《高考數(shù)學(xué) 第二章 第十三節(jié) 定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 第二章 第十三節(jié) 定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件 理 新人教A版（55頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十三節(jié) 定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.1.定積分定積分(1)(1)定積分的定義及相關(guān)概念定積分的定義及相關(guān)概念一般地，如果函數(shù)一般地，如果函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間a a，b b上連續(xù)，用分點(diǎn)上連續(xù)，用分點(diǎn)a ax x0 0 xx1 1x xi i1 1xxi ix xn nb b，將區(qū)間，將區(qū)間a a，b b等分成等分成n n個(gè)小個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間x xi i1 1，x xi i上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)i i(i(i1,21,2，n)n)，作和式，作和式 當(dāng)當(dāng)nn時(shí)，上述和式時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常

2、數(shù)叫做函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間a a，b b上上的定積分，記作的定積分，記作nniii 1i 1bafxf,n baf x dx.在在 中，中，a a與與b b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間_叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(xf(x) )叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)，x x叫做叫做_，_叫做被積式叫做被積式 baf x dxa a，b b積分變量積分變量f(x)dxf(x)dx(2)(2)定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì) _(k_(k為常數(shù)為常數(shù)) ) _._._ ( (其中其中acb)ac1t1，若，若 則則t t_._.【解析【解析】從而得方程從而

3、得方程t t2 2t t2 2t t2 2，解得，解得t t2.2.答案答案: : 2 2t212x 1 dxt ，t2t2112x 1 dxxx |tt2 ，考向考向 1 1 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算 【典例【典例1 1】(1)(2012(1)(2012江西高考江西高考) )計(jì)算定積分計(jì)算定積分_. _. (2)(2013(2)(2013莆田模擬莆田模擬) _.) _.(3) (3) 則則 為為_._.121(xsin x)dx201 sin 2xdx 2f x3 2xx， 31f x dx【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用微積分基本定理求得定積分的值利用微積分基本定理求得定積分的值.(

4、2).(2)因因?yàn)闉?故應(yīng)去掉絕對(duì)值后再解故應(yīng)去掉絕對(duì)值后再解.(3).(3)先判斷出先判斷出 表示的幾何意義，再利用定積分的幾何意義求表示的幾何意義，再利用定積分的幾何意義求解解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】答案答案: :1 sin2xsinxcosx， 2f x3 2xx 123111121xsin x dx( xcos x)|.3323(2) (2) 答案答案: : 201 sin 2xdx20sin xcos x dx4204(cosxsin x)dxsin xcos x dx 4204sin xcos x |cos xsin x |21122 22. 2 22(3)(3)由由 得得(x

5、(x1)1)2 2y y2 24(y0)4(y0)，表示以表示以(1(1，0)0)為圓心，為圓心，2 2為半徑的圓在為半徑的圓在x x軸上方的部分，軸上方的部分， 是圓面積的是圓面積的 ，答案答案: : 22y3 2xx4x 1，3213 2xx dx14322113 2xx dx2.4【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在本例題在本例題(3)(3)中條件不變，求中條件不變，求 的值的值. .【解析【解析】由本例題由本例題(3)(3)的解答過程知，的解答過程知， 表示以表示以(1(1，0)0)為圓心，為圓心，2 2為半徑的圓在為半徑的圓在x x軸上方的部分的面積，軸上方的部分的面積，故故 31f x dx

6、31 f x dx 3211f x dx22 .2【拓展提升【拓展提升】計(jì)算定積分的步驟計(jì)算定積分的步驟(1)(1)把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差數(shù)與常數(shù)的積的和或差. .(2)(2)把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分積分. .(3)(3)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù). .(4)(4)利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值利用微積分基本定理求出各個(gè)定積分的值. .(5)(5)計(jì)算原始定積分的值計(jì)算原

7、始定積分的值. .【變式備選【變式備選】求下列定積分求下列定積分(1)(1)(2)(2)(3)(3)【解析【解析】(1)(1)0 xcos xedx.213 2x dx.5353x4sin x dx.000 xxcos xedxcos xdxe dx0 x01sin x |e |1.e(2)(2)33 2x 1x23 2x32x3x22， ，322231123 2x dx32x dx32x dx32231232x dx2x3 dx322221323xx|x3x | 222233333( )3 1 123 2( )32222 9999122.24422 (3) (3) 表示直線表示直線x x5

8、5，x x5 5，y y0 0和曲線和曲線y=f(xy=f(x) )3x3x3 34sin x 4sin x 所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x x軸上軸上方的面積取正號(hào)，在方的面積取正號(hào)，在x x軸下方的面積取負(fù)號(hào)軸下方的面積取負(fù)號(hào). .又又f(f(x)x)3(3(x)x)3 34sin(4sin(x)x)(3x(3x3 34sin x)4sin x)f(xf(x).).所以所以f(xf(x) )3x3x3 34sin x4sin x在在5,55,5上是奇函數(shù)，上是奇函數(shù)，所以所以所以所以5353x4sin x dx053350(3x4sinx)dx(3x

9、4sinx)dx+，505333550(3x4sin x)dx(3x4sin x)dx(3x4sin x)dx0.考向考向 2 2 平面圖形的面積問題平面圖形的面積問題【典例【典例2 2】(1)(2012(1)(2012山東高考山東高考) )設(shè)設(shè)a a0,0,若曲線若曲線 與直線與直線x xa a，y=0y=0所圍成封閉圖形的面積為所圍成封閉圖形的面積為a a2 2，則，則a=_.a=_.(2)(2)拋物線拋物線y y2 22x2x與直線與直線y y4 4x x所圍成的平面圖形的面積為所圍成的平面圖形的面積為_._.yx【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)作出圖象作出圖象, ,利用定積分求解即可

10、利用定積分求解即可. .(2)(2)畫出草圖，設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形畫出草圖，設(shè)法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題的面積問題. .可以從把可以從把x x當(dāng)積分變量與把當(dāng)積分變量與把y y當(dāng)積分變量?jī)蓚€(gè)角度當(dāng)積分變量?jī)蓚€(gè)角度求解求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)求曲線求曲線 與直線與直線x=a,yx=a,y=0=0所圍成封閉圖所圍成封閉圖形的面積，即形的面積，即 解得解得答案答案: : yx33aa2220022xdxx |a0a33，4a.949(2)(2)方法一：如圖，方法一：如圖，由由得交點(diǎn)得交點(diǎn)A(2,2)A(2,2)，B(8B(8，4)4)，則

11、則 方法二：方法二：答案答案: : 18182y2x,y4x,2802S2x(2x)dx4x2xdx 3322822024 2x2 21638x |(4xx )|18.323332223244y11S4ydy (4yyy )|18.226 【互動(dòng)探究【互動(dòng)探究】在本例題在本例題(1)(1)中，將中，將“直線直線x=a,yx=a,y=0”=0”改為改為“直直線線y=x-2y=x-2，y y軸軸”，其他條件不變，則，其他條件不變，則a a的值為的值為_._.【解析【解析】 與與y=x-2y=x-2以以及及y y軸所圍成的圖形如圖所軸所圍成的圖形如圖所示的陰影部分，示的陰影部分，yx聯(lián)立聯(lián)立 得交點(diǎn)

12、坐標(biāo)為得交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)(4,2)，故所求面積為，故所求面積為即即 解得解得 . .答案答案: : yxyx2，32442002x16Sxx2dxx(2x) |.323216a3，4 3a34 33【拓展提升【拓展提升】利用定積分求平面圖形面積的四個(gè)步驟利用定積分求平面圖形面積的四個(gè)步驟(1)(1)畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象. .(2)(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限下限. .(3)(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和把曲邊梯形的面

13、積表示成若干個(gè)定積分的和. .(4)(4)計(jì)算定積分，寫出答案計(jì)算定積分，寫出答案. .【提醒【提醒】利用定積分求平面圖形的面積，一定要找準(zhǔn)積分上限、利用定積分求平面圖形的面積，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分情況討論下限及被積函數(shù)，當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分情況討論. .【變式備選【變式備選】(1)(1)曲線曲線y ysin x(0 x)sin x(0 x)與直線與直線 圍成的圍成的封閉圖形的面積是封閉圖形的面積是( )( )【解析【解析】選選D.D.由由 與與0 x0 x得得 或或 所以曲線所以曲線y ysin x(0 x)sin x(0 x)與直線與直線 圍成的

14、封閉圖形的面積是圍成的封閉圖形的面積是1y2 A3B 23C 2D333 1sin x2x656，1y256615Ssin xdx()266566cos x |3 5cos ( cos)3.6633 (2)(2)函數(shù)函數(shù) 的圖象與的圖象與x x軸所圍成的封閉圖形軸所圍成的封閉圖形的面積為的面積為_._.【解析【解析】根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合圖形可得所求的封閉圖形的面積為根據(jù)定積分的幾何意義結(jié)合圖形可得所求的封閉圖形的面積為答案答案: : x 11x0f xcos x 0 x2，220011S1 1cos xdxsin x |22 13sinsin 0.22232考向考向 3 3 定積分在物理中

15、的應(yīng)用定積分在物理中的應(yīng)用【典例【典例3 3】(1)(1)一輛汽車的一輛汽車的速度速度- -時(shí)間曲線如圖所示，時(shí)間曲線如圖所示，則該汽車在這一分鐘內(nèi)行則該汽車在這一分鐘內(nèi)行駛的路程為駛的路程為_米米(2)(2013(2)(2013惠州模擬惠州模擬) )一物體按規(guī)律一物體按規(guī)律x xb tb t3 3做直線運(yùn)動(dòng)，式中做直線運(yùn)動(dòng)，式中x x為時(shí)間為時(shí)間t t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方( (比例比例系數(shù)為系數(shù)為k,kk,k0)0)則物體由則物體由x x0 0運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到x xa a時(shí)，阻力所做的功時(shí)，阻力所做的功為為_._.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】

16、(1)(1)先求出先求出v v與與t t的函數(shù)關(guān)系式，再求的函數(shù)關(guān)系式，再求v v關(guān)于關(guān)于t t的積的積分分.(2).(2)先求出物體的速度及媒質(zhì)阻力先求出物體的速度及媒質(zhì)阻力F Fzuzu，再由，再由 可得阻力可得阻力所做的功所做的功. . zuF dx【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)根據(jù)題意，根據(jù)題意，v v與與t t的函數(shù)關(guān)系式如下：的函數(shù)關(guān)系式如下： 所以該汽車在這一分鐘內(nèi)所行駛的路程為所以該汽車在這一分鐘內(nèi)所行駛的路程為答案答案: : 900900 3t 0t202v t50t 20t4010 40t60. ， ， ， ， 602040600020403sv t dttdt50t

17、dt10dt2220240600204031t |(50tt )|10t |900.42米(2)(2)物體的速度物體的速度媒質(zhì)阻力媒質(zhì)阻力F Fzuzu=kv=kv2 2=k(3bt=k(3bt2 2) )2 2=9kb=9kb2 2t t4 4. .當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)，時(shí)，t=0t=0；當(dāng)；當(dāng)x=ax=a時(shí)，時(shí)，又又dx=vdtdx=vdt，故阻力所做的功為：，故阻力所做的功為：答案答案: : 32dxvbt3bt .dt 131att( ) ,b11tt23zuzu00WF dxkvv dtkv dt1t320k3btdt3 772312727kb tk a b .7772327k a

18、b7【拓展提升【拓展提升】定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)(1)求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為v=v(tv=v(t) )，那么從時(shí)刻，那么從時(shí)刻 t=at=a到到t=bt=b所經(jīng)過的路程所經(jīng)過的路程(2)(2)變力做功：一物體在變力變力做功：一物體在變力F(xF(x) )的作用下，沿著與的作用下，沿著與F(xF(x) )相同相同方向從方向從x=ax=a移動(dòng)到移動(dòng)到x=bx=b時(shí)，力時(shí)，力F(xF(x) )所做的功是所做的功是 basv t dt. baWF x dx.【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】一質(zhì)點(diǎn)在直線上

19、從時(shí)刻一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t t0(s)0(s)開始以速度開始以速度v vt t2 24t4t3(m/s)3(m/s)運(yùn)動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)求：(1)(1)在在t t4 s4 s的位置的位置. .(2)(2)在在t t4 s4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程【解析【解析】(1)(1)在時(shí)刻在時(shí)刻t t4 4時(shí)該點(diǎn)的位置為時(shí)該點(diǎn)的位置為即在即在t t4 s4 s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m.m.423240014t4t3 dt( t2t3t)|m ,3343(2)(2)因?yàn)橐驗(yàn)関(tv(t) )t t2 24t4t3 3(t(t1)(t1)(t3)3)，所以在區(qū)間，所以在區(qū)間0,10,1及及3,4

20、3,4上的上的v(t)0v(t)0，在區(qū)間在區(qū)間1,31,3上，上，v(t)0v(t)0，所以，所以t t4 s4 s時(shí)的路程為時(shí)的路程為即質(zhì)點(diǎn)在即質(zhì)點(diǎn)在4 s4 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為4 m.4 m. 134222013st4t3 dtt4t3 dtt4t3 dt 321323324013111( t2t3t)( t2t3t)( t2t3t)|3334444 m333 ，【易錯(cuò)誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)】求封閉圖形面積時(shí)被積函數(shù)不正確致誤求封閉圖形面積時(shí)被積函數(shù)不正確致誤【典例【典例】(2013(2013揭陽模擬揭陽模擬) )曲線曲線y yx x2 2，直線，直線y yx x，y y3x3x圍成

21、圍成的圖形的面積是的圖形的面積是_._.【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩方面：本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩方面：(1)(1)不能正確畫出不能正確畫出草圖，準(zhǔn)確分割圖形草圖，準(zhǔn)確分割圖形, ,通過分段積分求面積通過分段積分求面積. .(2)(2)搞不清被積函數(shù)是兩函數(shù)相加還是相減搞不清被積函數(shù)是兩函數(shù)相加還是相減. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】作出曲線作出曲線y yx x2 2，直線，直線y yx x，y y3x3x的圖象，所求的圖象，所求面積為下圖中陰影部分的面積面積為下圖中陰影部分的面積解方程組解方程組得交點(diǎn)得交點(diǎn)(1,1)(1,1)，(0,0)(0,0)解方程組解方程組得交點(diǎn)得交點(diǎn)(3,9)

22、(3,9)，(0,0)(0,0)，2yxyx ， ，2yxy3x ，因此，所求圖形的面積為因此，所求圖形的面積為S=S=答案答案: :132013xx dx3xxdx132012xdx3xxdx2 12330131x |(xx )|2323233131131 (33 ) (11 ).23233133【思考點(diǎn)評(píng)【思考點(diǎn)評(píng)】定積分求平面圖形面積關(guān)注點(diǎn)定積分求平面圖形面積關(guān)注點(diǎn)(1)(1)利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，應(yīng)畫出草圖，因此，應(yīng)利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，應(yīng)畫出草圖，因此，應(yīng)熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象，特別是不同的冪函數(shù)在同一坐熟練掌握基本初等函數(shù)的圖象，特別是不同的冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中

23、的圖象標(biāo)系中的圖象. .另外，當(dāng)某一邊界是不同的函數(shù)的圖象時(shí)，還另外，當(dāng)某一邊界是不同的函數(shù)的圖象時(shí)，還要能夠正確分割圖形確定積分上、下限，分段求面積要能夠正確分割圖形確定積分上、下限，分段求面積. .(2)(2)被積函數(shù)實(shí)際上就是曲邊梯形上邊界的函數(shù)減去下邊界的被積函數(shù)實(shí)際上就是曲邊梯形上邊界的函數(shù)減去下邊界的函數(shù)函數(shù). . 1.(20131.(2013佛山模擬佛山模擬) =( ) =( )(A) (B)(A) (B)(C)1 (D)e-1(C)1 (D)e-1【解析【解析】選選C.C.根據(jù)微積分基本定理，根據(jù)微積分基本定理， 故選故選C.C.e11dxx11e211eee111dxlnx

24、|1x，2.(20132.(2013深圳模擬深圳模擬) )由曲線由曲線y=xy=x2 2,y=x,y=x3 3圍成的封閉圖形面積圍成的封閉圖形面積為為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】選選A.A.由題意得由題意得: : 曲線曲線y=xy=x2 2,y=x,y=x3 3的交點(diǎn)坐標(biāo)為的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，故所求封閉圖形的面積為，故所求封閉圖形的面積為故選故選A.A.11214137121230111xxdx11,3412 3.(20123.(2012湖北高考湖北高考) )已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y =f(xy =

25、f(x) )的圖象如圖所示，的圖象如圖所示，則它與則它與x x軸所圍圖形的面積為軸所圍圖形的面積為( )( )【解析【解析】選選B.B.由圖象可知二次函數(shù)的表達(dá)式為由圖象可知二次函數(shù)的表達(dá)式為f(xf(x)=1-x)=1-x2 2, ,S=S= 24AB533CD22 12311111141xdx(xx )|(1)( 1).3333 4.(20134.(2013汕尾模擬汕尾模擬) )如圖，如圖，由兩條曲線由兩條曲線y yx x2 2，y y 及直線及直線y y1 1所圍成所圍成的圖形的面積為的圖形的面積為_._.【解析【解析】由由 得交點(diǎn)得交點(diǎn)A(A(1 1，1)1)，B(1B(1，1)1)由

26、由 得交點(diǎn)得交點(diǎn)C(C(2 2，1)1)，D(2D(2，1)1)所求面積所求面積 答案答案: : 21x42yxy1 ，21yx4y1，1222201114S2(xx )dx(x1)dx.443435. (20135. (2013茂名模擬茂名模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)y yx x2 2與與y ykx(kkx(k0)0)的圖象所圍的圖象所圍成的陰影部分成的陰影部分( (如圖所示如圖所示) )的面積的面積為為 ，則，則k k_._.【解析【解析】直線方程與拋物線方程聯(lián)立，先求出積分區(qū)間為直線方程與拋物線方程聯(lián)立，先求出積分區(qū)間為0 0，k k，再由，再由求得求得k k2.2.答案答案: : 2 2

27、43233k2k00kxxk4kxxdx ()| 2363 ，1.1.如圖，圓如圖，圓O O：x x2 2y y2 22 2內(nèi)的正弦曲線內(nèi)的正弦曲線y ysin xsin x與與x x軸圍成的軸圍成的區(qū)域記為區(qū)域記為M(M(圖中陰影部分圖中陰影部分) )，隨機(jī)往圓，隨機(jī)往圓O O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A A，則點(diǎn)，則點(diǎn)A A落落在區(qū)域在區(qū)域M M內(nèi)的概率是內(nèi)的概率是( )( )【解析【解析】選選B.B.依題意得，區(qū)域依題意得，區(qū)域M M的面積等于的面積等于=4.=4.圓圓O O的面積等于的面積等于2 23 3，因此點(diǎn)，因此點(diǎn)A A落在區(qū)域落在區(qū)域M M內(nèi)的概率內(nèi)的概率是是 選選B.B. 232344AB22CD 002sin xdx2cos x |34，2 2若若 則則y y的最大值是的最大值是( )( )(A)1 (B)2 (C) (D)0(A)1 (B)2 (C) (D)0【解析【解析】選選B.yB.y x0ysin tcos tsin t dt， 72x0sin tcos tsin t dtx01(sin tsin 2t)dt2x01(cos tcos 2t)|415cos xcos 2x44215cos x2cos x 144 213cos xcos x2221cos x 122.2