3、,1]，故選C.
[答案] C
5．(2017·湖北孝感七校聯(lián)盟期末)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為( )
A. B. C. D.
[解析] 如圖，設(shè)|AF|＝x，則cos∠ABF＝＝.解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由橢圓及直線關(guān)于原點對稱可知|AF1|＝8，∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，△FAF1是直角三角形，所以|F1F|＝10，故2a＝8＋6＝14,2c＝10，
∴＝.
[答案] B
6．(2017·上海崇明一模)如圖，已
4、知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－2，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|＝4，則橢圓C的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析] 依題意，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F′，連接PF′.
由已知，半焦距c＝2.又由|OP|＝|OF|＝|OF′|，知∠FPF′＝90°.
在Rt△PFF′中，|PF′|＝＝＝8.由橢圓的定義可知2a＝|PF|＋|PF′|＝4＋8＝12，所以a＝6，于是b2＝a2－c2＝62－(2)2＝16，故所求橢圓方程為＋＝1，故選C.
[答案] C
二、填空題
7．(2018
5、·北京朝陽模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構(gòu)成正三角形，則此橢圓的方程為__________．
[解析] 由△FMN為正三角形，得c＝|OF|＝|MN|＝×b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故橢圓的方程為＋＝1.
[答案]?。?
8．(2018·湖北武漢十六中月考)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為__________．
[解析] 由＋＝1可知橢圓的右頂點坐標為(4,0)，上、下頂點坐標為(0，±2)．
∵圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸上，
∴①當圓經(jīng)過橢圓右頂點及短軸
6、兩端點時，
設(shè)圓的圓心為(x,0)，則＝4－x，解得x＝，∴圓的半徑為，
所求圓的方程為2＋y2＝.
②當圓經(jīng)過橢圓左頂點及短軸兩端點時，
同理可得圓的方程為2＋y2＝.
[答案] 2＋y2＝
9．從橢圓＋＝1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率是________．
[解析] 由已知，點P(－c，y) 在橢圓上，代入橢圓方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則＝，即該橢圓的離心率是.
[答案]
三、解
7、答題
10．(2017·湖南長沙望城一中第三次調(diào)研)P為圓A：(x＋1)2＋y2＝8上的動點，點B(1,0)．線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點M，記點M的軌跡為Γ.
(1)求曲線Γ的方程；
(2)當點P在第一象限，且cos∠BAP＝時，求點M的坐標．
[解] (1)圓A的圓心為A(－1,0)，半徑等于2.
由已知得|MB|＝|MP|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2，
故曲線Γ是以A，B為焦點，以2為長軸長的橢圓，設(shè)Γ的方程為＋＝1(a>b>0)，a＝，c＝1，b＝1，
所以曲線Γ的方程為＋y2＝1.
(2)由點P在第一象限，cos∠BAP＝，|AP|＝2，
8、得P.
于是直線AP的方程為y＝(x＋1)．
代入橢圓方程，消去y，可得
5x2＋2x－7＝0，即(5x＋7)(x－1)＝0.
所以x1＝1，x2＝－.因為點M在線段AP上，
所以點M的坐標為.
[能力提升]
11．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓C上存在點P，使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點F2，則橢圓C離心率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖所示，
∵線段PF1的中垂線經(jīng)過F2，
∴PF2＝F1F2＝2c，即橢圓上存在一點P，使得PF2＝2c.
∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝∈.故選C.
9、
[答案] C
12．如圖，橢圓的中心在坐標原點O，頂點分別是A1，A2，B1，B2，焦點分別為F1，F(xiàn)2，延長B1F2與A2B2交于P點，若∠B1PA2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2為鈍角可轉(zhuǎn)化為，所夾的角為鈍角，則(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0n>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P
10、是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點，則·＝________.
[解析] 由題知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)P(x0，y0)，則x＋y＝b2，∴·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x＋y－c2＝b2－c2＝n－(m－n)＝2n－m.
[答案] 2n－m
14．(2018·云南保山期末)橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點為F1，若橢圓上存在一個點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點，則橢圓的離心率為________．
[解析] 設(shè)⊙O與PF1切于點M，連接PF2，OM.因為M為PF1的中點，所以O(shè)M綊PF2，得|PF2|＝2b，又|PF1|＋|
11、PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－2b，|MF1|＝a－b.在Rt△OMF1中，由|OM|2＋|MF1|2＝|OF1|2，得b2＋(a－b)2＝c2.所以b2＋(a－b)2＝a2－b2，得a＝b，c＝b，所以e＝＝.
[答案]
15．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率．
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
[解] (1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(
12、－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，設(shè)B(x，y)．
由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，
即B.
將B點坐標代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.
又由·＝(－c，－b)·＝，
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②
由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.
所以橢圓的方程為＋＝1.
16．(2017·貴州遵義模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|
13、MN|＝5|F1N|，求a，b.
[解] (1)∵M是C上一點且MF2與x軸垂直，∴M的橫坐標為c.
當x＝c時，y＝±，由直線MN的斜率為，得M，即tan∠MF1F2＝＝＝，即b2＝ac＝a2－c2，即c2＋ac－a2＝0，則e2＋e－1＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝或e＝－2(舍去)，即e＝.
(2)由題意，原點O是F1F2的中點，則直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，設(shè)M(c，y0)(y0>0)，則＋＝1，即y＝，解得y0＝.
∵OD是△MF1F2的中位線，∴＝4，即b2＝4a，
由|MN|＝5|F1N|，
得|MF1|＝4|F1N|，解得|DF1|
14、＝2|F1N|，即＝2.
設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則(－c，－2)＝2(x1＋c，y1)．
即解得代入橢圓方程得＋＝1，
將b2＝4a代入得＋＝1，解得a＝7，b＝2.
[延伸拓展]
1．(2017·石家莊質(zhì)檢)已知兩定點A(－2,0)和B(2,0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為( )
A. B. C. D.
[解析] 設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為A1(x1，y1)，則有解得x1＝－3，y1＝1，
易知|PA|＋|PB|的最小值等于|A1B|＝，因此橢圓
C的離心率e＝＝的最大值為.
[答案] B
2．(2017·上海虹口一模)一個底面半徑為2的圓柱被與其底面所成角是60°的平面所截，截面得一個橢圓，則該橢圓的焦距等于________．
[解析] ∵底面半徑為2的圓柱被與底面成60°的平面所截，其截面是一個橢圓，∴這個橢圓的短半軸長為2，長半軸長為＝4.∵a2＝b2＋c2，∴c＝＝2，∴橢圓的焦距為4.
[答案] 4
與名師對話高三數(shù)學文一輪復(fù)習課時跟蹤訓練：第九章 平面解析幾何 課時跟蹤訓練49 Word版含解析
