《2019年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第30講《平面向量的綜合應(yīng)用》》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第30講《平面向量的綜合應(yīng)用》（43頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 ???學(xué)生用書（后跟詳細(xì)參考答案和教師用書）??? 把握命題趨勢，提高復(fù)習(xí)效率，提升解題能力，打造高考高分！ 【助力高考】2019年高考備戰(zhàn)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)精品資料 第五章 平面向量 第30講 平面向量的綜合應(yīng)用 ★★★核心知識回顧★★★ 知識點一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧： 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb? ， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算

2、性質(zhì) a⊥b?a·b＝0? ， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝ (θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量 長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝ ＝ ，其中a＝(x，y)，a為非零向量 (2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟： 平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題． 知識點二、向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位

3、置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體． 知識點三、平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 知識點四、向量與相關(guān)知識的交匯 平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題． ◆◆◆名師提醒◆◆◆ 1．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0. 2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與

4、直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行． ★★★高考典例剖析★★★ 考點一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 例1：在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1，則AB＝________. 解：　在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F， 則＝，∴＝＝－， 又∵＝＋， ∴·＝(＋)· ＝2－·＋·－2 ＝||2＋||||cos 60°－||2 ＝1＋×||－||2＝1. ∴||＝0，又||≠0，∴||＝. ???方法技巧??? 向量與平面幾何綜合問題的解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這

5、樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決． (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解． ???跟蹤訓(xùn)練??? 1．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________． 3．在△ABC中，已知向量與滿足·＝0，且·＝，則

6、△ABC為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 4．(2017·湖南長沙長郡中學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則·＋·等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考點二、向量在解析幾何中的應(yīng)用 例2：已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三點共線，當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為________________． 解：　∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(6，k－5)

7、，且∥， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0. ???方法技巧??? 向量在解析幾何中的“兩個”作用 (1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題． (2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解

8、析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法． ???跟蹤訓(xùn)練??? 5．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線l：x－ky＋1＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點，＝＋，若點M在圓C上，則實數(shù)k＝________. 7．(2017·安徽省安師大附中、馬鞍山二中階段性測試)已知點A在橢圓＋＝1上，點P滿足＝(λ－1)·(λ∈R)(O是坐標(biāo)原點)，且·＝72，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為________． 考點三、向量的其他應(yīng)用 命題點①向量在不等式中的應(yīng)用

9、 例3： 已知O是坐標(biāo)原點，點A(－1,2)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是(　　) A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,3] D．[1,4] 解：　作出點M(x，y)滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示， 設(shè)z＝·，因為A(－1,2)，M(x，y)，所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.平移直線y＝x，由圖象可知，當(dāng)直線y＝x＋z經(jīng)過點C(0,2)時，截距最大，此時z最大，最大值為4，當(dāng)直線y＝x＋z經(jīng)過點B時，截距最小，此時z最小，最小值為1，故1≤z≤4，即1≤·≤4. 故選D。 命題點②向量在解三角形中的應(yīng)用 例4： 在△ABC中

10、，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 解：　∵20a＋15b＋12c＝0， ∴20a(－)＋15b＋12c＝0， ∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0， ∵與不共線， ∴　解得 ∴△ABC最小角為角A， ∴cos A＝＝＝， ∴sin A＝，故選C. 命題點③向量在物理中的應(yīng)用 例5： 如圖，一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2

11、 B．2 C．2 D．6 解：　如題圖所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－(F1＋F2)，即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2. ???方法技巧??? 思維升華 利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化． ???跟蹤訓(xùn)練??? 8．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是最高點、最低點，O為坐標(biāo)原點，且·＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是______． 9．已知x，y滿足若＝(x,1)，＝(2，y)

12、，且·的最大值是最小值的8倍，則實數(shù)a的值是________． ???感悟高考??? 分析課程標(biāo)準(zhǔn)和近五年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)高考命題主要集中在：主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題，通過近五年考題的規(guī)律，可以預(yù)測2019年高考試題中，可能會出現(xiàn)平面向量與函數(shù)的綜合題目。 ★★★知能達(dá)標(biāo)演練★★★ 一、選擇題 1.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于(　　) A. B.2 C.3

13、 D.4 2.在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 3.(2017·溫州八校檢測)設(shè)a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 4.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，＝a，＝b，則＝(　　) A.a－b 　　　 B.a－b C.a＋b 　　　　 D.a＋b 5.若平面向量a，b，c兩兩所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，則|a＋b＋c|等于(　　

14、) A.2 B.5 C.2或5 D.或 6.已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則·等于(　　) A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2 7．(2018·株州模擬)在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足·＝x2，則點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 9．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，則sin 2θ＋6co

15、s2θ的值為(　　) A. B．2 C．2 D．－2 10．(2017·長春質(zhì)量監(jiān)測)在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點，且＝＋，則等于(　　) A. B. C. D. 11．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點，點E是橢圓C上的動點，則·的最大值、最小值分別為(　　) A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8 12．(2018·四川涼山州一診)若直線ax－y＝0(a≠0)與函數(shù)f(x)＝的圖象交于不同的兩點A，B，且點C(6,0)，若點D(m，n)滿足＋＝，則m＋n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 1

16、3．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，則(　　) A．動點P的軌跡一定通過△ABC的重心 B．動點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心 C．動點P的軌跡一定通過△ABC的外心 D．動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心 14．(2018·大慶一模)已知共面向量a，b，c滿足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若對每一個確定的向量b，記|b－ta|(t∈R)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時，dmin的最大值為(　　) A. B．2 C．4 D．6 15．(2017·全國Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD

17、＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 二、填空題 16．在菱形ABCD中，若AC＝4，則·＝________. 17．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實根，則向量a與b的夾角是________． 18．已知O為△ABC內(nèi)一點，且＋＋2＝0，則△AOC與△ABC的面積之比是________． 19．如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(＋)·的最小值為________． 20．已知圓

18、C：(x－2)2＋y2＝4，圓M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則·的最小值是________． 三、解答題 21.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且＝m＋n(m，n∈R). (1)若m＝n＝，求||； (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值. 22．已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足·＝0，＝－，當(dāng)點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 23．(2018

19、·酒泉質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大?。? (2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值． ???詳細(xì)參考答案??? 把握命題趨勢，提高復(fù)習(xí)效率，提升解題能力，打造高考高分！ 【助力高考】2019年高考備戰(zhàn)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)精品資料 第五章 平面向量 第30講 平面向量的綜合應(yīng)用 ★★★核心知識回顧★★★ 知識點一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧： 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1

20、＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量 長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a為非零向量 (2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟： 平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題． 知識點二、向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題

21、，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體． 知識點三、平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 知識點四、向量與相關(guān)知識的交匯 平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題． ★★★高考典例剖析★★★ 考點一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 ???跟蹤訓(xùn)練??? 1．答案：

22、　C 解：　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應(yīng)向量的2倍，所以點P的軌跡必過△ABC的重心． 2．答案：　內(nèi)心 解：　由條件，得－＝λ，即＝λ，而和分別表示平行于，的單位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心． 3．答案：　A 解：　，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知＋為∠BAC的平分線．因為·＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC為等邊三角形． 4

23、．答案：　A 解：　取HF中點O， 則·＝·＝2－2 ＝1－2＝， ·＝·＝2－2 ＝1－2＝， 因此·＋·＝，故選A. 考點二、向量在解析幾何中的應(yīng)用 ???跟蹤訓(xùn)練??? 5．答案：　6 解：　由題意，得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)， 則有＋＝1，解得y＝3， 因為＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)， 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，對應(yīng)的拋物線的對稱軸方程為x0＝－2，因為－2≤x0≤2，故當(dāng)x0＝2時，·取得最大值＋2＋3＝6. 6．答案：　0 解：　設(shè)AB的中點為D，則有＝＋＝2， ∴||＝2||＝R＝2(R為圓C的半

24、徑)， ∴||＝1. 由點到直線的距離公式，得1＝，解得k＝0. 7．答案：　15 解：　因為＝(λ－1)，所以＝λ， 即O，A，P三點共線，因為·＝72， 所以·＝λ||2＝72， 設(shè)A(x，y)，OA與x軸正方向的夾角為θ，線段OP在x軸上的投影長度為|||cos θ|＝|λ||x|＝＝＝≤＝15， 當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝時取等號． 考點三、向量的其他應(yīng)用 ???跟蹤訓(xùn)練??? 8．答案：　3 解：　由圖象可知，M，N， 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0， 解得xN＝2， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×＝3. 9．答案：　 解：　因為＝(x,1)，＝(

25、2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)， 觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C(1,1)時，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點F(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝. ★★★知能達(dá)標(biāo)演練★★★ 一、選擇題 1. 答案：　D 解：?。?＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故選D. 2. 答案：　A 解：　∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)， ∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c. 3. 答案：　B 解：　∵＝a＋b，＝a－2b， ∴＝＋＝2a－b. 又∵A，B，D三點共線，

26、∴，共線. 設(shè)＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)， ∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1. 4. 答案：　D 解：　連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且＝＝a， 所以＝＋＝b＋a. 5. 答案：　C 解：　由于平面向量a，b，c兩兩所成的角相等，故每兩個向量成的角都等于或0°，|a＋b＋c|＝ ＝ 當(dāng)夾角為0時，上式值為5；當(dāng)夾角為時，上式值為2.故選C. 6. 答案：　D 解：　在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝a2＋a×a×cos 60°＝a2＋a2＝a2. 7．答案：　C 解：　由(＋)·＝||2， 得·(＋－)＝0

27、， 即·(＋＋)＝0,2·＝0， ∴⊥，∴A＝90°. 又根據(jù)已知條件不能得到||＝||， 故△ABC一定是直角三角形． 8．答案：　D 解：　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2， ∴y2＝x＋6，即點P的軌跡是拋物線． 9．答案：　B 解：　由題意可得m·n＝sin θ－2cos θ＝0， 則tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos2θ＝ ＝＝2.故選B. 10．答案：　B 解：　如圖，由已知得點D在△ABC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點處，從而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC

28、，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC， 所以＝. 11．答案：　B 解：　由題意可知橢圓的左、右焦點坐標(biāo)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)E(x，y)(－3≤x≤3)，則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以當(dāng)x＝0時，·有最小值7，當(dāng)x＝±3時，·有最大值8，故選B. 12．答案：　B 解：　因為f(－x)＝＝＝－f(x)，且直線ax－y＝0過坐標(biāo)原點，所以直線與函數(shù)f(x)＝的圖象的兩個交點A，B關(guān)于原點對稱，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，

29、由＋＝，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故選B. 13．答案：　D 解：　由條件，得＝λ， 從而·＝λ ＝λ·＋λ·＝0， 所以⊥，則動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心． 14．答案：　B 解：　 固定向量a＝(3,0)，則b，c向量分別在以(3,0)為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運(yùn)動，其中，＝a，＝b，＝c，如圖，易得點B的坐標(biāo) B(rcos θ＋3，rsin θ)， 因為|b|＝|b－c|， 所以O(shè)B＝BC，即(rcos θ＋3)2＋r2sin2θ＝4r2， 整理為r2－2rcos θ－3＝0，可得co

30、s θ＝， 而|b－ta|(t∈R)的最小值為dmin， 即dmin＝rsin θ＝＝≤2， 所以dmin的最大值是2，故選B. 15．答案：　A 解：　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點坐標(biāo)為(2,1)． 設(shè)BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD. ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝＝， EC＝＝＝， 即圓C的半徑為， ∴P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝. 設(shè)P(x0，y0)，則(θ為參數(shù))， 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)． ∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sin θ

31、. 兩式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3. 故選A. 二、填空題 16．答案：?。? 解：　設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a， 由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2， ∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8. 17．答案：　 解：　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0， 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 18．答案：　1∶2 解：　如圖所示，取AC的中點D， ∴＋

32、＝2， ∴＝， ∴O為BD的中點， ∴面積比為高之比． 即＝＝. 19．答案：?。? 解：　∵圓心O是直徑AB的中點， ∴＋＝2，∴(＋)·＝2·， ∵||＋||＝3≥2， ∴||·||≤， 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||＝時，等號成立，故最小值為－. 20．答案：　6 解：　圓(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑為2， 圓M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圓心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半徑為1， ∵CM＝5＞2＋1，故兩圓外離． 如圖所示，設(shè)直線CM和圓M交于H，G兩點， 則·的最小值是

33、·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝ ＝＝2， sin∠CHE＝＝， ∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝， ∴·＝||·||·cos∠EHF ＝2×2×＝6. ∴·的最小值是6. 三、解答題 21.解：　(1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)， ∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)， ∴||＝＝2. (2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴ 兩式相減，得m－n＝y(tǒng)－x. 令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點B(2，3)時，t取得最大值1， 故m－n的最大值為1. 22．解：　設(shè)M(x，y)為

34、所求軌跡上任一點， 設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)， 則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－，得 (x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴ ∵b＞0，∴y＞0， 把a(bǔ)＝－代入到①中，得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)． ∴動點M的軌跡方程為y＝x2(x≠0)． 23．解：　(1)由題意得(a－c)cos B＝bcos C. 根據(jù)正弦定理得 (sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以sin Acos B＝sin(C＋B)， 即sin Acos B＝sin A，

35、 因為A∈(0，π)，所以sin A>0. 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因為|－|＝，所以||＝. 即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式，得 6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號)，即ac≤3(2＋)， 故△ABC的面積S＝acsin B≤， 即△ABC的面積的最大值為. ???教師用書??? 把握命題趨勢，提高復(fù)習(xí)效率，提升解題能力，打造高考高分！ 【助力高考】2019年高考備戰(zhàn)數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)精品資料 第五章 平面向量 第30講 平面向量的綜合應(yīng)用 ★★★核心知識回顧★★★ 知識點

36、一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧： 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量 長度問題 數(shù)量積的定義 |a|＝＝，其中a＝(x，y)，a為非零向量 (2)用向量方法解決平面幾何問題的

37、步驟： 平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題． 知識點二、向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述．它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識來解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體． 知識點三、平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決． (2)物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量，是力F與位移s的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角)． 知識點四、向量與相關(guān)知識的交匯 平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角

38、函數(shù))、解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積，向量的共線與垂直求解相關(guān)問題． ◆◆◆名師提醒◆◆◆ 1．若G是△ABC的重心，則＋＋＝0. 2．若直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，則向量(A，B)與直線l垂直，向量(－B，A)與直線l平行． ★★★高考典例剖析★★★ 考點一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 例1：在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1，則AB＝________. 解：　在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F， 則＝，∴＝＝－， 又∵＝＋， ∴·＝(＋)· ＝2－·＋·－2 ＝||2＋||||cos 60°－

39、||2 ＝1＋×||－||2＝1. ∴||＝0，又||≠0，∴||＝. ???方法技巧??? 向量與平面幾何綜合問題的解法 (1)坐標(biāo)法 把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決． (2)基向量法 適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解． ???跟蹤訓(xùn)練??? 1．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D

40、．垂心 答案：　C 解：　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應(yīng)向量的2倍，所以點P的軌跡必過△ABC的重心． 2．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則點P的軌跡一定通過△ABC的________． 答案：　內(nèi)心 解：　由條件，得－＝λ，即＝λ，而和分別表示平行于，的單位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心． 3．在△ABC中，已知向量與滿足·＝0，且·＝，則△ABC為(　　) A．等邊三角形 B．直角三角形

41、 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 答案：　A 解：　，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知＋為∠BAC的平分線．因為·＝0，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC為等邊三角形． 4．(2017·湖南長沙長郡中學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點，則·＋·等于(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：　A 解：　取HF中點O， 則·＝·＝2－2 ＝

42、1－2＝， ·＝·＝2－2 ＝1－2＝， 因此·＋·＝，故選A. 考點二、向量在解析幾何中的應(yīng)用 例2：已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三點共線，當(dāng)k<0時，若k為直線的斜率，則過點(2，－1)的直線方程為________________． 解：　∵＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(6，k－5)，且∥， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，則過點(2，－1)且斜率為－2的直線方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0. ???方法技巧??? 向量在解析幾何中的“兩個”作用 (1)

43、載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題． (2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法． ???跟蹤訓(xùn)練??? 5．若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為________． 答案：　6 解：　由題意，得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，

44、則有＋＝1，解得y＝3， 因為＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)， 所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，對應(yīng)的拋物線的對稱軸方程為x0＝－2，因為－2≤x0≤2，故當(dāng)x0＝2時，·取得最大值＋2＋3＝6. 6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線l：x－ky＋1＝0與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點，＝＋，若點M在圓C上，則實數(shù)k＝________. 答案：　0 解：　設(shè)AB的中點為D，則有＝＋＝2， ∴||＝2||＝R＝2(R為圓C的半徑)， ∴||＝1. 由點到直線的距離公式，得1＝，解得k＝0. 7．(2017·安徽省安師大附中、馬鞍山二中

45、階段性測試)已知點A在橢圓＋＝1上，點P滿足＝(λ－1)·(λ∈R)(O是坐標(biāo)原點)，且·＝72，則線段OP在x軸上的投影長度的最大值為________． 答案：　15 解：　因為＝(λ－1)，所以＝λ， 即O，A，P三點共線，因為·＝72， 所以·＝λ||2＝72， 設(shè)A(x，y)，OA與x軸正方向的夾角為θ，線段OP在x軸上的投影長度為|||cos θ|＝|λ||x|＝＝＝≤＝15， 當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝時取等號． 考點三、向量的其他應(yīng)用 命題點①向量在不等式中的應(yīng)用 例3： 已知O是坐標(biāo)原點，點A(－1,2)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是(　　)

46、 A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,3] D．[1,4] 解：　作出點M(x，y)滿足的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示， 設(shè)z＝·，因為A(－1,2)，M(x，y)，所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.平移直線y＝x，由圖象可知，當(dāng)直線y＝x＋z經(jīng)過點C(0,2)時，截距最大，此時z最大，最大值為4，當(dāng)直線y＝x＋z經(jīng)過點B時，截距最小，此時z最小，最小值為1，故1≤z≤4，即1≤·≤4. 故選D。 命題點②向量在解三角形中的應(yīng)用 例4： 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，則△ABC最小角的正弦值等于(　　) A

47、. B. C. D. 解：　∵20a＋15b＋12c＝0， ∴20a(－)＋15b＋12c＝0， ∴(20a－15b)＋(12c－20a)＝0， ∵與不共線， ∴　解得 ∴△ABC最小角為角A， ∴cos A＝＝＝， ∴sin A＝，故選C. 命題點③向量在物理中的應(yīng)用 例5： 如圖，一質(zhì)點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2 B．2 C．2 D．6 解：　如題圖所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，則F3＝－(F1＋F2)，即

48、F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2. ???方法技巧??? 思維升華 利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，解題時通過定義或坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化． ???跟蹤訓(xùn)練??? 8．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是最高點、最低點，O為坐標(biāo)原點，且·＝0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是______． 答案：　3 解：　由圖象可知，M，N， 所以·＝·(xN，－1)＝xN－1＝0， 解得xN＝2， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×＝3. 9．已

49、知x，y滿足若＝(x,1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實數(shù)a的值是________． 答案：　 解：　因為＝(x,1)，＝(2，y)，所以·＝2x＋y，令z＝2x＋y，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)， 觀察圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C(1,1)時，zmax＝2×1＋1＝3，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點F(a，a)時，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝. ???感悟高考??? 分析課程標(biāo)準(zhǔn)和近五年的高考試題，可以發(fā)現(xiàn)高考命題主要集中在：主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題，求參數(shù)范

50、圍、最值等問題是考查的熱點，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，偶爾會出現(xiàn)在解答題中，屬于中檔題，通過近五年考題的規(guī)律，可以預(yù)測2019年高考試題中，可能會出現(xiàn)平面向量與函數(shù)的綜合題目。 ★★★知能達(dá)標(biāo)演練★★★ 一、選擇題 1.設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 解：　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故選D. 答案：　D 2.在△ABC中，＝c，＝b，若點D滿足＝2，則等于(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 解：　∵＝2，∴－

51、＝＝2＝2(－)， ∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c. 答案：　A 3.(2017·溫州八校檢測)設(shè)a，b不共線，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 解：　∵＝a＋b，＝a－2b， ∴＝＋＝2a－b. 又∵A，B，D三點共線，∴，共線. 設(shè)＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)， ∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1. 答案：　B 4.如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點C，D是半圓弧的兩個三等分點，＝a，＝b，則＝(　　) A.a－b 　　　 B.a－b C.a＋b 　　　　

52、 D.a＋b 解：　連接CD，由點C，D是半圓弧的三等分點，得CD∥AB且＝＝a， 所以＝＋＝b＋a. 答案：　D 5.若平面向量a，b，c兩兩所成的角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，則|a＋b＋c|等于(　　) A.2 B.5 C.2或5 D.或 解：　由于平面向量a，b，c兩兩所成的角相等，故每兩個向量成的角都等于或0°，|a＋b＋c|＝ ＝ 當(dāng)夾角為0時，上式值為5；當(dāng)夾角為時，上式值為2.故選C. 答案：　C 6.已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則·等于(　　) A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2 解：　

53、在菱形ABCD中，＝，＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·＝a2＋a×a×cos 60°＝a2＋a2＝a2. 答案：　D 7．(2018·株州模擬)在△ABC中，(＋)·＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：　C 解：　由(＋)·＝||2， 得·(＋－)＝0， 即·(＋＋)＝0,2·＝0， ∴⊥，∴A＝90°. 又根據(jù)已知條件不能得到||＝||， 故△ABC一定是直角三角形． 8．已知點A(－2,0)，B(3,0)，動點P(x，y)滿足·＝x2，則點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢

54、圓 C．雙曲線 D．拋物線 答案：　D 解：　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)， ∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2， ∴y2＝x＋6，即點P的軌跡是拋物線． 9．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，則sin 2θ＋6cos2θ的值為(　　) A. B．2 C．2 D．－2 答案：　B 解：　由題意可得m·n＝sin θ－2cos θ＝0， 則tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos2θ＝ ＝＝2.故選B. 10．(2017·長春質(zhì)量監(jiān)測)在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點，且＝＋，則等于(　　)

55、A. B. C. D. 答案：　B 解：　如圖，由已知得點D在△ABC中與AB平行的中位線上，且在靠近BC邊的三等分點處，從而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC， 所以＝. 11．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1的左、右焦點，點E是橢圓C上的動點，則·的最大值、最小值分別為(　　) A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8 答案：　B 解：　由題意可知橢圓的左、右焦點坐標(biāo)分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)E(x，y)(－3≤x≤3)，則＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·＝x2－1

56、＋y2＝x2－1＋8－x2＝＋7，所以當(dāng)x＝0時，·有最小值7，當(dāng)x＝±3時，·有最大值8，故選B. 12．(2018·四川涼山州一診)若直線ax－y＝0(a≠0)與函數(shù)f(x)＝的圖象交于不同的兩點A，B，且點C(6,0)，若點D(m，n)滿足＋＝，則m＋n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：　B 解：　因為f(－x)＝＝＝－f(x)，且直線ax－y＝0過坐標(biāo)原點，所以直線與函數(shù)f(x)＝的圖象的兩個交點A，B關(guān)于原點對稱，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，由＋＝，得xA－m＋xB－m＝

57、m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故選B. 13．已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，則(　　) A．動點P的軌跡一定通過△ABC的重心 B．動點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心 C．動點P的軌跡一定通過△ABC的外心 D．動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心 答案：　D 解：　由條件，得＝λ， 從而·＝λ ＝λ·＋λ·＝0， 所以⊥，則動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心． 14．(2018·大慶一模)已知共面向量a，b，c滿足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若對

58、每一個確定的向量b，記|b－ta|(t∈R)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時，dmin的最大值為(　　) A. B．2 C．4 D．6 答案：　B 解：　 固定向量a＝(3,0)，則b，c向量分別在以(3,0)為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運(yùn)動，其中，＝a，＝b，＝c，如圖，易得點B的坐標(biāo) B(rcos θ＋3，rsin θ)， 因為|b|＝|b－c|， 所以O(shè)B＝BC，即(rcos θ＋3)2＋r2sin2θ＝4r2， 整理為r2－2rcos θ－3＝0，可得cos θ＝， 而|b－ta|(t∈R)的最小值為dmin， 即dmin＝rsin θ＝＝≤2，

59、 所以dmin的最大值是2，故選B. 15．(2017·全國Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 答案：　A 解：　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點坐標(biāo)為(2,1)． 設(shè)BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD. ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝＝， EC＝＝＝， 即圓C的半徑為， ∴P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝. 設(shè)P(x0，y0)，則(θ為參數(shù))， 而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)． ∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(

60、2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y(tǒng)0＝1＋sin θ. 兩式相加，得 λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)θ＝＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3. 故選A. 二、填空題 16．在菱形ABCD中，若AC＝4，則·＝________. 答案：?。? 解：　設(shè)∠CAB＝θ，AB＝BC＝a， 由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2， ∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8. 17．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且關(guān)于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有兩相等實

61、根，則向量a與b的夾角是________． 答案：　 解：　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0， 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 18．已知O為△ABC內(nèi)一點，且＋＋2＝0，則△AOC與△ABC的面積之比是________． 答案：　1∶2 解：　如圖所示，取AC的中點D， ∴＋＝2， ∴＝， ∴O為BD的中點， ∴面積比為高之比． 即＝＝. 19．如圖所示，半圓的直徑AB＝6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則(＋)·的最小值為________． 答案：?。?

62、解：　∵圓心O是直徑AB的中點， ∴＋＝2，∴(＋)·＝2·， ∵||＋||＝3≥2， ∴||·||≤， 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，當(dāng)且僅當(dāng)||＝||＝時，等號成立，故最小值為－. 20．已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，圓M：(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則·的最小值是________． 答案：　6 解：　圓(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑為2， 圓M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圓心M(2＋5cos θ，5sin θ)，半徑

63、為1， ∵CM＝5＞2＋1，故兩圓外離． 如圖所示，設(shè)直線CM和圓M交于H，G兩點， 則·的最小值是·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝ ＝＝2， sin∠CHE＝＝， ∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝， ∴·＝||·||·cos∠EHF ＝2×2×＝6. ∴·的最小值是6. 三、解答題 21.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上，且＝m＋n(m，n∈R). (1)若m＝n＝，求||； (2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值. 解：　(

64、1)∵m＝n＝，＝(1，2)，＝(2，1)， ∴＝(1，2)＋(2，1)＝(2，2)， ∴||＝＝2. (2)∵＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，∴ 兩式相減，得m－n＝y(tǒng)－x. 令y－x＝t，由圖知，當(dāng)直線y＝x＋t過點B(2，3)時，t取得最大值1， 故m－n的最大值為1. 22．已知點P(0，－3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足·＝0，＝－，當(dāng)點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程． 解：　設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點， 設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)， 則＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)， 由·＝0

65、，得a(x－a)＋3y＝0.① 由＝－，得 (x－a，y)＝－(－x，b－y)＝， ∴∴ ∵b＞0，∴y＞0， 把a(bǔ)＝－代入到①中，得－＋3y＝0， 整理得y＝x2(x≠0)． ∴動點M的軌跡方程為y＝x2(x≠0)． 23．(2018·酒泉質(zhì)檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·. (1)求角B的大??； (2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值． 解：　(1)由題意得(a－c)cos B＝bcos C. 根據(jù)正弦定理得 (sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以sin Acos B＝sin(C＋B)， 即sin Acos B＝sin A， 因為A∈(0，π)，所以sin A>0. 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)因為|－|＝，所以||＝. 即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式，得 6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時取等號)，即ac≤3(2＋)， 故△ABC的面積S＝acsin B≤， 即△ABC的面積的最大值為. 專心---專注---專業(yè)