《高考數(shù)學復習 17-18版 附加題部分 第3章 第68課 數(shù)學歸納法》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學復習 17-18版 附加題部分 第3章 第68課 數(shù)學歸納法（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第68課 數(shù)學歸納法 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 數(shù)學歸納法的原理 √ 數(shù)學歸納法的簡單應用 √ 應用數(shù)學歸納法證明不等式 √ 1．數(shù)學歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N＋)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N＋)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． 2．數(shù)學歸納法的框圖表示 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，

2、錯誤的打“×”) (1)用數(shù)學歸納法證明問題時，第一步是驗證當n＝1時結(jié)論成立．(　　) (2)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用．(　　) (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　　) (4)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于________． 3　[因為凸n邊形最小為三角形，所以第一步檢驗n等于3.] 3

3、．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學歸納法證明1－＋－＋…－＝2時，若已假設n＝k(k≥2，且k為偶數(shù))時命題為真，則還需要用歸納假設再證n＝________時等式成立． k＋2　[k為偶數(shù)，則k＋2為偶數(shù)．] 4．(教材改編)已知{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，則a2＝__________，a3＝__________，a4＝__________，猜想an＝__________. 3　4　5　n＋1 5．用數(shù)學歸納法證明：“1＋＋＋…＋1)”由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項的項數(shù)是__________． 2k　[當n＝k時，不等

4、式為1＋＋＋…＋

5、k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當n＝k＋1時結(jié)論仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N＋)． [規(guī)律方法]　1.用數(shù)學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少． 2．由n＝k時命題成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設的證明，就不是數(shù)學歸納法

6、． [變式訓練1]　求證：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)． [證明]　(1)當n＝1時，左邊＝1－＝， 右邊＝＝，左邊＝右邊． (2)假設n＝k時等式成立， 即1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 則當n＝k＋1時， ＋ ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即當n＝k＋1時，等式也成立． 綜合(1)(2)可知，對一切n∈N＋，等式成立. 用數(shù)學歸納法證明不等式 　用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)n，不等式·…·>均成立． [證明]　(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝；右邊＝.∵左邊>右邊，∴不等式成立． (2)假設n＝k(k≥2，且k∈N＋)時不等式成立， 即·…·

7、>. 則當n＝k＋1時，·…·>·＝ ＝> ＝＝. ∴當n＝k＋1時，不等式也成立． 由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． [規(guī)律方法]　1.當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，若用其他方法不容易證明，則可考慮應用數(shù)學歸納法． 2．用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k時命題成立，再證n＝k＋1時命題也成立，在歸納假設使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化． [變式訓練2]　已知數(shù)列{an}，當n≥2時，an<－1，又a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求證：當n∈N＋時，an＋1

8、n. [證明]　(1)當n＝1時，∵a2是a＋a2－1＝0的負根， ∴a1>a2. (2)假設當n＝k(k∈N＋)時，ak＋10. 又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴ak＋2－ak＋1<0， ∴ak＋20，n∈N＋. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；

9、 (2)證明通項公式的正確性. 【導學號：62172359】 [解]　(1)當n＝1時，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0. ∴a1＝－1(a1>0)． 當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0. ∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N＋)． (2)證明：①由(1)知，當n＝1,2,3時，通項公式成立． ②假設當n＝k(k≥3，k∈N＋)時，通項公式成立， 即ak＝－. 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝－， 即n＝k

10、＋1時通項公式成立． 由①②可知對所有n∈N＋，an＝－都成立． [規(guī)律方法]　1.猜想{an}的通項公式時應注意兩點：(1)準確計算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時可多計算幾項)；(2)證明ak＋1時，ak＋1的求解過程與a2，a3的求解過程相似，注意體會特殊與一般的辯證關系． 2．“歸納—猜想—證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性． [變式訓練3]　已知數(shù)列{xn}滿足x1＝，xn＋1＝，n∈N＋.猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

11、[解]　由x1＝及xn＋1＝， 得x2＝，x4＝，x6＝， 由x2>x4>x6猜想：數(shù)列{x2n}是遞減數(shù)列． 下面用數(shù)學歸納法證明： (1)當n＝1時，已證命題成立． (2)假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時命題成立， 即x2k>x2k＋2，易知xk>0，那么 x2k＋2－x2k＋4＝－ ＝＝ >0， 即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2. 也就是說，當n＝k＋1時命題也成立． 結(jié)合(1)(2)知，對?n∈N＋命題成立． [思想與方法] 1．數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關的數(shù)學命題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步

12、驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據(jù)． 2．在推證n＝k＋1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設．此時既要看準目標，又要弄清n＝k與n＝k＋1之間的關系．在推證時，應靈活運用分析法、綜合法、反證法等方法． [易錯與防范] 1．第一步驗證當n＝n0時，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． 2．由n＝k時命題成立，證明n＝k＋1時命題成立的過程中，一定要用歸納假設，否則就不是數(shù)學歸納法． 3．解“歸納——猜想——證明”題的關鍵是準確計算出前若干具體項，這是歸納、猜想的基礎．否則將會做大量無用功． 課時分層訓練(十二) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 1

13、．(2017·如皋市高三調(diào)研一)用數(shù)學歸納法證明等式： 12－22＋32＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋). 【導學號：62172360】 [證明]　n＝1時，1－22＝－3，左邊等于右邊； 假設n＝k時，有 12－22＋32－…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立， 則n＝k＋1時， 12－22＋32－…＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]得證． 所以12－22＋32－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)成立．

14、 2．用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n∈N＋，n≥2)． [證明]　(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立． (2)假設n＝k時命題成立，即 1＋＋＋…＋<2－. 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－ ＝2－命題成立． 由(1)(2)知原不等式在n∈N＋，n≥2時均成立． 3．(2017·鎮(zhèn)江期中)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，n∈N＋，a1＝. (1)計算a2，a3，a4； (2)猜想數(shù)列的通項an，并用數(shù)學歸納法證明． [解]　(1)由遞推公式，得a2＝＝＝， a3＝，a4＝. (2)猜想：an＝. 證明：①n＝1時，由已知，等式

15、成立． ②設n＝k(k∈N＋)時，等式成立．即ak＝. 所以ak＋1＝＝＝＝＝， 所以n＝k＋1時，等式成立． 根據(jù)①②可知，對任意n∈N＋，等式成立． 即通項an＝. 4．(2017·鹽城三模)記f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)(n≥2，n∈N＋)． (1)求f(2)，f(3)，f(4)的值； (2)當n≥2，n∈N＋時，試猜想所有f(n)的最大公約數(shù)，并證明. 【導學號：62172361】 [解]　(1)因為f(n)＝(3n＋2)(C＋C＋C＋…＋C)＝(3n＋2)C， 所以f(2)＝8，f(3)＝44，f(4)＝140. (2)由(1)中結(jié)論可猜想所

16、有f(n)的最大公約數(shù)為4. 下面用數(shù)學歸納法證明所有的f(n)都能被4整除即可． (ⅰ)當n＝2時，f(2)＝8能被4整數(shù)，結(jié)論成立； (ⅱ)假設n＝k時，結(jié)論成立，即f(k)＝(3k＋2)C能被4整除， 則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝(3k＋5)C ＝(3k＋2)C＋3C ＝(3k＋2)(C＋C)＋(k＋2)C ＝(3k＋2)C＋(3k＋2)C＋(k＋2)C ＝(3k＋2)C＋4(k＋1)C，此式也能被4整除，即n＝k＋1時結(jié)論也成立． 綜上所述，所有f(n)的最大公約數(shù)為4. B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝λa

17、n＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋，λ>0)． (1)求a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通項公式，并加以證明． [解]　(1)a2＝2λ＋λ2＋2(2－λ)＝λ2＋22， a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23， a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24. (2)由(1)可猜想數(shù)列通項公式為： an＝(n－1)λn＋2n. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1,2,3,4時，等式顯然成立， ②假設當n＝k(k≥4，k∈N＋)時等式成立， 即ak＝(k－1)λk＋2k， 那么當n＝k＋1時， ak＋1＝λak＋λk＋1＋

18、(2－λ)2k ＝λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k ＝(k－1)λk＋1＋λk＋1＋2k＋1 ＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1， 所以當n＝k＋1時，猜想成立， 由①②知數(shù)列的通項公式為an＝(n－1)λn＋2n(n∈N＋，λ>0)． 2．(2017·揚州期中)已知Fn(x)＝(－1)kCfk(x)](n∈N)． (1)若fk(x)＝xk，求F2015(2)的值； (2)若fk(x)＝(x?{0，－1，…，－n})，求證：Fn(x)＝. [解]　(1)Fn(x)＝(－1)kCfk(x)]＝(－x)kC]＝(1－x)n，∴F2015(2)＝－1. (

19、2)①n＝1時，左邊＝1－＝＝右邊， ②設n＝m時，對一切實數(shù)x(x≠0，－1，…，－m)， 有(－1)kC＝， 那么，當n＝m＋1時，對一切實數(shù)x(x≠0，－1，…，－(m＋1))，有 (－1)kC＝1＋(－1)k[C＋C]＋(－1)m＋1 ＝(－1)kC＋(－1)kC＝(－1)kC－· ＝－· ＝＝. 即n＝m＋1時，等式成立． 故對一切正整數(shù)n及一切實數(shù)x(x≠0，－1，…，－n)，有 (－1)kC＝. 3．(2017·南通調(diào)研一)已知函數(shù)f0(x)＝x(sin x＋cos x)，設fn(x)是fn－1(x)的導數(shù)，n∈N＋. (1)求f1(x)，f2(x)的表達

20、式； (2)寫出fn(x)的表達式，并用數(shù)學歸納法證明． [解]　(1)因為fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)， 所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x) ＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)， 同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x. (2)由(1)得f3(x)＝f′2(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x， 把f1(x)，f2(x)，f3(x)分別改寫為 f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)cos， f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)cos， f3(x)＝(x＋3)

21、sin＋(x－3)cos， 猜測fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos(*)． 下面用數(shù)學歸納法證明上述等式． (ⅰ)當n＝1時，由(1)知，等式(*)成立； (ⅱ)假設當n＝k時，等式(*)成立，即fk(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos. 則當n＝k＋1時， fk＋1(x)＝f′k(x) ＝sin＋(x＋k)cos＋cos＋(x－k) ＝(x＋k＋1)cos＋[x－(k＋1)] ＝[x＋(k＋1)]sin＋[x－(k＋1)]cos， 即n＝k＋1時，命題成立． 由(ⅰ)(ⅱ)可知，對?n∈N＋，fn(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)cos. 4．(2

22、017·蘇北四市期末)已知數(shù)列{an}滿足an＝3n－2，f(n)＝＋＋…＋，g(n)＝f(n2)－f(n－1)，n∈N＋. (1)求證：g(2)>； (2)求證：當n≥3時，g(n)>. [證明]　(1)由條件an＝3n－2，g(n)＝＋＋＋…＋， 當n＝2時，g(2)＝＋＋＝＋＋＝>. (2)用數(shù)學歸納法加以證明： ①當n＝3時，g(3)＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋＋＋＋＝＋＋ >＋＋＝＋＋>＋＋>， 所以當n＝3時，結(jié)論成立． ②假設當n＝k時，結(jié)論成立，即g(k)>， 則n＝k＋1時， g(k＋1)＝g(k)＋ >＋>＋－ ＝＋＝＋， 由k≥3可知，3k2－7k－3>0，即g(k＋1)>. 所以當n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 綜合①②可得，當n≥3時，g(n)>.