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(課標通用)2018年高考數(shù)學一輪復(fù)習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 11.6 幾何概型學案 理

上傳人:zhan****gclb 文檔編號:68741392 上傳時間:2022-04-04 格式:DOC 頁數(shù):14 大?。?32KB
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1、 §11.6 幾何概型 考綱展示?  1.了解隨機數(shù)的意義,能運用模擬方法估計概率. 2.了解幾何概型的意義. 考點1 與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 1.幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 2.幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性:在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果________; (2)等可能性:每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有________. 答案:(1)有無限多個 (2)等可能性 3.幾何概型的概率計算公式 P(A)=. [提醒] 求解幾何概型問題注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

2、. [教材習題改編]在區(qū)間[-3,5]上隨機取一個數(shù)x,則x∈[1,3]的概率為__________. 答案: 解析:記“x∈[1,3]”為事件A,則由幾何概型的概率計算公式可得P(A)==. 幾何概型的特點:等可能性;無限性. 給出下列概率模型: ①在區(qū)間[-5,5]上任取一個數(shù),求取到1的概率; ②在區(qū)間[-5,5]上任取一個數(shù),求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率; ③在區(qū)間[-5,5]上任取一個整數(shù),求取到大于1的數(shù)的概率; ④向一個邊長為5 cm的正方形ABCD內(nèi)投一點P,求點P與正方形ABCD的中心的距離不超過1 cm的概率. 其中,是幾何概型的有______

3、____.(填序號) 答案:①②④ 解析:①在區(qū)間[-5,5]內(nèi)有無限多個數(shù),取到1這個數(shù)的概率為0,故是幾何概型; ②在區(qū)間[-5,5]和[-1,1]內(nèi)有無限多個數(shù)(無限性),且在這兩個區(qū)間內(nèi)每個數(shù)被取到的可能性都相同(等可能性),故是幾何概型; ③在區(qū)間[-5,5]內(nèi)的整數(shù)只有11個,不滿足無限性,故不是幾何概型; ④在邊長為5 cm的正方形和半徑為1 cm的圓內(nèi)均有無數(shù)多個點(無限性),且點P落在這兩個區(qū)域內(nèi)的任何位置的可能性都相同(等可能性),故是幾何概型. [典題1] (1)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x,則事件“-1≤log ≤1”發(fā)生的概率為(  ) A.

4、 B. C. D. [答案] A [解析] 不等式-1≤logx+≤1可化為log2≤log≤log ,即≤x+≤2,解得0≤x≤, 故由幾何概型的概率公式,得P==. (2)[2017·河北衡水一模]在長為12 cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形,鄰邊長分別等于線段AC,CB的長,則該矩形的面積大于20 cm2的概率為(  ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 設(shè)|AC|=x,則|BC|=12-x, 所以x(12-x)>20,解得2

5、則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為________. [答案]  [解析] 如題圖,因為射線OA在坐標系內(nèi)是等可能分布的, 所以O(shè)A落在∠yOT內(nèi)的概率為=. [點石成金] 1.與長度有關(guān)的幾何概型 如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示,可直接用概率的計算公式求解. 2.與角度有關(guān)的幾何概型 當涉及射線的轉(zhuǎn)動,扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時,應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率,且不可用線段的長度代替,這是兩種不同的度量手段. 考點2 與體積有關(guān)的幾何概型                    [典題2] [2017·山東濟南一模]如圖,長方體ABCD-A1B1

6、C1D1中,有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動,則此動點在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為________. [答案]  [解析] 設(shè)事件M=“動點在三棱錐A-A1BD內(nèi)”, P(M)== ===. [點石成金] 與體積有關(guān)的幾何概型求法的關(guān)鍵點 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求. 1.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為________. 答案:1- 解析:正

7、方體的體積為2×2×2=8, 以O(shè)為球心,1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為 ×πr3=×π×13=π, 則點P到點O的距離大于1的概率為1-=1-. 2.[2017·黑龍江五校聯(lián)考]在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P,則三棱錐S-APC的體積大于的概率是________. 答案: 解析:由題意可知,>, 三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同. 作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N, 則PM,BN分別為△APC與△ABC的高, 所以==>, 又=,所以>, 故所求的概率為(即為長度之比). 考點3 與面積有關(guān)的幾何概型  (1)[教

8、材習題改編] 如圖所示,圓中陰影部分的圓心角為45°,某人向圓內(nèi)投鏢,假設(shè)他每次都投入圓內(nèi),那么他投中陰影部分的概率為________. 答案: 解析:所求概率為=. (2)[教材習題改編]如圖所示,在邊長為a的正方形內(nèi)有不規(guī)則圖形Ω,向正方形內(nèi)隨機撒豆子,若撒在圖形Ω內(nèi)和正方形內(nèi)的豆子數(shù)分別為m,n,則圖形Ω面積的估計值為__________. 答案: 解析:由題意知,不規(guī)則圖形Ω的面積∶正方形的面積=m∶n,所以不規(guī)則圖形Ω的面積=×正方形的面積=×a2=. 幾何概型:構(gòu)成事件區(qū)域的長度(面積或體積);幾何概型的概率公式. 設(shè)一直角三角形的兩條直角邊長均是區(qū)間(0,

9、1)上的任意實數(shù),則斜邊長小于的概率為__________. 答案: 解析: 設(shè)兩條直角邊長分別為a,b,由已知可知a2+b2< 2,如圖所示, 所以所求概率 P==. [考情聚焦] 與面積有關(guān)的幾何概型是近幾年高考的熱點之一. 主要有以下幾個命題角度: 角度一 與平面圖形面積有關(guān)的問題 [典題3] (1)[2017·廣東七校聯(lián)考]如圖,已知圓的半徑為10,其內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)角A,B分別為60°和45°,現(xiàn)向圓內(nèi)隨機撒一粒豆子,則豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由正弦定理==2R(R為圓的半徑)

10、?? 那么S△ABC=×10×10×sin 75° =×10×10×=25(3+). 于是,豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為 ==. (2)如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由圖形知C(1,2),D(-2,2), ∴S矩形ABCD=6. 又S陰=×3×1=, ∴P==. 角度二 與線性規(guī)劃交匯命題的問題 [典題4] (1)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤

11、”的概率,p2為事件“xy≤”的概率,則(  ) A.p1<p2< B.p2<<p1 C.<p2<p1 D.p1<<p2 [答案] D [解析] 如圖, 滿足條件的x,y構(gòu)成的點(x,y)在正方形OBCA內(nèi),其面積為1. 事件“x+y≤”對應(yīng)的圖形為陰影△ODE, 其面積為××=,故p1=<; 事件“xy≤”對應(yīng)的圖形為斜線表示部分,其面積顯然大于,故p2>,則p1<<p2,故選D. (2)[2017·山東棗莊八中模擬]在區(qū)間[1,5]和[2,6]內(nèi)分別取一個數(shù),記為a和b,則方程-=1(a

12、 D. [答案] B [解析] ∵e2=1+2<5, ∴2<4,∴<2,即a

13、,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解. [方法技巧] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 (1)當題干是雙重變量問題,一般與面積有關(guān)系. (2)當題干是單變量問題,要看變量可以等可能到達的區(qū)域:若變量在線段上移動,則幾何度量是長度;若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動,則幾何度量是面積(體積),即一個幾何度量的形式取決于該度量可以等可能變化的區(qū)域. [易錯防范] 1.準確把握幾何概型的“測度”是解題的關(guān)鍵 幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān),而與形狀和位置無關(guān),在解題時,要掌握“測度”為長度

14、、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法. 2.幾何概型中,線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果. 真題演練集訓 1.[2016·新課標全國卷Ⅰ]某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(  ) A. B. C. D. 答案:B 解析:由題意畫圖, 由圖得等車時間不超過10分鐘的概率為. 2.[2016·新課標全國卷Ⅱ]從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x

15、2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(  ) A. B. C. D. 答案:C 解析:設(shè)由構(gòu)成的正方形的面積為S,x+y<1構(gòu)成的圖形的面積為S′,所以==,所以π=,故選C. 3.[2015·陜西卷]設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為(  ) A.+ B.+ C.- D.- 答案:D 解析:|z|=≤1,即(x-1)2+y2≤1,表示的是圓及其內(nèi)部,如圖所示. 當|z|≤1時,y≥x表示的是圖中陰影部分,其面積為S=π×12-×1×1=. 又

16、圓的面積為π,根據(jù)幾何概型公式,得 概率P==-. 4.[2016·山東卷]在[-1,1]上隨機地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為________. 答案: 解析:圓(x-5)2+y2=9的圓心為C(5,0),半徑r=3,故由直線與圓相交可得

17、達某處的時間.在平面直角坐標系內(nèi)用x軸表示甲到達約會地點的時間,y軸表示乙到達約會地點的時間,用0分到60分表示6時到7時的時間段,則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(x,y)就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內(nèi)到達的時間.(2)兩人能會面的時間必須滿足:|x-y|≤15.這就將問題化歸為幾何概型問題. [解析]  以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間,則兩人能夠會面的充要條件是|x-y|≤15. 在如圖所示的平面直角坐標系中,(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形區(qū)域,而事件A“兩人能夠會面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示. 由幾何概型的概率公式,得 P(A)== ==. 所以兩人能會面的概率是. [答案]  方法點睛 本題通過設(shè)置甲、乙兩人到達約定地點的時間這兩個變量x,y,將已知轉(zhuǎn)化為x,y所滿足的不等式,進而轉(zhuǎn)化為坐標平面內(nèi)的點(x,y)的相關(guān)約束條件,從而把時間這個長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題,進而轉(zhuǎn)化成面積型的幾何概型問題求解.若題中涉及到三個相互獨立的變量,則需將其轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積問題加以求解. - 14 -

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