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1、7.4.2超幾何分布 新課程標準解讀 核心素養(yǎng) 通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題 數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析 滋么*?密畿滿知識梳理＜工^虹情境導(dǎo)入 某學(xué)校實行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個試題中隨機挑選4個進行作答，至少答對3個才能通過初試，已知在這8個試題中甲能答對6個. ［問題］如何求出甲通過自主招生初試的概率？若記甲答對試題的個數(shù)為X,那么如何構(gòu)建適當?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬈浞植迹? 迢新知初探 知識點超幾何分布 1. 超幾何分布的概念 一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品

2、中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=A)=箜耕,k=m,m+1,〃?+2,…，廠.其中〃，N,M《N*,MWN,nWN,，〃=max{0,〃—N+A/},廠=min{〃，M},如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布. 2. 超幾何分布的均值 設(shè)隨機變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機抽取〃件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p*則〃是N件產(chǎn)品的次品率，而三是抽取的〃件產(chǎn)品的次品率，則Em=nj). ??＞點一點?超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系 超幾何分布和二項分布都可以描述隨機抽取的〃件產(chǎn)品中次品數(shù)的分布規(guī)律，并且二者的均值相同.對

3、于不放回抽樣，當〃遠遠小于N時，每抽取一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布可以用二項分布近似模擬. 。做一做 1. 在10個村莊中，有4個村莊交通不方便，若用隨機變量X表示任選6個村莊中交 通不方便的村莊的個數(shù)，則X服從超幾何分布，其參數(shù)為()A. N=10,M=4,n=6 B. N=10,M=4,n=6 B. N=10,M=6,〃=4 C. N=14,M=10,〃=4 CI. N=14,M=10,〃=4 D. N=14,M=4,〃=1（） 解析：選A根據(jù)超幾何分布概率模型知N=10,M=4,〃=6. 率為（） CjoCfoa?E c%)c3()

4、2. 設(shè)袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概C$（）C?oC^oCSo "Cl8ocCCD,^I8o 解析：選D若隨機變量X表示任取10個球中紅球的個數(shù)，則X服從參數(shù)為N=100,凹=8(),〃=1()的超幾何分布.取到10個球中恰有6個紅球，即X=6,P(X=6)=早斜注意袋中球的個數(shù)為80+20=100). 3. 某10人組成興趣小組，其中有5名團員，從這10人中任選4人參加某種活動，用X表示4人中的團員人數(shù)，則P(X=3)= 解析：P(X=3)=；j=和??劾緣Ml國骸骨典物精析 超幾何分布的概率 超幾何分布的概率 ［例1］(鏈

5、接教科書第78頁例4)10件產(chǎn)品中有2件次品，任取2件進行檢驗，求下列事件的概率: (1)至少彳J1件次品; (2)至多有1件次品. ［解|(1)“至少有I件次品"的對立事件是“2件都是正品”.“2件都是正品”的概率噫峨17 所以“至少有1件次品”的概率為1一蓋=蕓. ⑵“至多有1件次品”的對立事件為“2件都是次品”，“2件都是次品"的概率為余 45'|44 所以"至多有1件次品”的概率為1一示=* 有關(guān)超兒何分布問題，可直接套用公式求解，對于含“至多”“至少”等求概率問題,可先求其對立事件概率，再求原事件概率. ［跟蹤訓(xùn)練］ 從放有10個紅球與15個白球的暗箱中，隨意摸出

6、5個球，規(guī)定取到一個白球得1分，一個紅球得2分，求某人摸出5個球，恰好得7分的概率. 解：設(shè)摸出的紅球個數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其中N=25,M=10,〃=5,由于摸出5個球，得7分，僅有摸出兩個紅球的可能，那么恰好得7分的概率為P(X=2)=*|^*0.385,即恰好得7分的概率約為0.385. 超幾何分布的分布列 ［例2］(鏈接教科書笫79頁例6)一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球，其中紅球有3個，編號為1,2,3；黑球有2個，編號為1,2；白球有1個，編號為I.現(xiàn)從袋中一次隨機抽取3個球. (1) 求取出的3個球的顏色都不相同的概率； (2) 記取得I號球的個數(shù)為隨機

7、變量X,求隨機變量X的分布列. ［解I(1)從袋中一次隨機抽取3個球，所有取法的總數(shù)〃=C/=20,取出的3個球的顏色都不相同包含的樣本點的個數(shù)為ac%ci=6,所以取出的3個球的顏色都不相同的概.率為n=A=A120_1。. (2)由題意知X=0,1,2,3. 八C9IC4C49 P(X=0)=&=赤，戶0=1)=有=赤，CiCl9C41 昭=2)=有=赤，"=3)=&=赤? 所以X的分布列為 X () 1 2 3 P 1 9 9 1 20 20 20 20 ［母題 采究］ 1. (變設(shè)問)在本例條件下，若記取到白球的個數(shù)為隨機變量，”求隨機變量

8、〃的分布列.解：由題意可知〃=0,1,服從兩點分布.又p(〃=i)=金=土所以〃的分布列為 7 0 1 1 1 P 2 2 2. (變條件)將本例的條件“一次隨機抽取3個球”改為“有放I可地抽取3次，每次抽取1個球”，其他條件不變，結(jié)果又如何？ 解：⑴取出3個球顏色都不相同的概率D_C|XCjXC|XAj1 P— D_C|XCjXC|XAj1 P— 63 (2)由題意知X=O,1,2,3. (2)由題意知X=O,1,2,3. 331C4X3X3X3 P(X=O)=”=§,P(X=1)=— 3-8 P(X=2)=63 P(X=2)=63

9、 (3X3X3X33 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 p 8 3 8 3 8 8 求超幾何分布的分布列的步驟 (1) 驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N,材，〃的值； (2) 根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率； (3) 用表格的形式列出分布列. ［跟蹤訓(xùn)練］ 從5名女生和2名男生中任選3人參加英語演講比賽，設(shè)隨機變量j表示所選3人中男生的人數(shù). (1) 求4的分布列； (2) 求j的均值和方差； (3) 求“所選3人中男生人數(shù)揀1”的概率. 解：⑴由題知j的可耗取值為0,1,2,P(e=0)=^p=|

10、,p(e=i)=華卜=：，P(S=2)a?c&1~~cT=i^ 所以｛的分布列為(2-％ (2-％ 20 49- 246⑶由⑴可得pcw1)=p($=())+pq=I)=5+7=7. 超幾何分布的綜合應(yīng)用 ［例3］某海域共有A,B型兩種搜救船10艘，其中A型船7艘，B型船3艘. (1)現(xiàn)從中任選2艘執(zhí)行搜救任務(wù)，求恰好有一艘B型船的概率; (2)假設(shè)每艘A型船的搜救能力指數(shù)為5,每艘B型船的搜救能力指數(shù)為10.現(xiàn)從這10艘船中隨機抽出4艘執(zhí)行搜救任務(wù)，設(shè)搜救能力指數(shù)為&求，的分布列. ClCl7 I解］(1)設(shè)“恰好有I般B型船”為事件A,則P(A)=W「=E，即

11、恰好有I戡B型船的概率為 (2)法一：依題意，4的可能取值為20,25,30,35. 且p(j=20)=導(dǎo)=￡彩=25)=寄=孑, E°)=箸葦心滬箸喘 所以S的分布列為 20 25 30 35 1 1 3 1 P 6 2 10 30 法二：設(shè)隨機抽取的4般船中含有B型船的艘數(shù)為〃，依題意〃服從超幾何分布，且N=10,M=4,h=3. 而搜救能力指數(shù)￡=10〃+5(4一砂=20+5們其中“=0,1,2,3,所以￡=20,25,30,35. C9C3I 且P(4=2())=P(〃=0)=-^-=q P({=25)=晌=1)=箸=；, P({=

12、30)=P(，7=2)=甕=尋， P(4=35)=P(，7=3)=費=令? 故4的分布列為 4 20 25 30 35 1 1 3 1 P 6 2 To 30 求超幾何分布的均值的步驟 (1) 先判斷隨機變量服從超幾何分布，找出參數(shù)N,M,〃的取值； (2) 利用公式P(X=k)=C修;%,*=0,1,2,…，m,〃?=min{M,〃)求出分布列； (3) 利用均值定義求出均值EW. ［跟蹤訓(xùn)練］ 某批產(chǎn)品共1()件，己知從該批產(chǎn)品中任取1件，則取到的是次品的概率為〃=0.2.若從該批產(chǎn)品中任意抽取3件. (1) 求取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次

13、品的概率； (2) 求取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)X的概率分布列與期望. X 解：設(shè)該批產(chǎn)品中次品有工件，由已知而=0.2, 所以x=2. (1) 設(shè)取出的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)為X,則X服從超幾何分布，且N=10,M=2,n=3.取出的3件產(chǎn)品中恰好有一件次品的概率為P(X=I)=§￥=￡. ca7 (2) 因為X的可能取值為0,1,2,且P(X=°)=&=育， P(X=1)=￡,P(X=2)=笥=吉. 所以X的概率分布列為 X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 75 77I3 則￡(X)=0X-+lX-+2X-=- ?劾么—前酸滿思維升華〈工

14、SSN隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差 1. 某商場做促銷活動，凡是一家三口…起來商場購物的家庭，均可參加返現(xiàn)活動，活動規(guī)則如下：商家在箱中裝入2()個大小相同的球，其中6個是紅球，其余都是黑球；每個家庭只能參加一次活動，參加活動的三口人，每人從中任取一球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球則獲得4元返現(xiàn)金，若取到紅球則獲得12元返現(xiàn)金.若某家庭參與了該活動，求該家庭獲得的返現(xiàn)金額的期望. 提示：設(shè)3個人中取到黑球的個數(shù)記為隨機變量X,則3個人中取到紅球的個數(shù)記為隨機變量3—X,記該家庭獲得的返現(xiàn)金額為隨機變量Y,則由題意知Y=4X+12(3—X)=3614 -8X,因為每次取得黑球

15、的概率為2q=0.7,所以X?8(3,0.7),所以E(K)=36-8E(X)=36一8X3X0.7=19.2. 2. 某籃球運動員在三分球大賽時的命中率為§假設(shè)三分球大賽中總計投出8球，投中一球得3分，投丟一球扣1分，求該運動員得分的期望與方差. 提示：設(shè)該運動員命中球數(shù)為X,根據(jù)題意，該運動員命中球數(shù)X?B(8,直)， AE(X)=8x|=4,O(X)=8X?X(1-!)=2. 設(shè)該運動員的得分為隨機變量Y,則K的所有可能取值為一8,-4,0,4,8,12,16,20,24,且P(V=-8)=P(X=0),P(件一4)=P(X=1),P(Y=0)=P(X=2),P(V=4)=P(X

16、=3),P(Y=8)=P(X=4),P(件］2)=P(X=5),P(件16)=P(X=6),P(件20)=P(X=7),P(Y=24)=P(X=8), ..?隨機變量X,Y的關(guān)系為V=4X-8, ?.?E(V)=E(4X—8)=4E(X)—8=4X4—8=8, D(r)=D(4X-8)=16D(X)=16X2=32. ［結(jié)論］求解隨機變量Y=aX^b的均值時，可以先求出隨機變量X的均值頊X),然后利用公式E(aX+b)=aE(X)+b,求得隨機變量V的均值；也可以先求出Y=aX+b的分布列，然后利用均值的定義公式求出隨機變量丫的均值. 由以上兩題可以看出，要求期望的隨機變量K本身并不

17、服從超幾何分布或二項分布，但它和另一個服從超幾何分布或二項分布的隨機變量X可以建立一個一次函數(shù)關(guān)系，這時通常先根據(jù)超幾何分布或二項分布的期望公式求得X的期望E(X),再利用期望的性質(zhì)求得￡(r)；也可以直接對丫進行分析，求得其分布列，然后利用期望的定義求解. ［遷移應(yīng)用］ 網(wǎng)約車的興起豐富了民眾出行的選擇，為民眾出行提供便利的同時也解決了很多勞動力的就業(yè)問題.梁某為網(wǎng)約車司機，據(jù)梁某自己統(tǒng)計某一天出車一次的總路程數(shù)可能的取值是20,22,24,26,28,30,它們出現(xiàn)的概率依次是0.1,0.2,0.3,02,f,2，. (1) 求這一天中梁某一次行駛路程X的分布列，并求X的均值和方差；

18、 (2) 網(wǎng)約車計費規(guī)則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，收費5元，若行駛路程超過3km,則每超出Ikm(不足1km也按1km計程)收費3元.依據(jù)以上條件，計算梁某一天中出車一次收入的均值和方差. 解：⑴由概率分布的性質(zhì)知，0.1+0.2+0.3+0.1+，+2i=l,.?"=0.1. .?.X的分布列為?..￡(X)=20X0.1+22X0.2+24X0.3+26X0.1+28X0.1+30X0.2=25. X 20 22 24 26 28 30 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2 Z)(X)=52XO.H-32XO.2+12X

19、O.34-12XO.H-32XO.H-52XO.2=1O,6. (2)設(shè)梁某一天出車一次的收入為K元，則k=3(X-3)+5=3X-4(X>3,XEN), A￡(r)=E(3X-4)=3E(X)-4=3X25-4=71,￡>(r)=D(3X-4)=32D(X)=95.4. 隨堂檢測1. 1. （多選）下列隨機事件中的隨機變量X不服從超兒何分布的是（） A. 將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB. 從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出女生的人數(shù)為X C. 某射手的命中率為0.8,現(xiàn)對目標射擊I次，記命中目標的次數(shù)為XD. 盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球時的總次數(shù) 解析：選ACD由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選A、C、D. 2.在100張獎券中，有4張能中獎，從中任取2張，則2張都能中獎的概率是（）c?焉 D?4950解析：選C記X為2張中的中獎數(shù)，則P（X=2）=點=初§ 3.從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則所選3人中，女生不超過I人的概率為. 解析：設(shè)所選女生的人數(shù)為隨機變量X,X服從超幾何分布，則P（XW1）=P（X=O）4-5 =W- +-34-30 c-c=4-C『熟(%=答