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1、
曲線與方程備考策略
主標題:曲線與方程備考策略
副標題:為學(xué)生詳細的分析曲線與方程的高考考點、命題方向以及規(guī)律總結(jié)
關(guān)鍵詞:曲線與方程,知識總結(jié)備考策略
難度:5
重要程度:3
內(nèi)容:
一、曲線與方程
一般地,在平面直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系:
(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解.
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線的方程,這條曲線叫做方程的曲線.
二、求動點軌跡方程的一般步驟
1.建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担糜行驅(qū)崝?shù)對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標.
2.寫出適合條件p的點
2、M的集合P={M|p(M)}.
3.用坐標表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0,并化簡.
4.說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.
思維規(guī)律解題:
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例1.(2015·深圳調(diào)研)已知點F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點,過點P作直線l的垂線,垂足為Q,且·=·,則動點P的軌跡C的方程為( )
A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2y D.y2=4x
答案 A
解析:選A 設(shè)點P(x,y),則Q(x,-1).
∵·=·,
∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-
3、1),整理得x2=4y,
∴動點P的軌跡C的方程為x2=4y.
例2.已知動點P(x,y)與兩定點M(-1,0),N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0).則動點P的軌跡C的方程為________________________.
答案:x2-=1(λ≠0,x≠±1)
解析:由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零,所以kPM·kPN=·=λ,
整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1).
即動點P的軌跡C的方程為x2-=1(λ≠0,x≠±1).
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例3.如圖,已知△ABC的兩頂點坐標A(-1,0),B(1,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別
4、為P,Q,R,|CP|=1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等),動點C的軌跡為曲線M.
(1)求曲線M的方程;
(2)設(shè)直線BC與曲線M的另一交點為D,當(dāng)點A在以線段CD為直徑的圓上時,求直線BC的方程.
解:(1)由題知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲線M是以A,B為焦點,長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點).
設(shè)曲線M:+=1(a>b>0,y≠0),
則a2=4,b2=a2-2=3,
所以曲線M:+=1(y≠0)為所求.
(2)如圖,由題意知直線BC的斜率不為0,且過定點B(1,0),
設(shè)lBC:
5、x=my+1,C(x1,y1),D(x2,y2),
由消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,
所以
因為=(my1+2,y1),=(my2+2,y2),
所以·=(my1+2)(my2+2)+y1y2
=(m2+1)y1y2+2m(y1+y2)+4
=--+4=.
因為點A在以CD為直徑的圓上,
所以·=0,即m=±,
所以直線BC的方程為3x+y-3=0或3x-y-3=0.
|(重點保分型考點——師生共研)
例4.(2015·廣州模擬)在圓x2+y2=4上任取一點P,設(shè)點P在x軸上的正投影為點D.當(dāng)點P在圓上運動時,動點M滿足=2,動點M形成的軌跡為曲線C.
(
6、1)求曲線C的方程;
(2)已知點E(1,0),若A,B是曲線C上的兩個動點,且滿足EA⊥EB,求·的取值范圍.
解:(1)法一:由=2知點M為線段PD的中點.
設(shè)點M的坐標是(x,y),則點P的坐標是(x,2y).
因為點P在圓x2+y2=4上,
所以x2+(2y)2=4.
所以曲線C的方程為+y2=1.
法二:設(shè)點M的坐標是(x,y),點P的坐標是(x0,y0),
由=2,得x0=x,y0=2y.
因為點P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,
所以x+y=4. ①
把x0=x,y0=2y代入方程①,得x2+4y2=4.
所以曲線C的方程為+y2=1.
(2)因為
7、EA⊥EB,所以·=0.
所以·=·(-)=.
設(shè)點A(x1,y1),則+y=1,即y=1-.
所以·==(x1-1)2+y=x-2x1+1+1-=x-2x1+2=2+.
因為點A(x1,y1)在曲線C上,所以-2≤x1≤2.
所以≤2+≤9.
所以·的取值范圍為.
規(guī)律總結(jié):
1.直接法求軌跡方程的常見類型及解題策略
(1)題目給出等量關(guān)系,求軌跡方程.可直接代入即可得出方程.
(2)題中未明確給出等量關(guān)系,求軌跡方程.可利用已知條件尋找等量關(guān)系,得出方程.
2.由曲線方程討論曲線類型的關(guān)鍵是確定參數(shù)的分段值.參數(shù)分段的確定標準,一般有兩類:
(1)二次項系數(shù)為0的值;
(2)二次項系數(shù)相等的值.
3.運用圓錐曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程.
4.定義法和待定系數(shù)法適用于已知軌跡是什么曲線,其方程是什么形式的方程的情況.利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解.