(課標通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理
《(課標通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(課標通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理(16頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 §8.3 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 考綱展示? 1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義. 2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理. 3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題. 考點1 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 平面的基本性質(zhì) (1)公理1:如果一條直線上的________在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi). (2)公理2:過________的三點,有且只有一個平面. (3)公理3:如果兩個不重合的平面有________公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線. (4)公理2的三個推論 推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只
2、有一個平面; 推論2:經(jīng)過兩條________直線有且只有一個平面; 推論3:經(jīng)過兩條________直線有且只有一個平面. 答案:(1)兩點 (2)不在一條直線上 (3)一個 (4)相交 平行 (1)[教材習(xí)題改編]直線a,b,c兩兩平行,但不共面,經(jīng)過其中兩條直線的平面的個數(shù)為( ) A.1 B.3 C.6 D.0 答案:B (2)[教材習(xí)題改編]兩兩相交的三條直線最多可確定________個平面. 答案:3 判斷點共線、線共點問題:直接法(直接運用公理或定理). (1)如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90
3、°,BC=AD,BE=FA,G,H 分別為FA,F(xiàn)D的中點. ①四邊形BCHG的形狀是________; ②點C,D,E,F(xiàn),G中,能共面的四點是________. 答案:①平行四邊形 ②C,D,E,F(xiàn) 解析:①∵G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點, ∴GH綊AD.又BC綊AD,所以GH綊BC, 所以四邊形BCHG為平行四邊形. ②由BE=FA,G為FA的中點知,BE=FG, 所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面. 又D∈FH,所以C,D,E,F(xiàn)四點共面. (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對角
4、線A1C與平面BDC1交于點O,AC與BD交于點M,則點O與直線C1M的關(guān)系是________. 答案:點O在直線C1M上 解析:如圖所示,因為A1C?平面A1ACC1,O∈A1C,所以O(shè)∈平面A1ACC1,而O是平面BDC1與直線A1C的交點,所以O(shè)∈平面BDC1,所以點O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上.因為AC∩BD=M,所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1,所以平面BDC1∩平面A1ACC1=C1M,所以O(shè)∈C1M. [典題1] (1)以下四個命題中,正確命題的個數(shù)是( ) ①不共面的四點中,其中任意三點不共線; ②若點A,B,C,D共面,點A,B,
5、C,E共面,則A,B,C,D,E共面; ③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面; ④依次首尾相接的四條線段必共面. A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [解析] ①顯然是正確的,可用反證法證明;②中若A,B,C三點共線,則A,B,C,D,E五點不一定共面;③構(gòu)造長方體如圖,顯然b,c異面,故不正確;④中空間四邊形中四條線段不共面.故只有①正確. (2)已知空間四邊形ABCD(如圖所示), E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,G,H分別是BC,CD上的點,且CG=BC,CH=DC. 求證:①E,F(xiàn),G,H四點共面; ②三直線FH,EG,AC
6、共點. [證明]?、龠B接EF,GH, ∵E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點, ∴EF∥BD. 又∵CG=BC,CH=DC, ∴GH∥BD,∴EF∥GH, ∴E,F(xiàn),G,H四點共面. ②易知FH與直線AC不平行,但共面, ∴設(shè)FH∩AC=M, ∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC=EG,∴M∈EG, ∴FH,EG,AC共點. [點石成金] 共面、共線、共點問題的證明 (1)證明點或線共面問題的兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合
7、. (2)證明點共線問題的兩種方法:①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;②直接證明這些點都在同一條特定直線上. (3)證明線共點問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點. 考點2 空間兩直線的位置關(guān)系 (1)[教材習(xí)題改編]已知直線a與b平行,直線c與b相交,則直線a與c的位置關(guān)系是________. 答案:相交或異面 解析:當(dāng)直線c在直線a與b確定的平面內(nèi)時,a與c相交;當(dāng)直線c與直線a,b確定的平面相交時,a與c異面. (2)[教材習(xí)題改編]如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,PQ是異面
8、直線A1D與AQ的公垂線,則直線PQ與BD1的位置關(guān)系為________.(填序號) ①平行;②異面;③相交但不垂直;④垂直. 答案:① 解析:∵A1D∥B1C,PQ⊥A1D,∴PQ⊥B1C. 又∵PQ⊥AC,∴PQ⊥平面AB1C. ∵AC⊥BD,AC⊥DD1,∴AC⊥BD1, 同理B1C⊥BD1,∴BD1⊥平面AB1C, ∴PQ∥BD1. 兩條直線關(guān)系判斷誤區(qū):異面直線概念、理解不透. 下列關(guān)于異面直線的說法正確的是________. ①若a?α,b?β,則a與b是異面直線; ②若a與b異面,b與c異面,則a與c異面; ③若a,b不同在平面α內(nèi),則a與b異面;
9、 ④若a,b不同在任何一個平面內(nèi),則a與b異面. 答案:④ 解析:①②③中的兩直線可能平行、相交或異面,由異面直線的定義可知④正確. [考情聚焦] 空間兩條直線位置關(guān)系的判斷是每年高考??純?nèi)容,并且常作為某一選項來考查,其中異面直線及平行關(guān)系是考查的重點. 主要有以下幾個命題角度: 角度一 兩直線位置關(guān)系的判定 [典題2] (1)已知a,b,c為三條不重合的直線,已知下列結(jié)論: ①若a⊥b,a⊥c,則b∥c; ②若a⊥b,a⊥c,則b⊥c; ③若a∥b,b⊥c,則a⊥c. 其中正確的個數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] B [
10、解析] 解法一:在空間中,若a⊥b,a⊥c,則b,c可能平行,也可能相交,還可能異面,所以①②錯誤,③顯然成立. 解法二:構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷,①②錯誤,③正確. (2) [2017·浙江余姚模擬]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列說法錯誤的是( ) A.MN與CC1垂直 B.MN與AC垂直 C.MN與BD平行 D.MN與A1B1平行 [答案] D [解析] 如圖,連接C1D,在△C1DB中,MN∥BD,故C正確; ∵CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, ∴CC1⊥BD, ∴MN與CC1垂直,故
11、A正確; ∵AC⊥BD,MN∥BD, ∴MN與AC垂直,故B正確; ∵A1B1與BD異面,MN∥BD, ∴MN與A1B1不可能平行,故D錯誤.故選D. [點石成金] 點、線、面之間的位置關(guān)系可借助正方體為模型,以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系,準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直. 角度二 異面直線的判定 [典題3] (1)在下圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________.(填上所有正確答案的序號) ① ?、? ③ ④ [答案]?、?/p>
12、④ [解析] 圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.所以在圖②④中,GH與MN異面. (2)如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為________對. [答案] 3 [解析] 平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化,則AB,CD,EF和GH在原正方體中,顯然AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行.故
13、互為異面的直線有且只有3對. [點石成金] 異面直線的判定常用的是反證法,先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)的條件出發(fā),經(jīng)過嚴格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到. 考點3 異面直線所成角 [典題4] 如圖,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 連接BC1,易證BC1∥AD1, 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角. 連接A1C1,
14、由AB=1知, AA1=2,A1C1=,A1B=BC1=, 故cos∠A1BC1==. 則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [題點發(fā)散1] 將題干條件“AA1=2AB=2”改為“AB=1,若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到頂點A1的距離為1”,問題不變. 解:因平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到A1的距離為1,則AA1=1. 此時正四棱柱變?yōu)檎襟wABCD-A1B1C1D1, 由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1,連接A1C1. 則△A1BC1為等邊三邊形, ∴∠A1BC1=60°, ∴cos∠A1BC1=, 故異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為. [題點發(fā)散2]
15、 將題干條件“AA1=2AB=2”改為“AB=1,若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為”,試求的值. 解:設(shè)=t,則AA1=tAB. ∵AB=1,∴AA1=t. ∵A1C1=,A1B==BC1, ∴cos∠A1BC1==, ∴t=3,即=3. [題點發(fā)散3] 將題干條件“AA1=2AB=2”改為“AB=1,且平面ABCD內(nèi)有且僅有一點到頂點A1的距離為1”,則是否存在過頂點A的直線 l,使l與棱AB,AD,AA1所成角都相等.若存在,存在幾條?若不存在,請說明理由. 解:由條件知,此時正四棱柱為正方體. 如圖,連接對角線AC1, 顯然AC1與棱AB,AD,AA1所成角
16、都相等,聯(lián)想正方體的其他體對角線. 如連接BD1,則BD1與棱BC,BA,BB1所成的角都相等,因為BB1∥AA1,BC∥AD, 所以體對角線BD1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等. 同理體對角線A1C,DB1也與棱AB,AD,AA1所成角都相等,故過A作BD1,A1C,DB1的平行線都滿足,故這樣的直線可以作4條. [點石成金] 用平移法求異面直線所成的角的三個步驟 (1)一作:即據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角; (2)二證:即證明作出的角是異面直線所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角,如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補
17、角才是要求的角. 已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD所成的角為60°,點M,N分別是BC,AD的中點,求直線AB和MN所成的角的大小. 解:解法一:如圖,取AC的中點P,連接PM,PN, 則PM∥AB,且PM=AB,PN∥CD,且PN=CD, 所以∠MPN(或其補角)為AB與CD所成的角. 則∠MPN=60°或∠MPN=120°. 若∠MPN=60°, 因為PM∥AB, 所以∠PMN(或其補角)是AB與MN所成的角. 又因為AB=CD,所以PM=PN, 則△PMN是等邊三角形, 所以∠PMN=60°, 即AB與MN所成的角為60°. 若∠MP
18、N=120°, 則易知△PMN是等腰三角形. 所以∠PMN=30°, 即AB與MN所成的角為30°. 綜上知,直線AB和MN所成的角為60°或30°. 解法二:由AB=CD,可以把該三棱錐放在長方體AA1BB1-C1CD1D中進行考慮,如圖, 由M,N分別是BC,AD的中點,所以MN∥AA1, 即∠BAA1(或其補角)為AB與MN所成的角. 連接A1B1交AB于O,所以A1B1∥CD, 即∠AOA1(或其補角)為AB與CD所成的角. 所以∠AOA1=60°或120°. 由矩形AA1BB1的性質(zhì)可得∠BAA1=60°或30°. 所以直線AB和MN所成的角為60°或30
19、°. [方法技巧] 1.要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面,再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”). 2.要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線,只要證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據(jù)公理3可知這些點在交線上,因此共線. 3.判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定定理:平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線. (2)反證法:證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面,從而可得兩線異面. 4.求兩條異面直線所成角的大小,一般方法是通過平行移動直線,把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知,
20、異面直線所成角的大小與頂點位置無關(guān). [易錯防范] 1.異面直線是“不同在任何一個平面內(nèi)”的直線,不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”. 2.不共線的三點確定一個平面,一定不能丟掉“不共線”條件. 3.兩條異面直線所成角的范圍是. 4.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時,容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角. 真題演練集訓(xùn) 1.[2016·新課標全國卷Ⅰ]平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( ) A. B. C. D.
21、 答案:A 解析:因為過點A的平面α與平面CB1D1平行,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以m∥B1D1∥BD,又A1B∥平面CB1D1,所以n∥A1B,則BD與A1B所成的角為所求角,所以m,n所成角的正弦值為,故選A. 2.[2015·安徽卷]已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個不同平面,則下列命題正確的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行 B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行 C.若α,β不平行,則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面 答案:D 解析:可以結(jié)合圖形逐項判斷. A項,α,β可能相交,故錯誤
22、; B項,直線m,n的位置關(guān)系不確定,可能相交、平行或異面,故錯誤; C項,若m?α,α∩β=n,m∥n,則m∥β,故錯誤; D項,假設(shè)m,n垂直于同一平面,則必有m∥n,所以原命題正確,故選D. 3.[2014·遼寧卷]已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面.下列說法正確的是( ) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m⊥α,n?α,則m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α 答案:B 解析:解法一:若m∥α,n∥α,則m,n可能平行、相交或異面,A錯;若m⊥α,n?α,則m⊥n,因為直線與平面垂直時,它垂直于平面內(nèi)任一直線,B正確;若m
23、⊥α,m⊥n,則n∥a或n?α,C錯;若m∥α,m⊥n,則n與α可能相交,可能平行,也可能n?α,D錯. 解法二:如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α. A項中,若m為A′B′,n為B′C′,滿足m∥α,n∥α,但m與n是相交直線,故A錯.B項中,m⊥α,n?α,∴m⊥n,這是線面垂直的性質(zhì),故B正確.C項中,若m為AA′,n為AB,滿足m⊥α,m⊥n,但n?α,故C錯.D項中,若m為A′B′,n為B′C′,滿足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D錯. 4. [2015·浙江卷]如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別
24、為AD,BC的中點,則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是________. 答案: 解析:如圖所示,連接DN,取線段DN的中點K,連接MK,CK. ∵ M為AD的中點, ∴ MK∥AN, ∴ ∠KMC即為異面直線AN,CM所成的角. ∵ AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N為BC的中點, 由勾股定理易求得AN=DN=CM=2, ∴ MK=. 在Rt△CKN中,CK= =. 在△CKM中,由余弦定理,得 cos∠KMC==. 課外拓展閱讀 構(gòu)造平面研究直線相交問題 [典例1] 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1
25、的中點,則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有________條. [思路分析] [解析] 解法一:如圖所示,在EF上任意取一點M,直線A1D1與M確定一個平面,這個平面與CD有且僅有一個交點N,當(dāng)M取不同的位置時就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點N,而直線MN與這三條異面直線都有交點,所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條. 解法二:在A1D1上任取一點P,過點P與直線EF作一個平面α,因為CD與平面α不平行,所以它們相交, 設(shè)它們交于點Q,連接PQ,則PQ與EF必然相交,即PQ為所求直線. 由點P的任意性知,有無數(shù)條直線與三條直線A1D1,EF,CD都相交. [答案] 無數(shù) 溫馨提示 1.本題難度不大,但比較靈活.對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關(guān)系的考查難度一般都不會太大. 2.注意本題解法較多,但關(guān)鍵在于構(gòu)造平面,但不少學(xué)生不會構(gòu)造平面,因此失分較多. - 16 -
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