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(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理

上傳人:xins****2008 文檔編號:68743147 上傳時間:2022-04-04 格式:DOC 頁數(shù):11 大?。?41KB
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《(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標(biāo)通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)與解三角形 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學(xué)案 理(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 考綱展示?  1.了解任意角的概念;了解弧度制的概念. 2.能進(jìn)行弧度與角度的互化. 3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 考點1 角的集合表示及象限角的判定 角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置________到另一個位置所成的________. (3)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 答案:(1)旋轉(zhuǎn) 圖形 (2)逆時針 順時針 (1)[教材習(xí)題改編]終邊在

2、直線y=x上的角的集合是________. 答案: 解析:在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的正角有兩個,即為45°,225°,寫出與其終邊相同的角的集合,整合即得. (2)[教材習(xí)題改編]①-160°=________rad; ② rad=________度. 答案:①-?、?4  解析:①-160°=-×π rad=- rad. ② rad=×180°=54°. 混淆幾種角的概念:任意角;終邊相同的角;象限角. 下列命題敘述正確的有________個. ①小于90°的角是銳角; ②終邊相同的角相等; ③第二象限角大于第一象限角. 答案:0 解析:①

3、角是任意的,有正角、零角、負(fù)角,小于90°的角也可以是零角或負(fù)角;②比如30°和390°,它們的終邊相同,但它們不相等. 終邊相同的角,它們相差360°的整數(shù)倍,相等的角終邊一定相同;③由于終邊相同的角的無限性,故第二象限角不一定大于第一象限角. [典題1] (1)①若角θ的終邊與的終邊相同,則在[0,2π)內(nèi)終邊與的終邊相同的角為________. [答案]?、?,, ②終邊在直線y=x上的角的集合為________. [答案]  ③已知角α的終邊落在陰影所表示的范圍內(nèi)(包括邊界),則角α的集合為________. [答案] {α|90°+n·180°≤α≤135°+n·1

4、80°,n∈Z}  (2)如果α是第三象限的角,則角-α的終邊所在位置是______,角2α的終邊所在位置是______,角終邊所在的位置是______. [答案] 第二象限 第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸 第一、三、四象限 [解析] 由α是第三象限的角,得π+2kπ<α<+2kπ?--2kπ<-α<-π-2kπ, 即+2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z), ∴角-α的終邊在第二象限. 由π+2kπ<α<+2kπ,得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z), ∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負(fù)半軸. 因為π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z), 所以+<<+(k∈Z)

5、. 當(dāng)k=3n(n∈Z)時,+2nπ<<+2nπ(n∈Z); 當(dāng)k=3n+1(n∈Z)時,π+2nπ<<+2nπ(n∈Z); 當(dāng)k=3n+2(n∈Z)時,+2nπ<<+2nπ(n∈Z). 所以的終邊在第一、三、四象限. [點石成金] 1.終邊在某直線上角的求法四步驟 (1)數(shù)形結(jié)合,在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線; (2)按逆時針方向?qū)懗鯷0,2π)內(nèi)的角; (3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合; (4)求并集化簡集合. 2.確定kα,(k∈N*)的終邊位置三步驟 (1)用終邊相同角的形式表示出角α的范圍; (2)再寫出kα或的范圍; (3)然后根據(jù)k的可

6、能取值討論確定kα或的終邊所在位置. 考點2 扇形的弧長及面積公式                  弧度制 (1)1弧度的角 長度等于________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角. (2)角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|=. (3)角度與弧度的換算 ①180°=________ rad;②1°= rad;③1 rad=°. (4)弧長、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長為l,圓心角大小為α(rad),半徑為r,則l=________,扇形的面積為S=lr=|α|·r2. 答案:(1)半徑長 (3

7、)π (4)|α|r (1)[教材習(xí)題改編]單位圓中,200°的圓心角所對的弧長為(  ) A.10π B.9π C. D. 答案:D (2)[教材習(xí)題改編]半徑為120 mm的圓上長為144 mm的弧所對圓心角的弧度數(shù)是________. 答案:1.2 解析:根據(jù)圓心角弧度數(shù)的計算公式,得 α==1.2. 周長為定值的扇形中,當(dāng)圓心角________時面積最大;面積為定值的扇形中,當(dāng)圓心角________時周長最小. 答案:θ=2 θ=2 [典題2] 若扇形的周長為10,面積為4,則該扇形的圓心角為________. [答案]  [解析] 設(shè)

8、圓心角是θ,半徑是r, 則解得或(舍去). 故扇形圓心角為. [題點發(fā)散1] 若去掉本例條件“面積為4”,則當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時,才使扇形面積最大? 解:設(shè)圓心角是θ,半徑是r,則2r+rθ=10. S=θ·r2=r(10-2r)=r(5-r) =-2+≤, 當(dāng)且僅當(dāng)r=時,Smax=,θ=2. 所以當(dāng)r=,θ=2時,扇形面積最大. [題點發(fā)散2] 若本例中條件變?yōu)椋簣A弧長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長,則其圓心角的弧度數(shù)是多少? 解:設(shè)圓半徑為r,則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r,∴正方形邊長為r, ∴圓心角的弧度數(shù)是=. [點石成金] 涉及弧長和扇形面積的計算時,可

9、用的公式有角度表示和弧度表示兩種,其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單,易記好用,在使用前,應(yīng)將圓心角用弧度表示. 已知半徑為10的圓O中,弦AB的長為10. (1)求弦AB所對的圓心角α的大??; (2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S. 解:(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10, ∴△AOB為等邊三角形. 因此弦AB所對的圓心角α=. (2)由扇形的弧長與扇形面積公式,得 l=α·R=×10=, S扇形=R·l=α·R2=. 又S△AOB=OA·OB·sin =25. ∴弓形的面積S=S扇形-S△AOB=50. 考點3 三角函數(shù)的定義           

10、       任意角的三角函數(shù) (1)定義:設(shè)α是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么sin α=________,cos α=________,tan α=(x≠0). (2)幾何表示:三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點都在x軸上,余弦線的起點都是原點,正切線的起點都是(1,0).如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的________,________和________. (3)三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 答案:(1)y x (2)正弦線 余弦線 正切線 (1)[教材習(xí)題改編

11、]若角θ滿足tan θ>0,sin θ<0,則角θ所在的象限是(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C (2)[教材習(xí)題改編]若角α的終邊經(jīng)過點P(-3,-4),則sin α+cos α=________. 答案:- 解析:sin α=-,cos α=-,所以sin α+cos α=-. 三角函數(shù)概念理解誤區(qū):點P的位置;函數(shù)值的符號. (1)角α的三角函數(shù)值與終邊上的點P的位置________關(guān).(填“有”或“無”) 答案:無 解析:角α的三角函數(shù)值只與角α的大小有關(guān),不受終邊上的點P的位置的影響. (2)已知角θ的頂點為坐

12、標(biāo)原點,始邊為x軸的非負(fù)半軸,若P(4,y)是角θ終邊上一點,且sin θ=-,則y=________. 答案:-8 解析:由已知,得r=|OP|=. 由三角函數(shù)的定義,得sin θ== . 因為sin θ=-,所以=-, 解得y=-8或y=8(舍去). [考情聚焦] 三角函數(shù)的定義是高考的??純?nèi)容,多以選擇題、填空題的形式考查,難度較小,屬中低檔題. 主要有以下幾個命題角度: 角度一 根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 [典題3] (1)已知角α的終邊經(jīng)過點P(4,-3),則sin α=________. [答案] - [解析] sin α==-. (2)[2017

13、·云南玉溪模擬]設(shè)α是第二象限角,P(x,4)為其終邊上的一點,且cos α=x,則tan α=________. [答案] - [解析] 因為α是二象限角,所以cos α=x<0,即x<0.又cos α=x=,解得x=-3,所以tan α==-. [點石成金] 1.已知角α終邊上一點P的坐標(biāo),則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解. 2.已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo),求出此點到原點的距離,然后用三角函數(shù)的定義來求解. 角度二 根據(jù)三角函數(shù)的定義求點的坐標(biāo) [典題4] (1)點P從(-1,0)出發(fā),沿單位圓順時針方向運動 弧長到達(dá)點Q

14、,則點Q的坐標(biāo)為________. [答案]  [解析] 設(shè)點A(-1,0),點P從(-1,0)出發(fā),沿單位圓順時針方向運動 弧長到達(dá)點Q,則∠AOQ=-2π=(O為坐標(biāo)原點), 所以∠xOQ=,cos =,sin =, 所以點Q的坐標(biāo)為. (2)已知角α的終邊上一點P(-,m)(m≠0),且sin α=,求cos α,tan α的值. [解] 由題設(shè)知x=-,y=m, ∴r2=|OP|2=2+m2(O為原點),r=. ∴sin α===, ∴r==2, 即3+m2=8, 解得m=±. 當(dāng)m=時,r=2,x=-,y=, ∴cos α==-,tan α=-; 當(dāng)m=

15、-時,r=2,x=-,y=-, ∴cos α==-,tan α=. [點石成金] 1.已知角α的某三角函數(shù)值,可求角α終邊上一點P的坐標(biāo)中的參數(shù)值,可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值. 2.已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小,根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標(biāo). [方法技巧] 三角函數(shù)的定義及單位圓的應(yīng)用技巧 (1)在利用三角函數(shù)的定義時,點P可取終邊上異于原點的任一點,如有可能則取終邊與單位圓的交點. (2)在解簡單的三角不等式時,利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧. [易錯防范] 1.第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角,第一類是象限角,第

16、二類、第三類是區(qū)間角. 2.角度制與弧度制可利用180°=π rad進(jìn)行互化,在同一個式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用. 3.要熟記0°~360°間特殊角的弧度表示. 4.要注意三角函數(shù)線是有向線段. 課外拓展閱讀 錯用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 [典例1] [2016·天津模擬]已知角θ的終邊上一點P(3a,4a)(a≠0),則sin θ=________. [易錯分析]  (1)角的終邊是一條射線,而不是直線,該題中,我們只能確定角的終邊所在直線. (2)由終邊上一點求三角函數(shù)時,由于沒有考慮參數(shù)的取值情況,從而求出r===5a,結(jié)果得到下列錯誤的結(jié)論:s

17、in θ==. [解析] ∵x=3a,y=4a, ∴r==5|a|. (1)當(dāng)a>0時,r=5a, ∴sin θ==. (2)當(dāng)a<0時,r=-5a, ∴sin θ==-. 綜上,sin θ=±. [答案] ± 溫馨提示 (1)區(qū)分兩種三角函數(shù)的定義 如果是在單位圓中定義任意角的三角函數(shù),設(shè)角α的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為(x,y),則sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=,但如果不是在單位圓中,設(shè)角α的終邊經(jīng)過點P(x,y),|OP|=r,則sin α=,cos α=,tan α=. (2)明確三角函數(shù)的定義與角的終邊所在的象限位置的關(guān)系. - 11 -

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