《【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第2篇 能力提升練——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)北師大版一輪訓(xùn)練：第2篇 能力提升練——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（10頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、能力提升練——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (建議用時(shí)：90分鐘) 一、選擇題 1．(2014·新余模擬)若曲線f(x)＝xsin x＋1在x＝處的切線與直線ax＋2y＋1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為(　　)． A．－2　 B．－1　 C．1　 D．2 解析　直線ax＋2y＋1＝0的斜率為－，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin＋cos ＝1，由－×1＝－1，解得a＝2. 答案　D 2．(2014·上高二中模擬)曲線y＝ex在點(diǎn)A處的切線與直線x－y＋3＝0平行，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　)． A．(－1，e－1)　 B．(0,1) C．(1，e)　 D．(0,2)

2、 解析　直線x－y＋3＝0的斜率為1，所以切線的斜率為1，因?yàn)閥′＝ex，所以由y′＝ex＝1，解得x＝0，此時(shí)y＝e0＝1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)． 答案　B 3．(2014·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)曲線y＝x3＋x在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(　　)． A．　 B．　 C．　 D． 解析　y′＝f′(x)＝x2＋1，在點(diǎn)的切線斜率為k＝f′(1)＝2.所以切線方程為y－＝2(x－1)，即y＝2x－，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以三角形的面積為××＝. 答案　B 4．(2014·長安一中模擬)函數(shù)f(x)＝x＋的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)． A．(－1,1)　 B．(－1

3、,0)∪(0,1) C．(－1,0)，(0,1)　 D．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析　函數(shù)f(x)＝x＋的定義域?yàn)閤≠0，令f′(x)＝1－＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,0)，(0,1)． 答案　C 5．設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為(　　)． A．－1　 B．0　 C．－　 D． 解析　g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x＝或－(舍去)． 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表： x 0 1 g′(x) － 0 ＋ g(

4、x) 0  極小值  0 所以當(dāng)x＝時(shí)，g(x)有最小值g＝－. 答案　C 6．(2014·宜春模擬)函數(shù)y＝＋sin x的圖像大致是(　　)． 解析　函數(shù)y＝f(x)＝＋sin x為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B.當(dāng)x→＋∞時(shí)，y＞0，排除D.f′(x)＝＋cos x，由f′(x)＝＋cos x＝0，得cos x＝－，所以函數(shù)y＝f(x)＝＋sin x的極值有很多個(gè)，排除A，所以選C. 答案　C 7．(2014·金溪一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin x－x(x∈[0，π])，那么下列結(jié)論正確的是(　　)． A．f(x)在上是增函數(shù) B．f(x)在上是

5、減函數(shù) C．存在x∈[0，π]，f(x)>f D．任意x∈[0，π]，f(x)≤f 解析　注意到f′(x)＝cos x－，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，f(x)在[0，π]內(nèi)的最大值是f，即任意x∈[0，π]，都有f(x)≤f，因此D正確． 答案　D 8．(2014·漢中模擬)若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　)． A．[1，＋∞)　 B．　 C．[1,2)　 D． 解析　f′(x)＝4x－＝(x＞0)， 令f′(x)＝0，得x＝

6、， 據(jù)題意得解得k∈. 答案　B 9．(2014·青島一模)已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖像如圖所示，則x＋x等于(　　)． A．　 B．　 C．　 D． 解析　由圖可知f(1)＝0，f(2)＝0， ∴解得 ∴f(x)＝x3－3x2＋2x， ∴f′(x)＝3x2－6x＋2. 由圖可知x1，x2為f(x)的極值點(diǎn)， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝. ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝. 答案　C 10．(2013·湖北卷)已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)． A．(－∞，0)　 B．(0，) C

7、．(0,1)　 D．(0，＋∞) 解析　由題知，x>0，f′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′(x)＝0有兩個(gè)不等的正根，即函數(shù)y＝ln x＋1與y＝2ax的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x>0)，則a>0；設(shè)函數(shù)y＝ln x＋1上任一點(diǎn)(x0,1＋ln x0)處的切線為l，則kl＝y(tǒng)′＝，當(dāng)l過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，＝?x0＝1，令2a＝1?a＝，結(jié)合圖像知0

8、x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3. 答案　3 12．(2014·白鷺洲中學(xué)模擬)f(x)＝x－sin x－cos x的圖像在點(diǎn)A(x0，f(x0))處的切線斜率為，則tan 2x0的值為________． 解析　f′(x)＝－cos x＋sin x， ∴f′(x0)＝－cos x0＋sin x0＝， 即sin x0－cos x0＝0， ∴tan x0＝， ∴tan 2x0＝＝＝. 答案　 13． (2014·揚(yáng)州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x－(m∈R)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝________. 解析　f′(x)＝＋＝(x＞0)， ①當(dāng)m＞0時(shí)，f′(x)

9、＞0，f(x)在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)， f(x)有最小值f(1)＝－m＝4， 得m＝－4，與m＞0矛盾． ②當(dāng)m＜0時(shí)，若－m＜1，即m＞－1， f(x)min＝f(1)＝－m＝4， 得m＝－4，與m＞－1矛盾； 若－m∈[1，e]，即－e≤m≤－1， f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1＝4， 解得m＝－e3，與－e≤m≤－1矛盾； 若－m＞e，即m＜－e時(shí)，f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e，符合題意． 答案　－3e 14．(2014·鎮(zhèn)安中學(xué)模擬)已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g

10、(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________ . 解析　f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，當(dāng)x＞－1時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＜－1時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)取得極小值，即最小值為f(－1)＝－.函數(shù)g(x)的最大值為a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，則有g(shù)(x)的最大值大于或等于f(x)的最小值，即a≥－. 答案　 三、解答題 15．(2013·廣東卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－kx2. (1)當(dāng)k＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是

11、增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解　(1)當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)＝(x－1)ex－x2， ∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)． 令f′(x)>0，即x(ex－2)>0， ∴x>ln 2或x<0. 令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0

12、 由于ex≥1，∴2k≤1，則k≤. 又當(dāng)k＝時(shí)，f′(x)＝x(ex－1)≥0當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)．因此，實(shí)數(shù)k的取值范圍是. 16．(2014·江西九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處取得極值． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若過點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3， 依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0， 即解得a＝1，b＝0. ∴f(x)＝x3－3x. (2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)， ∵曲線方程為y＝x3－3x，

13、 ∴點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)不在曲線上． 設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y0＝x－3x0. ∵f′(x0)＝3(x－1)， ∴切線的斜率為3(x－1)＝， 整理得2x－3x＋m＋3＝0. ∵過點(diǎn)A(1，m)可作曲線的三條切線， ∴關(guān)于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三個(gè)實(shí)根． 設(shè)g(x0)＝2x－3x＋m＋3，則g′(x0)＝6x－6x0， 由g′(x0)＝0，得x0＝0或1.∴g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減． ∴函數(shù)g(x0)＝2x－3x＋m＋3的極值點(diǎn)為x0＝0和1. ∴關(guān)于x0的方程2x－3x＋m＋3＝0有三

14、個(gè)實(shí)根的充要條件是解得－3

15、x)最大，并求出L(x)的最大值． 參考公式：(eax＋b)′＝aeax＋b(a，b為常數(shù))． 解　(1)由題意，該產(chǎn)品一年的銷售量y＝， 將x＝40，y＝500代入得k＝500e40， 該產(chǎn)品一年的銷售量y(萬件)關(guān)于x(元)的函數(shù)關(guān)系式為y＝500e40－x. 所以分公司一年的利潤L(萬元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)． (2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]＝500e40－x(31＋a－x)．令L′(x)＝0，得x＝31＋a， ∵2≤a≤5，∴33≤31＋a≤36， 在x

16、＝31＋a兩側(cè)L′(x)的值由正變負(fù)， 當(dāng)33≤a＋31≤35，即2≤a≤4時(shí)，L(x)在[35,41]上單調(diào)遞減．L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5. 當(dāng)35＜a＋31≤36＜41，即4＜a≤5時(shí)，L(x)在(35,31＋a)上單調(diào)遞增；在(31＋a,41]上單調(diào)遞減，因此L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a， ∴L(x)max＝ 當(dāng)2≤a≤4時(shí)，每件產(chǎn)品的售價(jià)為35元，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500(5－a)e5萬元；當(dāng)4＜a≤5時(shí)，每件產(chǎn)品的售價(jià)為(31＋a)元，該產(chǎn)品一年的利潤L(x)最大，最大為500e9－a萬元． 18．(2014·臨川

17、二中模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋aln x－2(a>0)． (1)若對于任意x∈(0，＋∞)都有f(x)>2(a－1)成立，試求a的取值范圍； (2)記g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R)，當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)g(x)在區(qū)間[e－1，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍． 解　(1)f′(x)＝－＋＝. 由f′(x)>0，解得x>； 由f′(x)<0，解得02(a－1)成立， 所以只需滿足f>2(a－1)即可． 則＋aln －2>2(a－1)，即aln >a. 由aln >a，解得00解得x>1； 由g′(x)<0解得0