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1、
課時(shí)分層訓(xùn)練(四十一)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
(建議用時(shí):30分鐘)
一、填空題
1.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是____________.(填序號(hào)) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172226】
①α⊥β且m?α;
②α⊥β且m∥α;
③m∥n且n⊥β;
④m⊥n且α∥β.
③ [由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理,可知③正確.]
2.(2017·徐州模擬)設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是____________.(填序號(hào))
①若l∥α,l∥β,則α∥β;
②若l∥α,l⊥β,則α⊥β;
③若
2、α⊥β,l⊥α,則l∥β;
④若α⊥β,l∥α,則l⊥β.
② [①中,α∥β或α與β相交,不正確.②中,過(guò)直線l作平面γ,設(shè)α∩γ=l′,則l′∥l,
由l⊥β,知l′⊥β,從而α⊥β,②正確.
③中,l∥β或l?β,③不正確.
④中,l與β的位置關(guān)系不確定.]
3.如圖41-8,在正四面體P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論不成立的是____________.(填序號(hào))
圖41-8
①BC∥平面PDF;
②DF⊥平面PAE;
③平面PDF⊥平面PAE;
④平面PDE⊥平面ABC.
④ [因?yàn)锽C∥DF,DF?平面PDF,
BC?平
3、面PDF,
所以BC∥平面PDF,故①正確.
在正四面體中,AE⊥BC,PE⊥BC,DF∥BC,
所以BC⊥平面PAE,則DF⊥平面PAE,從而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正確.]
4.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說(shuō)法正確的是____________.(填序號(hào))
①若m⊥n,n∥α,則m⊥α;
②若m∥β,β⊥α,則m⊥α;
③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α;
④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α.
③ [①中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m與α相交或m⊥α,錯(cuò)誤;
②中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯(cuò)誤;
③中,
4、由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正確;
④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α,錯(cuò)誤.]
5.如圖41-9,在三棱錐D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列命題中正確的是________.(填序號(hào))
圖41-9
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABD⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
③ [因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BD
5、E.又AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.]
6.如圖41-10所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172227】
圖41-10
DM⊥PC(或BM⊥PC等) [由定理可知,BD⊥PC.
∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí),有PC⊥平面MBD.
又PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.]
7.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥
6、β;
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
③如果α∥β,m?α,那么m∥β;
④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.
其中正確的命題有________.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))
②③④ [對(duì)于①,α,β可以平行,也可以相交但不垂直,故錯(cuò)誤.
對(duì)于②,由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l?α,n∥l,又m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故正確.
對(duì)于③,因?yàn)棣痢桅?,所以α,β沒(méi)有公共點(diǎn).又m?α,所以m,β沒(méi)有公共點(diǎn),由線面平行的定義可知m∥β,故正確.
對(duì)于④,因?yàn)閙∥n,所以m與α所成的角和n與α所成的角相等.因?yàn)棣痢桅?,所以n與α所成的角和n與β所成的角
7、相等,所以m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確.]
8.如圖41-11,在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長(zhǎng)都相等,側(cè)棱垂直于底面,點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是________.
圖41-11
[取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,則AE⊥平面BB1C1C.
所以∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角.
設(shè)三棱柱的所有棱長(zhǎng)為a,
在Rt△AED中,
AE=a,DE=.
所以tan∠ADE==,則∠ADE=.
故AD與平面BB1C1C所成的角為.]
9.如圖41-12,直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=B
8、C=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)___________.
圖41-12
[設(shè)B1F=x,
因?yàn)锳B1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=,
設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h,
則DE=h.
由面積相等得2×=h,
所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,
B1E==.
由面積相等得×=x,
得x=.]
10.(2017·南京模擬)如圖41-13,PA⊥圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E,F(xiàn)分別
9、是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出下列結(jié)論:
①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.
圖41-13
其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172228】
①②③ [由題意知PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,且PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC,且BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,
∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,
∴PB⊥平面AEF,∴PB⊥EF,
故①②③正確.]
11.(2017·鹽城模擬)如圖41-14,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥B
10、C,BC=CC1.
設(shè)AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E,求證:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
圖41-14
[證明] (1)由題意知,E為B1C的中點(diǎn),
又D為AB1的中點(diǎn),因此DE∥AC.
因?yàn)镈E?平面AA1C1C,AC?平面AA1C1C,
所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因?yàn)槔庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.
因?yàn)锳C?平面ABC,所以AC⊥CC1.
因?yàn)锳C⊥BC,CC1?平面BCC1B1,BC?平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.
因?yàn)锽C1?平面BCC1B1,所以BC
11、1⊥AC.
因?yàn)锽C=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.
因?yàn)锳C,B1C?平面B1AC,AC∩B1C=C,
所以BC1⊥平面B1AC.
因?yàn)锳B1?平面B1AC,所以BC1⊥AB1.
12.(2016·蘇州期末)如圖41-15,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),A1C1與B1D1交于點(diǎn)O.
(1)求證:A1,C1,F(xiàn),E四點(diǎn)共面;
(2)若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E,求證:OD⊥平面A1C1FE.
【導(dǎo)學(xué)號(hào):62172229】
圖41-15
[證明] (1)連結(jié)AC,因?yàn)镋,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn)
12、,所以EF是△ABC的中位線,
所以EF∥AC.
由直棱柱知AA1綊CC1,所以四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以AC∥A1C1.
所以EF∥A1C1,
故A1,C1,F(xiàn),E四點(diǎn)共面.
(2)連結(jié)BD,因?yàn)橹崩庵蠨D1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,
所以DD1⊥A1C1.
因?yàn)榈酌鍭1B1C1D1是棱形,所以A1C1⊥B1D1.
又DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面BB1D1D.
因?yàn)镺D?平面BB1D1D,所以O(shè)D⊥A1C1.
又OD⊥A1E,A1C1∩A1E=A1,A1C1?平面A1C1FE,A1E?平面A1C1FE,
所以O(shè)D⊥
13、平面A1C1FE.
B組 能力提升
(建議用時(shí):15分鐘)
1.如圖41-16,在正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說(shuō)法正確的是____________.(填序號(hào))
圖41-16
①O是△AEF的垂心; ③O是△AEF的內(nèi)心;
③O是△AEF的外心; ④O是△AEF的重心.
① [由題意可知PA,PE,PF兩兩垂直,
所以PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF,
而PO⊥平面AEF,則PO⊥EF,因?yàn)镻O∩PA=P,
所以EF⊥平面PAO
14、,
所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
所以O(shè)為△AEF的垂心.]
2.如圖41-17,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=________時(shí),CF⊥平面B1DF.
圖41-17
a或2a [∵B1D⊥平面A1ACC1,∴CF⊥B1D.
為了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F).
設(shè)AF=x,則CD2=DF2+FC2,
∴x2-3ax+2a2=0,∴x=a或x=2a.]
3.(2016·四川高考)如圖41-
15、18,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.
圖41-18
(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PAB,并說(shuō)明理由;
(2)證明:平面PAB⊥平面PBD.
[解] (1)取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).
理由如下:連結(jié)CM,
因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,
所以BC∥AM,且BC=AM.
所以四邊形AMCB是平行四邊形,
所以CM∥AB.
又AB?平面PAB,CM?平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(說(shuō)明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))
(2)證
16、明:由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,
因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,所以直線AB與CD相交,
所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
因?yàn)锳D∥BC,BC=AD,M為AD的中點(diǎn),連結(jié)BM,
所以BC∥MD,且BC=MD,
所以四邊形BCDM是平行四邊形,
所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD.
4.⊙O的直徑AB=4,點(diǎn)C,D為⊙O上兩點(diǎn),且∠CAB=45°,F(xiàn)為的中點(diǎn).沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖①).
① ?、?
圖41-19
(1)求證:OF∥平
17、面ACD;
(2)在AD上是否存在點(diǎn)E,使得平面OCE⊥平面ACD?若存在,試指出點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[解] (1)證明:由∠CAB=45°,知∠COB=90°,
又因?yàn)镕為的中點(diǎn),
所以∠FOB=45°,因此OF∥AC,
又AC?平面ACD,OF?平面ACD,
所以O(shè)F∥平面ACD.
(2)存在,E為AD中點(diǎn),
因?yàn)镺A=OD,所以O(shè)E⊥AD.
又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直.
所以O(shè)C⊥平面OAD.
又AD?平面OAD,所以AD⊥OC,
由于OE,OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線,
所以AD⊥平面OCE.
又AD?平面ACD,
所以平面OCE⊥平面ACD.