《高考數(shù)學(xué) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第9節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 理 新人教B版（47頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第9節(jié)隨機變量的節(jié)隨機變量的數(shù)字特征數(shù)字特征最新考綱1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題.知知 識識 梳梳 理理1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差 設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x1，x2，xn，這些值對應(yīng)的概率是p1，p2，pn.(1)數(shù)學(xué)期望：稱E(X)_為離散型隨機變量X的均值或_ (簡稱期望)，它刻畫了這個離散型隨機變量的_x1p1x2p2xnpn數(shù)學(xué)期望平均取值水平(2)方差：稱_叫做這個離散型隨機變量X的方差，即反映了離散型隨機變量取值相對于_的_(或說_)，D(X)的_叫做離散型隨機變量X

2、的標準差D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn期望平均波動大小離散程度2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_.(2)D(aXb)_(a，b為常數(shù)).3.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若X服從兩點分布，則E(X)_，D(X)_.(2)若XB(n，p)，則E(X)_，D(X)_.aE(X)ba2D(X)p(1p)pnpnp(1p)1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).()(2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量.()(3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平

3、均程度越小.()(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事.()診診 斷斷 自自 測測解析均值即期望值刻畫了離散型隨機變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.已知離散型隨機變量X的分布列為答案A3.(教材習(xí)題改編)已知X的分布列為答案A答案B5.(2018北京海淀區(qū)月考)如果隨機變量XB(n，p)，且E(X)7，D(X)6，則p_.的分布列為規(guī)律方法(1)求離散型隨機變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式

4、進行計算.(2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 (2018蚌埠二模)賭博有陷阱.某種賭博游戲每局的規(guī)則是：參與者從標有5，6，7，8，9的小球中隨機摸取一個(除數(shù)字不同外，其余均相同)，將小球上的數(shù)字作為其賭金(單位：元)，然后放回該小球，再隨機摸取兩個小球，將兩個小球上數(shù)字之差的絕對值的2倍作為其獎金(單位：元).若隨機變量X和Y分別表示參與者在每一局賭博游戲中的贖金與獎金，則E(X)E(Y)_元.答案3考點二與二項分布有關(guān)的均值與方差考點二與二項分布有關(guān)的均值與方差【例2】 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖

5、所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X).解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2

6、)X可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為因為XB(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.X0123P0.0640.2880.4320.216規(guī)律方法二項分布的期望與方差.(1)如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求出D(ab).【訓(xùn)練2】 (2018長沙調(diào)研)為了解一種植物果實的情況，隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量(單位：克)，按照2

7、7.5，32.5)，32.5，37.5)，37.5，42.5)，42.5，47.5)，47.5，52.5分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示.(1)求圖中a的值；(2)估計這種植物果實重量的平均數(shù)x和方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(3)已知這種植物果實重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實，用樣本估計總體.若從這種植物果實中隨機抽取3個，其中優(yōu)質(zhì)果實的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)組距d5，由5(0.020.040.075a0.015)1得a0.05.(2)各組中點值和相應(yīng)的頻率依次為中點值3035404550頻率0.10.20.3750.250.075X的

8、分布列為E(X)np2.7.X0123P0.0010.0270.2430.729所以，隨機變量X的分布列為解若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元.則X1的分布列為規(guī)律方法隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【訓(xùn)練3】 (2018河南百校聯(lián)盟調(diào)研)PM2.5是衡量空氣污染程度的一個指標，為了了解某市空氣質(zhì)量情況，從去年每天的PM2.5值的數(shù)據(jù)中隨機抽取40天的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示.現(xiàn)將PM2.5的值劃分為如下等級用頻率估計概率

9、.PM2.5值0，100)100，150)150，200)200，250等級一級二級三級四級(1)估計該市在下一年的360天中空氣質(zhì)量為一級天氣的天數(shù)；(2)在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值的數(shù)據(jù)，再從這8個數(shù)據(jù)中隨機抽取5個，求一級、二級、三級、四級天氣都有的概率；(3)如果該市對環(huán)境進行治理，治理后經(jīng)統(tǒng)計，每天PM2.5值X近似滿足XN(115，752)，則治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了多少？解(1)由樣本空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，其頻率分布如下表：由上表可知，如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市下一年的某一天空氣質(zhì)量為一級天氣的概率為0.25，

10、因此在360天中約有3600.2590天.PM2.5值0，50) 50，100)100，150)150，200)200，250頻率0.1250.1250.3750.250.125(2)在樣本中，按照分層抽樣的方法抽取8天的PM2.5值數(shù)據(jù)，則這8個數(shù)據(jù)中一級、二級、三級、四級天氣的數(shù)據(jù)分別有2個、3個、2個、1個.從這8個數(shù)據(jù)中隨機抽取5個，則這四種天氣都有三種情況：一級天氣的數(shù)據(jù)有2個，其余的均為1個；二級天氣的數(shù)據(jù)有2個，其余的均為1個；三級天氣的數(shù)據(jù)有2個，其余的均為1個.(3)如果該市維持現(xiàn)狀不變，則該市的PM2.5值的均值約為E(Y)250.125750.1251250.3751750.252250.125131.25.如果該市對環(huán)境進行治理，則該市的PM2.5值X的均值為E(X)115，因此該市治理后的PM2.5值的均值比治理前大約下降了16.25.