOP=∠MOP=90°,∵OP=OP,∴△MOP≌△BOP,∴MO=BO=BM,∴MN=BM. 考點:1.翻折變換(折疊問題);2.矩形的性質(zhì);3.剪紙問題. 32.(201

37、7廣東?。┤鐖D所示,已知四邊形ABCD,ADEF都是菱形,∠BAD=∠FAD,∠BAD為銳角. (1)求證:AD⊥BF; (2)若BF=BC,求∠ADC的度數(shù). 【答案】(1)證明見解析;(2)150°. 【解析】 試題分析:(1)連結(jié)DB、DF.根據(jù)菱形四邊相等得出AB=AD=FA,再利用SAS證明△BAD≌△FAD,得出DB=DF,那么D在線段BF的垂直平分線上,又AB=AF,即A在線段BF的垂直平分線上,進而證明AD⊥BF; (2)如圖,設AD⊥BF于H,作DG⊥BC于G,則四邊形BGDH是矩形,∴DG=BH=BF.∵BF=BC,BC=CD,∴DG=CD.在直角△CDG中

38、,∵∠CGD=90°,DG=CD,∴∠C=30°,∵BC∥AD,∴∠ADC=180°﹣∠C=150°. 考點:菱形的性質(zhì). 33.(2017廣西四市)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F(xiàn)在BD上,BE=DF. (1)求證:AE=CF; (2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積. 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】 試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°,證出OE=OF,由SAS證明△AOE≌△COF,即可得出AE=CF; (2)證出△AOB是等邊三角形,得出OA=AB=6,AC=

39、2OA=12,在Rt△ABC中,由勾股定理求出BC的長,即可得出矩形ABCD的面積. 試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90°,∵BE=DF,∴OE=OF,在△AOE和△COF中,∵OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE=CF; (2)解:∵OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴OA=OB,∵∠AOB=∠COD=60°,∴△AOB是等邊三角形,∴OA=AB=6,∴AC=2OA=12,在Rt△ABC中,BC==,∴矩形ABCD的面積=AB?BC=6×=. 考點:1.矩形的性質(zhì);2.全等三

40、角形的判定與性質(zhì). 34.(2017江蘇省鹽城市)如圖,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F. (1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形; (2)當∠ABE為多少度時,四邊形BEDF是菱形?請說明理由. 【答案】(1)證明見解析;(2)∠ABE=30°. 【解析】 試題分析:(1)由矩形可得∠ABD=∠CDB,結(jié)合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB,即可知BE∥DF,根據(jù)AD∥BC即可得證; (2)當∠ABE=30°時,四邊形BEDF是菱形,∵BE平分∠ABD,∴∠ABD=2∠ABE=60°,∠EBD=∠ABE=3

41、0°,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°,∴∠EDB=∠EBD=30°,∴EB=ED,又∵四邊形BEDF是平行四邊形,∴四邊形BEDF是菱形. 考點:1.矩形的性質(zhì);2.平行四邊形的判定與性質(zhì);3.菱形的判定;4.探究型. 35.(2017江蘇省鹽城市)(探索發(fā)現(xiàn)】 如圖①,是一張直角三角形紙片,∠B=60°,小明想從中剪出一個以∠B為內(nèi)角且面積最大的矩形,經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn),當沿著中位線DE、EF剪下時,所得的矩形的面積最大,隨后,他通過證明驗證了其正確性,并得出:矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 . 【拓展應用】 如圖②,在△

42、ABC中,BC=a,BC邊上的高AD=h,矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上,頂點Q、M在邊BC上,則矩形PQMN面積的最大值為 .(用含a,h的代數(shù)式表示) 【靈活應用】 如圖③,有一塊“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明從中剪出了一個面積最大的矩形(∠B為所剪出矩形的內(nèi)角),求該矩形的面積. 【實際應用】 如圖④,現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD,經(jīng)測量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,求該矩形的面積. 【答案

43、】【探索發(fā)現(xiàn)】;【拓展應用】;【靈活應用】720;【實際應用】1944. 【拓展應用】:由△APN∽△ABC知,可得PN=a﹣PQ,設PQ=x,由S矩形PQMN=PQ?PN═,據(jù)此可得; 【靈活應用】:添加如圖1輔助線,取BF中點I,F(xiàn)G的中點K,由矩形性質(zhì)知AE=EH20、CD=DH=16,分別證△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上,利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可; 【實際應用】:延長BA、CD交于點E,過點E作EH⊥BC于點H,由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54,EH=BH=72,

44、繼而求得BE=CE=90,可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上,利用【拓展應用】結(jié)論解答可得. 試題解析:【探索發(fā)現(xiàn)】 ∵EF、ED為△ABC中位線,∴ED∥AB,EF∥BC,EF=BC,ED=AB,又∠B=90°,∴四邊形FEDB是矩形,則 ===,故答案為:; 【拓展應用】 ∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴,即,∴PN=a﹣PQ,設PQ=x,則S矩形PQMN=PQ?PN=x(a﹣x)= =,∴當PQ=時,S矩形PQMN最大值為,故答案為:; 【靈活應用】 如圖1,延長BA、DE交于點F,延長BC、ED交于點G,延長AE、CD交于點H,取BF中點I,F(xiàn)G的中點K,

45、 由題意知四邊形ABCH是矩形,∵AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,∴EH=20、DH=16,∴AE=EH、CD=DH,在△AEF和△HED中,∵∠FAE=∠DHE,AE=AH,∠AEF=∠HED,∴△AEF≌△HED(ASA),∴AF=DH=16,同理△CDG≌△HDE,∴CG=HE=20,∴BI=(AB+AF)=24,∵BI=24<32,∴中位線IK的兩端點在線段AB和DE上,過點K作KL⊥BC于點L,由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BG?BF=×(40+20)×(32+16)=720,答:該矩形的面積為720; 【實際應用】 如圖2,延長BA、CD交于點E,過點

46、E作EH⊥BC于點H,∵tanB=tanC=,∴∠B=∠C,∴EB=EC,∵BC=108cm,且EH⊥BC,∴BH=CH=BC=54cm,∵tanB==,∴EH=BH=×54=72cm,在Rt△BHE中,BE==90cm,∵AB=50cm,∴AE=40cm,∴BE的中點Q在線段AB上,∵CD=60cm,∴ED=30cm,∴CE的中點P在線段CD上,∴中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上,由【拓展應用】知,矩形PQMN的最大面積為BC?EH=1944cm2. 答:該矩形的面積為1944cm2. 考點:1.四邊形綜合題;2.閱讀型;3.探究型;4.最值問題;5.壓軸題. 36.(2017江蘇

47、省連云港市)問題呈現(xiàn): 如圖1,點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上,AE=DG,求證:.(S表示面積) 實驗探究:某數(shù)學實驗小組發(fā)現(xiàn):若圖1中AH≠BF,點G在CD上移動時,上述結(jié)論會發(fā)生變化,分別過點E、G作BC邊的平行線,再分別過點F、H作AB邊的平行線,四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1. 如圖2,當AH>BF時,若將點G向點C靠近(DG>AE),經(jīng)過探索,發(fā)現(xiàn):2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S. 如圖3,當AH>BF時,若將點G向點D靠近(DG<AE),請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S之間的數(shù)量關系

48、,并說明理由. 遷移應用: 請直接應用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題: (1)如圖4,點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點,已知AH>BF,AE>DG,S四邊形EFGH=11,HF=,求EG的長. (2)如圖5,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點E、H分別在邊AB、AD上,BE=1,DH=2,點F、G分別是邊BC、CD上的動點,且FG=,連接EF、HG,請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值. 【答案】問題呈現(xiàn):;實驗探究:;遷移應用:(1)EG=;(2). (2)分兩種情形探究即可解決問題. 試題解析:問題呈現(xiàn):證明:如圖1中,∵四邊形ABC

49、D是矩形,∴AB∥CD,∠A=90°,∵AE=DG,∴四邊形AEGD是矩形,∴S△HGE=S矩形AEGD,同理S△EGF=S矩形BEGC,∴S四邊形EFGH=S△HGE+S△EFG=S矩形BEGC. 實驗探究:結(jié)論:2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣. 理由:∵ =, =, =, =,∴S四邊形EFGH=+++﹣,∴2S四邊形EFGH=2+2+2+2﹣2,∴2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣. 遷移應用:解:(1)如圖4中,∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣,∴ =25﹣2×11=3=A1B1A1D1,∵正方形的面積為25,∴邊長為5,∵A1D12=HF2﹣52=29﹣2

50、5=4,∴A1D1=2,A1B1=,∴EG2=A1B12+52=,∴EG=. (2)∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+,∴四邊形A1B1C1D1面積最大時,矩形EFGH的面積最大. ①如圖5﹣1中,當G與C重合時,四邊形A1B1C1D1面積最大時,矩形EFGH的面積最大. 此時矩形A1B1C1D1面積=1×(﹣2)= ②如圖5﹣2中,當G與D重合時,四邊形A1B1C1D1面積最大時,矩形EFGH的面積最大. 此時矩形A1B1C1D1面積=21=2,∵2>,∴矩形EFGH的面積最大值=. 考點:1.四邊形綜合題;2.最值問題;3.閱讀型;4.探究型;5.壓軸題. 3

51、7.(2017浙江省麗水市)如圖,在矩形ABCD中,點E是AD上的一個動點,連接BE,作點A關于BE的對稱點F,且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部,連接AF,BF,EF,過點F作GF⊥AF交AD于點G,設. (1)求證:AE=GE; (2)當點F落在AC上時,用含n的代數(shù)式表示的值; (3)若AD=4AB,且以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形,求n的值. 【答案】(1)證明見解析;(2)= ;(3)n=16或 . 【解析】 試題分析:(1)因為GF⊥AF,由對稱易得AE=EF,則由直角三角形的兩個銳角的和為90度,且等邊對等角,即可證明E是AG的中點;(2)可設AE=a,則AD

52、=na,即需要用n或a表示出AB,由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°,可證明△ABE~△DAC , 則,因為AB=DC,且DA,AE已知表示出來了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形時的n,需要分類討論,一般分三個,∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根據(jù)點F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進行分析解答. 試題解析:(1)證明:由對稱得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF,∴AE=

53、EG. (2)解:設AE=a,則AD=na,當點F落在AC上時(如圖1),由對稱得BE⊥AF,∴∠ABE+∠BAC=90°,∵∠DAC+∠BAC=90°,∴∠ABE=∠DAC,又∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DAC ,∴ ∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,∵AB>0,∴AB=,∴= =,∴=. 考點:1.矩形的性質(zhì);2.解直角三角形的應用;3.相似三角形的判定與性質(zhì);4.分類討論;5.壓軸題. 38.(2017浙江省紹興市)定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形. (1)如圖1,等腰直角四邊形ABCD,AB=

54、BC,∠ABC=90°. ①若AB=CD=1,AB∥CD,求對角線BD的長. ②若AC⊥BD,求證:AD=CD; (2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點P是對角線BD上一點,且BP=2PD,過點P作直線分別交邊AD,BC于點E,F(xiàn),使四邊形ABFE是等腰直角四邊形,求AE的長. 【答案】(1)①;②證明見解析;(2)5或6.5. 【解析】 試題分析:(1)①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題; ②只要證明△ABD≌△CBD,即可解決問題; (2)如圖1中,連接AC、BD. ∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD,∵BD=BD,∴△ABD≌△

55、CBD,∴AD=CD. (2)若EF⊥BC,則AE≠EF,BF≠EF,∴四邊形ABFE表示等腰直角四邊形,不符合條件. 若EF與BC不垂直,①當AE=AB時,如圖2中,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴AE=AB=5. ②當BF=AB時,如圖3中,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴BF=AB=5,∵DE∥BF,∴BF=PB=1:2,∴DE=2.5,∴AE=9﹣2.5=6.5,綜上所述,滿足條件的AE的長為5或6.5. 考點:1.四邊形綜合題;2.分類討論;3.新定義;4.壓軸題. 39.(2017浙江省紹興市)如圖,已知□ABCD,AB∥x軸,AB=6,點A 的坐標為(1

56、,-4),點D的坐標為(-3,4),點B在第四象限,點P是□ABCD邊上一個動點. (1) 若點P在邊BC上,PD=CD,求點P的坐標. (2)若點P在邊AB、AD上,點P關于坐標軸對稱的點Q ,落在直線上,求點P的坐標. (3) 若點P在邊AB,AD,CD上,點G是AD與y軸的交點,如圖,過點作y軸的平行線PM,過點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將△PGM沿直線PG翻折,當點M的對應點落在坐標軸上時,求點P的坐標(直接寫出答案). 【答案】(1)P(3,4);(2)(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4);(3)P(2,-4)或(-,3)或(-,4)或(,4

57、). 【解析】 試題分析:(1)點P在BC上,要使PD=CD,只有P與C重合; (3)在不同邊上,根據(jù)圖象,點M翻折后,點M’落在x軸還是y軸,可運用相似求解. 試題解析:(1)∵CD=6,∴點P與點C重合,∴點P的坐標是(3,4). (2)①當點P在邊AD上時,由已知得,直線AD的函數(shù)表達式為: ,設P(a,-2a-2),且-3≤a≤1. 若點P關于x軸對稱點Q1(a,2a+2)在直線y=x-1上,∴2a+2=a-1,解得a=-3,此時P(-3,4). 若點P關于y軸對稱點Q2(-a,-2a-2)在直線y=x-1上,∴-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時P(-1,0).

58、②當點P在邊AB上時,設P(a,-4),且1≤a≤7. 若點P關于x軸對稱點Q3(a,4)在直線y=x-1上,∴4=a-1,解得a=5,此時P(5,-4). 若點P關于y軸對稱點Q4(-a,-4)在直線y=x-1上,∴-4=-a-1,解得a=3,此時P(3,-4). 綜上所述,點P的坐標為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4). (3)因為直線AD為y=-2x-2,所以G(0,-2). ①如圖,當點P在CD邊上時,可設P(m,4),且-3≤m≤3,則可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|,易證得△OGM′∽△HM′P,則,即,則OM′=,在Rt△OGM′中

59、,由勾股定理得, ,解得m=-或 ,則P( -,4)或( ,4); ②如下圖,當點P在AD邊上時,設P(m,-2m-2),則PM′=PM=|-2m|,GM′=MG=|m|,易證得△OGM′∽△HM′P,則,即,則OM′=,在Rt△OGM′中,由勾股定理得, ,整理得m= -,則P(-,3); 如下圖,當點P在AB邊上時,設P(m,-4),此時M′在y軸上,則四邊形PM′GM是正方形,所以GM=PM=4-2=2,則P(2,-4). 綜上所述,點P的坐標為(2,-4)或(-,3)或(-,4)或(,4). 考點:1.一次函數(shù)綜合題;2.平行四邊形的性質(zhì);3.翻折變換(折疊問

60、題);4.動點型;5.分類討論;6.壓軸題. 40.(2017湖北省襄陽市)如圖,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于點C,BD平分∠ABF,且交AE于點D,連接CD. (1)求證:四邊形ABCD是菱形; (2)若∠ADB=30°,BD=6,求AD的長. 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】 試題分析:(1)由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠ABD=∠ADB,證出AB=AD,同理:AB=BC,得出AD=BC,證出四邊形ABCD是平行四邊形,即可得出結(jié)論; (2)解:∵四邊形ABCD是菱形,BD=6,∴AC⊥BD,OD=OB=BD=3,∵∠ADB=30°,∴cos∠ADB=,∴AD==. 考點:菱形的判定與性質(zhì).

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