《2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習大二輪精準提分練習第二篇 第21練》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習大二輪精準提分練習第二篇 第21練(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第21練 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)[小題提速練]
[明晰考情] 1.命題角度:圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點.2.題目難度:中等偏難.
考點一 圓錐曲線的定義及標準方程
方法技巧 (1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時,一定不要忽視定義中的隱含條件.
(2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離,一般可以利用定義進行轉(zhuǎn)化.
(3)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型,后計算”.
1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是( )
A.y2-=1 B.x2-=
2、1
C.y2-=1(y≤-1) D.x2-=1(x≥1)
答案 C
解析 由兩點間距離公式,可得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,因為A,B都在橢圓上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故F的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的下支.由c=7,a=1,得b2=48,所以F的軌跡方程是y2-=1(y≤-1),故選C.
2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則該雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-
3、=1
答案 B
解析 由e=知a=b,且c=a.
∴雙曲線漸近線方程為y=±x.
又kPF===1,∴c=4,則a2=b2==8.
故雙曲線方程為-=1.
3.已知橢圓+=1的兩個焦點是F1,F(xiàn)2,點P在該橢圓上,若|PF1|-|PF2|=2,則△PF1F2的面積是________.
答案
解析 由橢圓的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=3,|PF2|=1.
又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2為直角三角形,且∠PF2F1為直角,
所以=|F1F
4、2||PF2|=×2×1=.
4.已知拋物線y=x2,A,B是該拋物線上兩點,且|AB|=24,則線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為________.
答案 8
解析 由題意得拋物線的標準方程為x2=16y,
焦點F(0,4),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由|AB|≤|AF|+|BF|=(y1+4)+(y2+4)=y(tǒng)1+y2+8,
∴y1+y2≥16,則線段AB的中點P的縱坐標y=≥8,
∴線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為8.
考點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
方法技巧 (1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍,就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程(組
5、)或不等式(組),再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式.
(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.
5.(2018·全國Ⅱ)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案 A
解析 雙曲線-=1的漸近線方程為bx±ay=0.
又∵離心率==,
∴a2+b2=3a2,∴b=a(a>0,b>0).
∴漸近線方程為ax±ay=0,即y=±x.
故選A.
6.(2018·全國Ⅲ)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,O是坐標原點.過F2作C
6、的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=|OP|,則C的離心率為( )
A. B.2 C. D.
答案 C
解析 如圖,過點F1向OP的反向延長線作垂線,垂足為P′,連接P′F2,由題意可知,四邊形PF1P′F2為平行四邊形,且△PP′F2是直角三角形.
因為|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.
又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a,
所以|F2P|=a=b,
所以c==a,所以e==.
7.(2017·山東)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|
7、+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為________.
答案 y=±x
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴y1+y2=.
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4×,
即y1+y2=p,
∴=p,即=,∴=,
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.
8.(2017·全國Ⅰ)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若∠MAN=60°,則C的離心率為________.
答案
解析 如圖,由題意知點A(a,0),雙
8、曲線的一條漸近線l的方程為y=x,即bx-ay=0,
∴點A到l的距離d=.
又∠MAN=60°,|MA|=|NA|=b,
∴△MAN為等邊三角形,
∴d=|MA|=b,
即=b,∴a2=3b2,
∴e== =.
考點三 圓錐曲線的綜合問題
方法技巧 (1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法
定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法;目標函數(shù)法;條件不等式法.
(2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破,然后對一般情況進行證明.
9.已知方程-=1表示橢圓,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.(-∞,-1)
B.(-2,+∞)
C.∪(-1,+∞)
D.∪
答案 D
解
9、析 由-=1轉(zhuǎn)化成標準方程為+=1,
假設(shè)焦點在x軸上,則2+m>-(m+1)>0,
解得-<m<-1;
假設(shè)焦點在y軸上,則-(m+1)>2+m>0,
解得-2<m<-.
綜上可知,m的取值范圍為∪.
10.(2016·全國Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為( )
A. B. C. D.2
答案 A
解析 如圖,因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|=.
又sin∠MF2F1=,
所以=,
即|MF2|=3|MF1|.由雙曲線的定義得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=
10、,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以離心率e==.
11.過拋物線y=ax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A,B兩點,若線段AF,BF的長分別為m,n,則=________.
答案
解析 顯然直線AB的斜率存在,故設(shè)直線方程為y=kx+,與y=ax2聯(lián)立,消去y得ax2-kx-=0,
設(shè)A(x1,ax),B(x2,ax),則x1+x2=,x1x2=-,
x+x=+,m=ax+,n=ax+,
∴mn=·,m+n=,∴=.
12.(2018·齊齊哈爾模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的短軸長為2,上頂點為A,左頂點為B,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,且
11、△F1AB的面積為,點P為橢圓上的任意一點,則+的取值范圍為________.
答案
解析 由已知得2b=2,故b=1,
∵△F1AB的面積為,
∴(a-c)b=,
∴a-c=2-,
又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,
∴+===,
又2-≤|PF1|≤2+,
∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,
∴1≤+≤4,
即+的取值范圍為.
1.若點O和點F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1(a>0)的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則·的取值范圍為( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
答
12、案 B
解析 由題意,得22=a2+1,即a=,設(shè)P(x,y),x≥,=(x+2,y),則·=(x+2)x+y2=x2+2x+-1=2-,因為x≥,所以·的取值范圍為[3+2,+∞).
2.若橢圓的對稱軸是坐標軸,且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形,焦點到同側(cè)頂點的距離為,則橢圓的方程為________________.
答案?。?或+=1
解析 由題意,得所以
所以b2=a2-c2=9.
所以當橢圓焦點在x軸上時,橢圓的方程為+=1;當橢圓焦點在y軸上時,橢圓的方程為+=1.
故橢圓的方程為+=1或+=1.
3.已知A(1,2),B(-1,2),動點P滿足⊥.若雙曲
13、線-=1(a>0,b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是________.
答案 (1,2)
解析 設(shè)P(x,y),由題設(shè)條件,得動點P的軌跡方程為(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0,
即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓.
又雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,
由題意,可得>1,即>1,
所以e=<2,又e>1,故1
14、本身的限制條件.
1.已知橢圓+=1(a>)的焦點為F1,F(xiàn)2,且離心率e=,若點P在橢圓上,|PF1|=4,則|PF2|的值為( )
A.2 B.6 C.8 D.14
答案 A
解析 橢圓+=1(a>),橢圓的焦點在x軸上,
b=,c=,
則離心率e==,即=,
解得a2=9,a=3,
∴橢圓的長軸長為2a=6,
由橢圓的定義可知,|PF1|+|PF2|=4+|PF2|=6,
∴|PF2|=2.
2.設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k等于( )
A. B.1
C. D.2
答案 D
解析 因為
15、拋物線方程是y2=4x,所以F(1,0). 又因為PF⊥x軸,所以P(1,2),把P點坐標代入曲線方程y=(k>0),即=2,所以k=2.
3.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點作直線交拋物線于P,Q兩點,若線段PQ中點的橫坐標為3,|PQ|=10,則拋物線的方程是( )
A.y2=4x B.y2=2x
C.y2=8x D.y2=6x
答案 C
解析 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由拋物線的定義可知,
|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+
=(x1+x2)+p,
∵線段PQ中點的橫坐標為3,
又|PQ|=1
16、0,
∴10=6+p,可得p=4,
∴拋物線的方程為y2=8x.
4.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,點B是虛軸上的一個頂點,線段BF與雙曲線C的右支交于點A,若=2,且||=4,則雙曲線C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 D
解析 設(shè)A(x,y),B為虛軸的上頂點,∵右焦點為F(c,0),點B(0,b),線段BF與雙曲線C的右支交于點A,且=2,
∴x=,y=,
代入雙曲線方程,得-=1,
且c2=a2+b2,
∴b=.
∵||=4,∴c2+b2=16,
∴a=2,b=,
∴雙曲線C的方程為-=1.
17、
5.已知雙曲線Γ:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線為l,圓C:(x-a)2+y2=8與l交于A,B兩點,若△ABC是等腰直角三角形,且=5(其中O為坐標原點),則雙曲線Γ的離心率為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 雙曲線的漸近線方程為y=x,圓(x-a)2+y2=8的圓心為(a,0),半徑r=2,由于∠ACB=,由勾股定理得|AB|==4,故|OA|=|AB|=1.在△OAC,△OBC中,由余弦定理得cos∠BOC==,解得a2=13.由圓心到直線y=x的距離為2,得=2,結(jié)合c2=a2+b2,解得c=,故離心率為==.
6.(2018·天津)已知雙曲
18、線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 C
解析 如圖,不妨設(shè)A在B的上方,
則A,B.其中的一條漸近線為bx-ay=0,則d1+d2===2b=6,∴b=3.
又由e==2,知a2+b2=4a2,
∴a=.
∴雙曲線的方程為-=1.
故選C.
7.已知O為坐標原點,F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.
19、過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 設(shè)M(-c,m)(m≠0),則E,OE的中點為D,則D,又B,D,M三點共線,
所以=,a=3c,所以e=.
8.設(shè)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.3
答案 B
解析 不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點,
|PF1|=r1,|PF2|=r2.根據(jù)雙曲線的定義,得r1-r2=2
20、a,
又r1+r2=3b,故r1=,r2=.
又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=(負值舍去),
故e====,故選B.
9.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為________.
答案 15
解析 因為橢圓+=1中,a=5,b=4,所以c=3,得焦點為F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0).根據(jù)橢圓的定義,得
|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).
因為|PM|-|PF2|≤|MF2|,
當且僅當P在MF2的延長線上時等號成立,
此時|PM|+|P
21、F1|的最大值為10+5=15.
10.(2017·全國Ⅱ)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=________.
答案 6
解析 如圖,不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi),拋物線C的準線交x軸于點A,過點M作準線的垂線,垂足為點B,交y軸于點P,
∴PM∥OF.
由題意知,F(xiàn)(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵點M為FN的中點,PM∥OF,
∴|MP|=|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由拋物線的定義知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.
22、11.已知拋物線y2=2px(p>0)上的一點M(1,t)(t>0)到焦點的距離為5,雙曲線-=1(a>0)的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實數(shù)a的值為________.
答案 3
解析 由題意知1+=5,∴p=8.
∴M(1,4),
由于雙曲線的左頂點A(-a,0),
且直線AM平行于雙曲線的一條漸近線,
∴=,則a=3.
12.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點,若M是線段PF1上一點,且滿足=2,·=0,則橢圓C的離心率的取值范圍為________.
答案
解析 設(shè)P(x,y)(y≠0),取MF1的中點N,
由=2知,=,
解得點N,
又·=0,
所以⊥,
連接ON,由三角形的中位線可知⊥,
即(x,y)·=0,
整理得(x-c)2+y2=c2(y≠0),
所以點P的軌跡為以(c,0)為圓心,c為半徑的圓(去除兩點(0,0),(2c,0)),要使得圓與橢圓有公共點,則a-c<c,所以e=>,又0